Bu blogda daha önce üçüncü (cubic) ve dördüncü (quartic) dereceden cebirsel denklemleri çalıştık. Cebirde Abel-Ruffini teoremi olarak bilinen bir önerme derecesi dörtten büyük olan cebirsel denklemlerin köklerinin cebirsel yöntemlerle (aritmetik işlemler ve kök alma gibi) bulunamayacağını söyler. Dolayısıyle en genel haliyle beşinci (quintic) dereceden bir denklemin köklerini bulmak imkansızdır. Öte yandan acaba böylesi bir denklemi ne kadar sadeleştirebilirsek -en azından- sayısal çalışmalarda hesaplama kolaylığı getireceği aşikardır. En genel haliyle beşinci dereceden bir cebirsel denklem aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} AX^{5}+BX^{4}+CX^{3}+DX^{2}+EX+F = 0 \ \ \ (☉) \end{equation*} Burada $A,B,C,D,E,F$ problemin altı parametresi, $X$ ise denklemin köklerini temsil eden bir niceliktir. (Cebirin temel teoremine göre en çok 5 farklı karmaşık sayı güneş/şems (☉) işaretli denklemi sağlayabilir.)
Güneş işaretli denklemde $A \ne 0$ olmalıdır. Aksi takdirde denklemin derecesi dörde düşer ve bu bizi konunun dışına çıkarır. O zaman $b:=B/A$, $c:=C/A$, $d:=D/A$, $e:=E/A$ ve $f:=F/A$ ile yeni parametreler tanımlayabilir ve güneş işaretli denklemi şöyle de ifade edebilir. \begin{equation*} X^{5}+bX^{4}+cX^{3}+dX^{2}+eX+f = 0 \ \ \ (☿) \end{equation*} Hem Merkür/Utarid (☿) hem de güneş işaretli denklemlerin aynı kökleri paylaştıkları barizdir ama Merkür işaretli denklem 5 parametreye bağlı olduğundan daha sadedir. Baş katsayısı 1 olduğu için bu denklemlere tekabül eden polinomlara monik polinomlar denir. Bu noktada şöyle bir gözlem yapabiliriz: $b=0$ ise, o zaman Merkür işaretli denklemin derecesi değişmez ama dördüncü dereceden terim uzaklaşmış olur. (Literatürde buna, derecesi $n$ olan cebirsel ifadeden derecesi $n-1$ olan ifadenin uzaklaşmasına, o denklemin depressed formu denir.) Dahası eğer $b \ne 0$ ise, o zaman $X=: b \xi$ ile yeni bir değişken tanımlayabilir ve bu ifadeyi Merkür işaretli denkleme yerleştirip her iki tarafı da $b^{5}$ ile bölersek, o zaman $c^{\prime}:=c/b^{2}$, $d^{\prime}:=d/b^{3}$, $e^{\prime}:=e/b^{4}$ ve $f^{\prime}:=f/b^{5}$ ile aşağıdaki Venüs/Zühre işaretli (♀) denkleme ulaşırız. \begin{equation*} \xi^{5}+\xi^{4}+c^{\prime}\xi^{3}+d^{\prime}\xi^{2}+e^{\prime}\xi+f^{\prime} = 0 \ \ \ (♀) \end{equation*} Venüs işaretli denklemin sadece 4 parametreye bağlı olduğunu ama hala dördüncü dereceden terimini koruduğunu görüyoruz. $b$ katsayısı ne olursa olsun, denklemden dördüncü dereceden terimi tamamen uzaklaştırmak suretiyle parametre sayısını 4'e düşürmek problemi hiç kuşkusuz daha da sadeleştirecektir.
Şimdi $X =: Y - b/5$ ile yeni bir $Y$ değişkeni tanımlayalım ve bunu Merkür işaretli denklemde yerine koyalım. $X$ ve $Y$ arasındaki ilişki çok basit olduğundan birini hesaplamak ile ötekini hesaplamak aynıdır. Bu basamaktan sonra bir bilgisayar cebir sistemi (computer algebra system, CAS) kullanmayı şiddetle tavsiye ediyorum. Ben aşağıdaki hesaplamaları Maxima adlı yazılımla yaptım. (open-axiom ve Maple da cebirciler arasında yaygın olarak kullanılan diğer yazılımlardır.) Söz konusu işlemler yapıldığında $Y$ niceliğinin sağladığı denklem ($b$ ne olursa olsun) aşağıdaki gibidir ve sadece 4 parametreye bağlıdır. \begin{equation*} Y^{5} + pY^{3} + qY^{2} + rY + s = 0 \ \ \ (♁) \end{equation*} Dünya/Yer (♁) işaretli bu denklemdeki yeni parametreler ile eski parametreler arasında $p:= c - \tfrac{2}{5}b^{2}$, $q := d - \tfrac{3}{5}bc + \tfrac{4}{25}b^{3}$, $r := e - \tfrac{2}{5}bd + \tfrac{3}{25}b^{2}c-\tfrac{3}{125}b^{4}$ ve $s:=f-\tfrac{1}{5}be+\tfrac{1}{25}b^{2}d-\tfrac{1}{125}b^{3}c+\tfrac{4}{3125}b^{5}$ ilişkileri geçerlidir. Burada uyguladığımız yöntem çok geneldir ve derecesi $n$ olan bütün denklemlerden derecesi $n-1$ olan terimi uzaklaştırmakta kullanılabilir. (Lütfen ispatlayınız.) $p\ne 0$ ise, o zaman $Y =: p^{1/2}\psi$ tanımıyla $\psi$ için elde edilen denklem 3 parametreye bağlı olur. (Lütfen deneyiniz.) Ama bu bizim çok büyük bir kazanım değil. Zira denklemdeki kübik terim hala orada durmaktadır.
Daha iyisini yapmak istiyoruz ama bunun bedeli epeyce ağır olacak. Yani Dünya işaretli denklemden kübik terimi von Tschirnhaus dönüşümüyle uzaklaştıracağız. Bu amaçla yeni bir $Z$ değişkeni tanımlıyoruz. Bu $Z$ değişkeninin sağladığı beşinci dereceden denklem istediğimiz formda. \begin{equation*} Z^{5} + \alpha Z^{2} + \beta Z + \gamma = 0 \ \ \ (♂) \end{equation*} Mars/Merih (♂) işaretli denklemdeki Yunan harfleriyle temsil edilen katsayıları nasıl bulacağız? Bunun için $Y$ ve $Z$ arasında kuadratik bir ilişki olduğunu varsayıyoruz. (Neden lineer değil?) \begin{equation*} Z =: Y^{2} + \delta Y + \eta \ \ \ (♃) \end{equation*} Jüpiter/Müşteri/Erendiz (♃) işaretli denklemde verilenlerle beraber toplamda 5 tane katsayıyı Dünya işaretli denklemdeki katsayılar $p,q,r,s$ cinsiden ifade etmemiz gerekiyor. Bu maksatla Newton toplamlarını tanımlayacağız. Derecesi $n$, genel değişkeni $X$ ve kökleri $\{x_{1},\ldots , x_{n}\}$ olan bir $g(X) := a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots + a_{0}$ polinomunun $k$-Newton toplamı köklerin bir simetrik fonksiyonudur ve aşağıdaki denklemle tanımlanır. \begin{equation*} N_{k}(X) := x_{1}^{k} + \cdots + x_{n}^{k} \ \ \ (♄) \end{equation*} Satürn/Zuhal (♄) işaretli denklemde tanım gereği $N_{0}(X) = n$ olduğunu gözleyiniz. Dahası birinci dereceden Newton toplamları bizim temel cebir derslerinden kökler toplamı diye adlandırdığımız temel simetrik fonksiyonlardan (Viète-Girard) ilkiyle aynıdır ve Dünya ve Mars işaretli denklemlere bakarak kolayca $N_{1}(Y) = N_{1}(Z) = 0$ oldukları görülür. (Her iki denklemde de dördüncü dereceden terimin katsayısı sıfırdır.) von Tschirnhaus'un yöntemini örnekleyerek anlatalım. Şimdi Jüpiter işaretli denklemden 5 kopya hazırlayalım ve birinci kopyada $Z=z_{1}$ ve $Y=y_{1}$ ilh. koyalım. Ardından bu beş kopyayı taraf tarafa topladığımızda aşağıdaki denkleme ulaşıyoruz. \begin{equation*} N_{1}(Z) = N_{2}(Y) + \delta N_{1}(Y) + 5\eta \ \Rightarrow \ \eta = - \frac{1}{5}N_{2}(Y) \ \ \ (♅) \end{equation*} Farkında mısınız Uranüs (♅) işaretli denklem katsayılardan birisini hemen verdi. Yalnız küçük bir sorun var: ikinci dereceden Newton toplamlarını veya en genel haliyle diğer Newton toplamlarını polinomun (ya da cebirsel denklemin) katsayıları cinsinden ifade etmeyi bilmiyoruz! İspatına başka bir zaman girişmek üzere $g$ polinomunun katsayıları ile onun Newton toplamları arasındaki şu indüktif ilişkiyi not edelim. (İspat için polinomlara dair bir cebir kitabına bakınız.) \begin{equation*} N_{0} = n, \ \ \ (n-k)a_{n-k}= a_{n}N_{k} + \cdots + a_{0}N_{k-n} \ \ \ (♆) \end{equation*} Neptün (♆) etiketli denklemde $i<0$ ise o zaman $a_{i}=N_{i}=0$ konvansiyonunu uygulamayı kabulleniyoruz. Neptün denklemini kullanarak beşinci dereceden polinomların ikinci dereceden Newton toplamları için $0=a_{5}N_{2}+a_{4}N_{1}+2a_{3}$ formülüne ulaşıyoruz. Dünya ve Mars etiketli denklemlerle kolayca $N_{2}(Y)=-2p$ ve $N_{2}(Z) = 0$ ara sonuçlarına ulaşıyoruz. İşte von Tschirnhaus dönüşümü için tayin etmemiz gereken ilk katsayıya ulaştık: $\eta = \tfrac{2}{5}p$.
$\delta$ katsayısını bulmak için Jüpiter denkleminin karesini alıyoruz: $Z^{2}=Y^{4}+2\delta Y^{3} + (2\eta + \delta^{2})Y^{2} + 2\delta \eta Y + \eta^{2}$. Ardından bu denklemin 5 kopyasını hazırlayıp ilk kopyada $Z=z_{1}$ ve $Y=y_{1}$, ilh. yani kökler üzerinden toplarsak, o zaman $N_{2}(Z) = \delta^{2} N_{2}(Y) + 2(\eta N_{1}(Y) + N_{3}(Y)) \delta + N_{4}(Y)+2\eta N_{2}(Y) + 5\eta^{2}$ denklemine ulaşıyoruz. Newton toplamlarını veren Neptün bağıntısını Dünya denklemi için uyguladığımızda $N_{3}(Y)=-3q$ ve $N_{4}(Y)=2p^{2}-4r$ elde ederiz. (Lütfen aradaki işlemleri tamamlayınız.) Daha önceki bulgularımızla birleştirdiğimizde $\delta$ için kuadratik bir denklemi çözmemiz gerektiği ortaya çıkar. \begin{equation*} 5p\delta^{2} + 15q\delta - 3p^{2}+10r=0 \ \Rightarrow \ \delta = \frac{-15q \pm \sqrt{\Delta}}{10p} \ \ \ (♇) \end{equation*} Pluto (♇) denkleminde diskriminant $\Delta := 225q^{2}+60p^{2}-200rp$ ile tanımlanıyor. Şimdi bazı işaretlerde bulunalım. (1) $\Delta<0$ için gerçel $p,q,r,s$ katsayılardan başlasak bile von Tschirnhaus dönüşümünde karmaşık sayıları kullanmaya mecbur kalacağımız aşikardır. (2) Pluto denkleminde $p=0$ durumu bizi hiç endişelendirmiyor. Çünkü $p=0$ durumunda Dünya denkleminde von Tschirnhaus dönüşümüne gerek kalmaz.
Jüpiter denkleminin sağ tarafındaki katsayılar belirlendi. Şu aşamada geriye kalan $\alpha, \beta, \gamma$ katsayılarını nasıl tayin etmemiz gerektiği artık anlaşılmış olmalı. Örneğin Jüpiter denkleminin küpünü alıp kökler üzerinden topladığımızda sol tarafta $N_{3}(Z)=-3\alpha$ olacak. Sağ taraf ne kadar korkunç olursa olsun (altıncı dereceden Newton toplamı gibi!), orada her şey bilindiği için bu yöntemle $\alpha$ katsayısını da tayin etmiş olacağız. $N_{4}(Z)=-4\beta$ olduğundan Jüpiter denkleminin dördüncü kuvvetini alıp kökler üzerinden toplarsak o zaman $\beta$ katsayısını da tayin ederiz. Son olarak $N_{5}(Z)=-5\gamma$ ile Jüpiter denkleminin beşinci kuvvetini alıp kökler üzerinden toplarsak bu bize $\gamma$ katsayısını verir. $\alpha,\beta,\gamma$ katsayılarının tamamen cebirsel işlemler kullanılarak hesaplanabileceğini ispatlamış olduk ve böylece von Tschirnhaus dönüşümü tamamlanmış oldu. Kabul edelim ki $\alpha,\beta,\gamma$ için açık ifadeler vermedik ama böylesi bir çaba postanın hacmini epeyce arttıracağı gibi hammaliyetten başka bir şey de getirmeyecektir. Şunu da eklememiz lazım ki burada yaptığımız kuadratik dönüşümle derecesi $n$ olan bir cebirsel denklemden hem derecesi $n-1$ hem de derecesi $n-2$ olan terimler uzaklaştırılabilirler. Yani çalışmamız beşinci dereceden denklemlere has değildir.
Parametre sayısını daha da düşürmek için ne yapmamız gerektiği artık bariz. Mars işaretli denklemde $Z=:\kappa W$ kor ve denklemin her iki tarafını $\kappa^{5}$ ile bölersek, o zaman $\kappa := \alpha^{1/3}$ seçimiyle bütün beşinci dereceden denklemlerin \begin{equation*} W^{5} + W^{2} + \beta^{\prime} W + \gamma^{\prime} = 0 \end{equation*} formuna getirileceği görülür. Burada $\beta^{\prime} := \beta/\kappa^{4}$ ve $\gamma^{\prime} := \gamma/\kappa^{5}$ ile tanımlanıyorlar.
Hem von Tschirnhaus dönüşümünün genel mantığı hem de skala dönüşmü ile bir parametreden kurtulmak artık anlaşılmıştır. Mars işaretli denklemden ikinci dereceden terimi de uzaklaştırmak istersek bunun için yapmamız gereken dönüşüm beklenildiği gibi üçüncü değil dördüncü dereceden olacak. Konumuzun dışında ama beşinci dereceden denklemlerin Bring-Jerrard formu aşağıda Koç (♈) işaretli denklemle veriliyor. \begin{equation*} W^{5}+lW+m=0 \ \ \ (♈) \end{equation*} Artık Mars denklemindeki $\alpha,\beta,\gamma$ katsayılarının bilindiğini varsayıyoruz. O zaman $W$ ve $Z$ dönüşümleri arasında aşağıdaki dördüncü dereceden von Tschirnhaus dönüşümünü tanımlayalım. \begin{equation*} W =: Z^{4} + \zeta Z^{3} + \varepsilon Z^{2} + \theta Z + \kappa \ \ \ (♉) \end{equation*} Boğa (♉) işaretli denklemle Koç deklemindeki $\zeta,\varepsilon,\theta,\kappa,l,m$ katsayılarını $\alpha,\beta,\gamma$ cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. Toplamda altı tane tayin var. Bu epeyce (ama epeyce) uzun işlemler sonrasında yapılabilecek bir tayin. Bring-Jerrard yöntemini genel hatlarıyla daha sonra tartışmak üzere bu postayı kapatıyorum.
