Carter mektubu

STATEMENT

NİYET BEYANI

This Voyager spacecraft was constructed in the United States of America. We are a community of 240 million human beings among the more than 4 billion who inhabit the planet Earth. We human beings are still divided into nation states, but these states are rapidly becoming a single global civilization. We cast this message into the cosmos. It is likely to survive a billion years into our future, when our civilization is profoundly altered and the surface of the Earth may be vastly changed. Of the 200 billion stars in the Milky Way galaxy, some --perhaps many-- may have inhabited planets and spacefaring civilizations. If one such civilization intercepts Voyager and can understand these recorded contents, here is our message: This is a present from a small distant world, a token of our sounds, our science, our images, our music, our thoughts and our feelings. We are attempting to survive our time so we may live into yours. We hope someday, having solved the problems we face, to join a community of galactic civilizations. This record represents our hope and our determination, and our good will in a vast and awesome universe. [Signature] President of the United States of America THE WHITE HOUSE June 16, 1977 NASA

Voyager namlı bu feza mekiği Amerika Müttehid Hükumetleri'nde inşa edilmiştir. Bizler, Yerküre adlı seyyarede meskun ve yekunu 4 milyarı mütecaviz beşer içinde 240 milyonluk bir cemiyetiz. Beşer, milli devletlere taksim edilmişse de mezkur devletler hızla yekpare, küresel bir medeniyete tahavvül vetiresindedir. Medeniyetimizin temelinden tağyir edilip Yerküre sathının muazzam ölçüde değiştiği istikbalde dahi belki bir milyar yıl baki kalacak tebliğimiz tüm kainata! Kehkeşandaki 200 milyar yıldızdan bazıları hatta pek çoğu meskun seyyarelere ve fezada seyahat kabiliyetinde medeniyetlere havi olabilir. Böylesi bir medeniyetin Voyager'a tesadüfü ve burada mukayyed muhtevayı fehmi halinde ona tebliğimiz şudur: Sesimizin, fennimizin, sanat ve musikimizin, fikriyat ve hissiyatımızın bir numunesi olan bu mekik uzak ve küçük bir dünyanın hediyesidir. Devrimizin meseleleriyle mücadele içindeyiz; gayemiz devrinize vasıl olmaktır. Bir gün yüzleştiğimiz meseleleri halledip kehkeşan medeniyetleri camiasına dahil olma umudundayız. İşbu beyan muazzam ve müthiş bir kainatta yer alan bizlerin umudunu, kararlılığını ve iyi niyetini temsil eder. [İmza] Amerika Müttehid Hükumetleri Reisicumhuru BEYAZ SARAY 16 Haziran 1977 Milli Havacılık ve Feza Dairesi

Halide Edib'in Horne'a yazdığı mektubun transliterasyonu

Osmanlı'nın son demlerinde bir eğitim hamlesi yapılır ve bu kapsamda 1910'lu yılların başında Halide Edib Adıvar, Horne'un eğitimle ilgili bir kitabını Talim ve Terbiye başlığı altında tercüme eder. Hem Horne'un eserini hem de Halide Edib'in (eski harflerle) tercümesini internet arşivinden bulup indirebilirsiniz. Kitap hem Osmanlıca okuma alıştırması yapmak hem de İngilizce'den Osmanlıca'ya tercüme örneği görmek için iyi bir kaynak. Sonuçta Halide Edib Türk edebiyatına yaptığı katkıların yanı sıra Shakespeare'den de çeviriler yapmıştır. Adıvar'ın müteercim sıfatıyla o yılların havasını yansıtan bir mektubu var eserin yazarına. Aşağıdadır.

---

Muallim Horne'a

Muhterem Efendim,

Bundan iki sene evvel bana talim ve terbiyenin beni meşgul edeceğini söylemiş olsalardı inanmazdım. Belki size de Türkiye'nin bir köşesinde eserinizin -süluku talime yeni giren- bir hemmesleğe ilham olacağını söyleseler hayret ederdiniz.

Bundan iki sene evvel Türkler inkılabını yaptı. Bu Türk tarihinde, Türk milletinin ilk inkılabı, hüviyetini ispat eden ilk harekettir. Ondan evvel Türk tarihi cedden ali birkaç padişahın şahsiyetleri ve muvaffakiyetleri etrafında devreder.

Yine aynı zamanda bütün hakiki Genç Türkler bir şeyi düşünmeye başladılar: gayei hayallerini fena bulmayacak bir surette muhafaza ve idame etmek. Bunun için herkes bir çare düşündü. Kimisi kuvvetli bulunmak için orduyu ıslah etmek, kimisi umuru nafiayı, kimisi sanayii, kimisi de ticaret ve hırfete ehemmiyet vermek istedi. Fakat hepsinin müşterek olduğu bir nokta vardı, o da maarif! İşte o zaman Londra'daki kitapçım istediğim usulü tedris kitapları arasında tesadüfi olarak sizin eserinizi de göndermişti. Fakat bunu büyük bir takdirle okurken bu yeni hayatın, yeni inkılabın o kadar yakın zamanda müthiş bir tehlike karşısında bulunacağını bilmiyordum.

Vakta ki 31 Mart irticaı yeni binayı hürriyetimizi ilik yer tehlike ile sarstı. O vakit birden bire bütün sürati mümkine ile gayei hayallerimizi milletin dimağını haketmenin, milli emellerimizi milletin kalbine bina etmenin mübremiyetini hissettim. Anladım ki, hüviyetimiz, yani milletin, ırkın salahı ve necatı için titreyen benliğimiz fena bulmadan, kuvvetini kaybetmeden öteki nesle intikal etmeli, yeni esaslarımız milletin yarınki çocuklarına canlı, müessir bir tarzda geçmeli. Bir de anladım ki hüviyetimizi öteki nesle en canlı tarzda vermek yazıdan, kitaptan ziyade talim ile olacak.

Milletimizin bekası için vatandaşlarımın, kardeşlerimin kimisi silah başına, kimisi dairelere, kimisi taşralara gitti. Bir kısmı da sınıf ve mektep başına gitti. Bütün bu milli beka ve tealimiz için kimi canıyla, kimi dimağıyla, kimi de ehliyeti ile çalışmaya mecbur oluyor. Terakki ve tekamülü milelde talimin kıymeti felsefiyesini, kıymeti ameliyesini bana takdir ettiren büyük ruhlar beni mektep ve sınıf karşısına attığı zaman kitabınızdan iyi bir rehber buldum. Eserinizin mukaddimesinde "Eğer bu cilt hemmesleklerimin vezaifini kolaylaştırır ve talim ve terbiyenin yolunu gösterirse müellif mükafatını görmüş olur." diyorsunuz. Ben ümit ediyorum ki kavmi, içtimai, talimi kusur ve noksanlarımızı nazarı itibare alarak Türkler'e tatbike çalıştığım eseriniz benim gibi amali milliyemizi genç dimağlara yerleştirmeye azmetmiş genç muallimlere bir rehber olur. Bilmem bu size bir mükafatı maneviye olur mu, fazlı muhterem?

Nuruosmaniye, Teşrinievvel, 1324

Halide

William McNeill'in Toynbee değerlendirmesi

Takdim

Aşağıdaki parça William H. McNeill'in Arnold J. Toynbee: A Life adlı biyografi çalışmasının Sonuç bölümünün tam tercümesi. Toynbee, dünya genelinde icra edilen tarih çalışmaları için artık tedavülden kalkmış, tarih camiasının dışladığı bir isim. Her ne kadar William McNeill ve Halil İnalcık gibi usta tarihçiler yeri geldiğinde Toynbee'nin tarih araştırmalarındaki öncü rolünü ansa da hüküm kesin: müşarünileyh fosilleşmeye terkedilmelidir. Sonuç bölümünü tercüme ederek aşağıya koyduğumuz eserinde McNeill bu hükmü tersine çevirmeye çalışmış ancak bunda başarısız olmuştur. Ülkemizde özellikle muhafazkar kesim üzerinde bir dönem güçlü tesiri olan bu çehrenin usta bir tarihçi tarafından değerlendirmesinin faydalı olacağına inanıyorum.

Mustafa Demirplak, Ağustos 2018, Meram

---

Sonuç

İlgiye şayan tüm şahıslar gibi Toynbee de çelişkilerle doluydu. Siyasette ileriye bakarak, gündelik hayatta el yordamıyla kurduğumuz gerçekliği aşan hükümlere uzanmayı huy edinmişti. Tarihi hadiselerle yaptığı mukayeseler, kendi zamanının siyasi sisteminin payidar olamayacağına ve bir dünya devletinin pek yakında doğacağına onu ikna etmişti. Cemiyeti Akvam ve ardından Birleşmiş Milletler'e bu bağlamda umutla bakmakla beraber bir dünya imparatorluğu tesisinin çok daha makul olduğuna inanıyordu. Lakin öngördüğü müstakbel dünya imparatorluğu karşısında duruşu nihai derecede muğlaktı. Bir yandan savaşları bitireceği için bir dünya imparatorluğu ihtimalini içtenlikle kucaklarken, emperyal bir küresel devletin tesisi için gerekli şiddeti de nahoş buluyordu. Ancak iş ciddiye bindiğinde bedel ödeme noktasında gönülsüz olup, tevarüs ettiği liberal değerlere rücu ederek onlara bağlı kalmakla yetindi. Netice itibarıyla ilkin Almanya, daha sonra da ABD küresel bir hegemonya tesisinin ilk habercisi gibi görünen bir tarzı siyaset gütmeye başladığında, önceleri tereddüt etse de, nihayetinde her ikisine de karşı çıktı.

Kişisel meselelerde de Toynbee'nin davranış tarzı bir çelişkiler dokusudur. Hırsı nahoş bulup medeniyeti hazıranın maddeciliğine alenen aleyhtarken, para meselelerinde neredeyse patalojik bir biçimde tamahkardı. İnsanın kendi çıkarını düşünmesini çirkin bulurdu ama kendine koyduğu hedeflere ulaşma gayretinde, etrafındakileri neredeyse yok sayma pahasına da olsa, asla tereddüt sergilemezdi. Asil ve güçlü kimselerle düşüp kalkmaktan haz duyar lakin o ortamlarda kendini daima bir yabancı gibi hissederdi. Dışarıya karşı duruşu utangaç, neredeyse mahçuptu, yine de bir hürmet beklentisi içindeydi ve genellikle beklediği hürmeti görürdü.

Müthiş hafızası ve masa başında yapılan çalışmalarda yorulmak bilmez azmi insan üstü bir kerteye yakınsarken, burada bahsi geçen ve geçmeyen zaafları onun da bir insan olduğunu anlamamızı sağlar. Yaptığı çalışmalar ne derece önemlidir? Etrafını saran ihtilaf ve şöhret artık mazide kalırken, üstesinden geldiği işlere nasıl bir değer biçilmeli?

Toynbee'nin kendi kariyerine biçtiği değer tipik olarak mütevazidir. Nasıl hatırlanmak istediği sorusuna, 1965'te şöyle cevap verir: Tarihi sadece Batılı anlayış çerçevesinde değil bir bütün olarak görmeye çalışan birisi.¹ Birkaç yıl sonra başka bir gazetecinin sorusunu ise şöyle cevaplar: Batılı halkları dünyayı bir bütün olarak düşünmeye ikna etme davasında faydalı bir iş ifa ettiğimi düşünmek istiyorum.² Çocukluğundan beri Farisiler, Kartacalılar, Müslümanlar ve benzeri geleneksel tarihten dışlanmış kitleleri merak etmeyi öğrendiğini kastederek bir başka muhabire, daha da veciz bir ifadeyle, Bende daima ayın öteki yüzünü görme arzusu vardı.³ demiştir.

Sempati ve bilgimizi diğer tarihçilerin saptadığı sınırların ötesine yaymak ve genişletmek hiç şüphesiz Arnold Joseph Toynbee'nin kendi çalışma sahasına yaptığı başlıca katkılar arasındadır. Bu ise hiç azımsanamayacak bir başarıdır. Zira Toynbee'nin perspektifimizi genişletmesinden önce, Batılı ekollerde çalışıldığı ve Batılı üniversitelerde öğretildiği şekliyle tarih antik, orta ve modern çağlarda yaşamış Avrupalılar ile deniz aşırı ülkelerde yaşayan soydaşlarını kapsamaktaydı. Öteki halklar ancak Avrupalılar tarafından keşfedildiklerinde yani fethedilip medenileştirildiklerinde sahneye çıkabilmekteydi. Herkes Hindistan'ı, Çin'i ve İslam dünyasını bilmekte ve bunlara dair uzun tarihçeler bulunmaktaydı ancak bunlar tarihçilerin yok sayıp, dil bilimcilere ve mukayeseli dinler uzmanlarına havale ettiği araştırma sahalarıydı.

Toynbee sahneye çıkmadan önce akademik camia dışında kalan birkaç cesur yürek Avrupa ve haricindeki tarihler arasında bir bağ kurmayı denemiştir. H. G. Wells bahsi geçen maceraperest entelektüellerin en önemlisi olmakla beraber, kaleme aldığı Outline of History (ilk basımı 1920) adlı eserin yazımı iki yıldan az sürmüş, kendisinin de belirttiği üzere verdiği bilgilerin çoğu Britannica Ansiklopedisi'nden derlenmiştir. Ayrıca Wells'in tarihi bir ilerleme tarihi olup, kıymet verdiği ilerlemenin çoğu Avrupa'da kaydedilmiştir. Bu tarihte kenarda kalan öteki halkların rolü ancak Avrupalı'ya tabi olmaktır. Ondokuzuncu yüzyılın sonlarına doğru hakim olan dünya siyasetindeki kalıpları geçmişe yansıtmak, 1500 öncesinde kalan asırlar adına büyük bir çarpıtma teşkil eder. Her ne kadar popülarite kazanıp geniş kitlelerce okunmuş olsa da, burada zikrettiğimiz sebeplere binaen, Wells'in tarih çalışmalarındaki akademik geleneğin arızalarını tamire matuf amatörce çabası eski sınırları aşmada pek bir yarar sağlamamıştır.

Akademi kurumunun dışında kalan bir başka isim de Spengler'dı ve Spengler, Wells'e kıyasla çok daha bilgili bir kimseydi. Bölüm 5'te de gördüğümüz üzere Spengler'ın ayrı medeniyetler tasavvuru Toynbee'ye A Study of History adlı eserini yapılandırmada en önemli tüyoyu temin etmiştir. Ayrıca Spengler, Batı'yı ve (bazı) Batılı olmayan medeniyetleri birbirlerine denk olarak görmüştür ki bu Wells'in ıskaladığı bir bakış açısıdır. Aslına bakılırsa Spengler, Çin ve Şark'ın bilge ve pirlerini Avrupalı muadillerine eş veya üstün gören onsekizinci yüzyıl geleneğini canlandırıp güncellemiştir⁴. Ancak Toynbee bulduğu her şeyi okuyan bir kişi olma yönüyle Spengler'ın çok çok önünde olduğu için bilgi birikimi de daha genişti. Zaman ve mekanın bir ucundan diğer ucuna yaptığı çarpıcı ve genellikle şaşırtıcı mukayeselerle aydınlanan ayrıntılarda bulduğu keyif, tarih yazım geleneğine, Spengler'ın kehanetvari beyanlarına kıyasla çok daha iyi uyum sağlar. Bu yüzden Toynbee, başka hiç kimsenin muvaffak olamadığı bir ölçüde dünyadaki okur kitlesinin büyük bir kısmını⁵, Asyalılar'ın, Afrikalılar'ın, Amerikan yerlilerinin ve hatta Eskimolar gibi dar bir bölgeye adapte olmuş halkların da, Avrupalılar'ın tarihinden bağımsız ve ona benzer birer tarihe sahip olabilecekleri gibi basit bir hakikatle tanıştırmıştır. Kendi ifadesiyle yalnızca batılı kalıplara dökülmemiş bir insanlık tarihi vizyonu Toynbee'nin öğrenim geleneğimize yaptığı en büyük ve merkezi katkıdır ve bu katkı onun gökkubbede bıraktığı eskimez yadı cemil olmalıdır.

Toynbee iyi kotardığı bu işten dolayı 1930'larda hakettiği şekilde göklere çıkarılmıştı. Ancak İkinci Dünya Savaşı'nı müteakip, şöhretinin zirvesindeyken, medeniyetlerin yükseliş ve gerileme kalıbında görülen yadsınamaz kusurlara istinaden çoğu tarihçi akademisyen Toynbee'nin bütüncül vizyonunu yorum ve tefsirindeki ayrıntılarla beraber reddetmiştir. Daha doğru ve uygun bir çerçeve bulmaya çalışmanın meydan okuyuşunu kabul etmek yerine, çoğu tarihçi aksi istikamette hareket ederek, artan bir şekilde özelleşmiş, pek az kimsenin anlayabildiği araştırma projelerine yönelmiştir. İnsanlığın muhtelif kolları arasındaki temasın her geçen yıl daha da önemli olmaya başladığı bir çağda, akademik çevrelerde hakim olan global tarihi red tavrı abestir, absürddür. Geleceğin dünyasında akıllıca seyrüsefer yapabilmek için müstakbel yurttaşların, her ne olursa olsun, öteki halkların ve medeniyetlerin nasıl etkileştiğini bilmeleri gerekir. 1980'lere geldiğimizde gerek Amerika'da gerek diğer ülkelerdeki üniversitelerde dünya tarihi eğitiminin bir rehabilitasyondan geçeceğine dair bir takım alametler beliriyor. Bunun gerçekleşmesi halinde Toynbee'nin saygınlığı içine düştüğü husuf ve küsuftan hiç şüphesiz çıkacaktır. Bu biyografinin Toynbee'nin düşüncesiyle yaşadığı devri dokumak suretiyle dengeyi yeniden kurmaya başlayabileceğini ummaya cüret ediyorum.

Toynbee'nin düşünce tarihindeki yeri hakkında bazı değerlendirmelerde bulunup onun ruh haline yakışır şekilde konuyu büyük ölçekte ele alarak kitabımızı bitirmek faydalı olabilir. İlkin, diğer tarihçiler gibi Toynbee de, sadece olgusal hatalarından ötürü reddedilmemelidir, velev ki bu hatalar gerçek olsun. Olgusal hatalar kaçınılmazdır zira en harikulade metin dahi kısa zamanda entelektüel araştırmanın kaydettiği ilerlemeyle demode olur ve metinde hatalar keşfedilebilir. Ayrıca bir tarihçiyi değerlendirirken olgusal doğruluğu her şeyin üstüne koymak epistemolojik olarak naif bir bakıştır ve aşağıdaki çok zor soruyu davet eder: çok kaygan bir Hakikati yakalamak amacıyla arayıştayken kelimeler insani faaliyetler ve tarihin diğer "olgularıyla" nasıl ilişkilendirilebilir ya da ilişkilidir?

Bunun yerine Toynbee diğer sanatçıları değerlendirdiğimiz gibi değerlendirilmelidir. Sanatçıları değerlendirirken onları zaman ve mekanla çeşitlilik arzedip her türlü uyartıya cıva gibi yanıt vererek büyüyen ve değişen bir fikir ve duyarlılık tarzının icracısı olarak görürüz. Şahsi ve umumi tecrübeleri bir sanatçının eseri üzerinde etkili olur. Bu tecrübeler şiddetli ve yakıcı oldukları ölçüde sanatçının sanatı kanalıyla verdiği mesajı daha şeffaf bir biçimde başkalaştırır. İşbu biyografik çalışma bu hükmün Toynbee'nin durumu için ne kadar doğru olduğunu göstermektedir.

Bu kıstasa göre Toynbee, Avrupa (ve yeni gelişen küresel) edebi ve tarih kültürünün önde gelen bir çehresi olmaya, tasnif haysiyetini muhafaza adına belirtelim, çok gelecek vadetmese de hakiki bir adaydır. İlk başta biraz abartılı görülebilir ancak eğer Toynbee edebi bir çehre ile karşılaştırılacaksa bu çehre Milton ve Dante gibi bir isim olmalıdır. Bahsi geçen şairler kendi dönemlerindeki bilinebilecek şeylerin büyük bir kısmını tam öğrenerek malumatlarını damıtmış yazıya dökmüşlerdir. Şiir ve tarih arasındaki fark yeterince somuttur: geçmiş hadiseler tarihçilerin düşüncelerini şairlere kıyasla daha kesin kısıtlar. Öte yandan tarihsel olguları dokuyarak bir araya getirmede muhayyilenin üstlendiği rol, tarihsel bir çalışmaya mana ve yapı katan şeydir. Zira olgular kendi adlarına konuşmadıkları gibi, anlaşılır bir tarzda kendi kendilerini tanzim de etmezler. Binaenaleyh, Toynbee'nin tarihi, diğer tüm tarihçilerin çalışmaları gibi, özünde şiirseldir ve o şekilde değerlendirilmesi gerekir.

Bu perspektiften bakıldığında Toynbee'nin tarih ve Avrupa edebiyatı sahalarına hakikaten fevkalade hakimiyeti, kendi yaşadıkları devirlerde Dante ve Milton'la özdeşleşen, iyi özümsenmiş bir tahsil ile benzeşir. Ancak Toynbee'nin doğa bilimlerindeki kara cahilliği, şiirdeki seleflerinde hiç gözlenmediği ölçüde büyük bir kusur teşkil etmektedir. Belli ki Toynbee'nin dini spekülasyonları İsevi mirasını başkalaştırıp zayıflatsa da onu sürdürmüştür ki bu İsevi tereke Dante ve Milton'da da merkezi bir yer işgal eder. Ayrıca Toynbee'de, Milton'ın ezilen, asi ve aykırı prototip olarak Şeytan'a duyduğu sempati de görülmektedir.

Ancak Toynbee'nin bu iki şair ile bağı böylesi bariz halef selef sürekliğinden daha derin ve güçlüdür. İnsanoğlu dünyaya mana vermek için kelime ve simgeleri kullanır. Üzerinde mutabık olduğumuz kurgular olmasa münferit kalacak şahsiyetlerin sevk ve tahrikiyle, bu kurguların gücüne istinaden, müşterek girişimlerde rutin olarak harikalar yaratıyoruz. İnsanlık destanının merkezinde bu kabiliyet vardır. Toynbee'yi, Dante ve Milton'la aynı paranteze almamızı temin eden şey her üçünün de doğruluğuna inandıkları her şeyin ışığında, dünyanın anlaşılabilirliğini tasdik ve yeniden tanımlamaya adadıkları epik boyutlardaki gayrettir. İnsani ve ilahi kavramlara dair anlayışları Hristiyan Batı Aleminin geleneğine aittir ve bu geleneği tanımlamaya yardımcı olur. Söz konusu gelenek çalışmaya ve tevarüs etmeye değer olduğu sürece Toynbee şair seleflerinin yirminci yüzyıldaki mukallidi olarak tasnif edilmelidir zira o da selefleri gibi dur durak bilmeden dünyaya bir mana vermeye çalışan güçlü ve yaratıcı bir zihne sahiptir.

Mukallid olarak Toynbee'nin endamı nasıl bir şekil bulacak? Cüce mi olacak yoksa dev mi? Bekleyip, göreceğiz. Bu, tarihçilerin ve kültürümüzün entelektüel varislerinin dünya tarihini gelecekte nasıl istimal edeceğine bağlı zira bir yazarın endamı onun özündeki liyakatten ziyade başkalarının yazarın söylemine verdiği yanıtla tanınır.

***

Toynbee'yi iki antik Yunanlı tarihçiyle mukayese etmek, üzerinde zaman harcamaya değer bir bahistir zira bu tarihçiler onun entelektüel görünüm ve emellerini şekillendirmede önemli bir yer tutar. Paralellik arz eden unsurlara bakıldığında kayda değer ve tam manasıyla Toynbee'yle özdeşleşen bir kıyas bir anda akla geliverir. Öncelikle, Heredot ile Homer arasındaki ilişkinin aynısının Toynbee ile Milton arasında olduğunu önermek istiyorum. Aradaki uyum imkansız denilecek boyutta tamdır. Hem Heredot hem de Toynbee seleflerinin bel bağladığı nazım yerine nesirle yazmış, araştırmalarıyla coğrafi olarak bilinen dünyanın bir ucundan diğer ucuna dolaşmıştır. Hem Heredot hem de Toynbee şair seleflerinin dini görüşlerini topyekun reddetmek yerine, söz konusu görüşleri seyreltip zayıflatmışlardır. Her ikisi de sayısız derkenar ve istitratlarla bezedikleri metinlerinde eserin merkezi fikrini tarihlerinin arkasına perdeleyecek ölçüde enfes ayrıntılarda kaybolmaya meyyaldir. Öte yandan her ikisinde de merkezi fikir ve sezişlerin yanında, keşiflerini giydirip kuşandıracak etkin bir edebi tarza hakimiyet mevcuttur.

Thucydides ile yapılacak mukayese o kadar da bedihi değildir zira Thucydides'in metnindeki aşırı ciddiyet, Toynbee'de görülen söylemsel fazlalıktan fersah fersah ayrılır. Yine de düşünmeye değer iki bağlantı vardır. İlk ve en aşikar olanı Thucydides'in monografik tarihine verdiği ve Toynbee'nin ödünç aldığı dramatik formudur ki Toynbee bunu önce Greko-Romen medeniyetine daha sonra da diğer tüm medeniyetlere uygulamıştır. İki yazar arasında bir başka benzeşim daha vardır. Cornford'un sözünü ciddiye alacak olursak, Thucydides tarihini güncel ve nevzuhur fikirleri kullanarak yazmaya başlamış ama ardından Atina'nın trajik düşüşüne izah getirmek amacıyla Hubris ve Ate'nin varlığını yeniden tasdik ederek fikrini değiştirmiştir. Toynbee de devasa eserini kısmen antik çağların yazarlarından kısmen de Frazer, Bergson, Teggart, Freeman ve Spengler gibi kendi çağdaşlarından türettiği bir takım fikirlerle yazmaya başlamıştır. Daha sonra, bu kitapta da gördüğümüz üzere, Toynbee'nin şahsi ve umumi tecrübesi, adına genellikle Tanrı dediği müteal bir Ruhi Hakikatı hesaba katmadan, söz konusu hakikat İsevi ananede yer alan kadir bir ilahla özdeşleştirilmeden dünyanın anlaşılamayacağına onu ikna etmiştir. Hubris ve Ate'ye çağrıda bulunarak Thucydides de insan ilişkilerini izah ederken tabiat üstü kuvvetlere yer vermiş ve bunu, tıpkı Toynbee'nin Hristiyan mirasındaki öğeleri seyrelterek kullanması gibi, kendi dini terekesinden yararlanarak yapmıştır.

Bahsedegeldiğimiz paralellikler Toynbee'yi Batılı ananenin en büyük yazarlarından bazılarıyla eşleştirdiği için üzerinde düşünmeğe değer. Alternatif bir gelecek Toynbee'yi Soka Gakkai'nin yirminci yüzyıldaki bodhisattvası olarak yorumlayabilir. Toynbee'nin böylesi bir azizlik mertebesine ref'i, öncelikle Batılı öğrenme ananesinin tasfiye ve terkini gerektirir ki bu da Toynbee'nin medeniyet döngülerine dair vizyonunun ironik bir kanıtı olur. Bu durum ihtimalden uzak görülse de tarih ihtimalden uzak şeylerle doludur ve bu da imkansız olduğu gerekçesiyle çizilip atılmamalıdır.

Hepsinden daha muhtemeli Toynbee'nin saygınlığının 1950'lerdeki dar görüşlü eleştirmenlerin elinde gördüğü haksız reddiyelerden toparlanacağını varsaymaktır ancak tarih çalışmasındaki hatalar, kusurlar ve tarihinin gereksiz uzunluğu müstakbel tarihçileri Toynbee'yi süslü ifadelerle dolu ve rahatlıkla özetlemek için çok uzun yazan, geri planda kalmış bir çehre gibi muamele etmeye yönlendirecektir. Pek çok şey tarih disiplinin nasıl gelişeceğine ve tarihçiler ile diğer entelektüellerin insanoğlunun dünya adlı seyyare üzerindeki muhtelif maceralarını anlaşılabilir bir bütüne indirgemekteki azim ve sebatına bağlıdır. Eğer bundan başarılı olunursa, o zaman Toynbee'nin öncü rolü mutlaka tanınıp alkışlanacaktır.

1. Bodleian Kütüphanesi, Toynbee Belgeleri, Sorunlar ve Cevaplar adlı NBC programının deşifresi, 10 Ocak 1965.
2. Bodleian Kütüphanesi, Toynbee Belgeleri, Sunday Times gazete kupürü, 15 Ekim 1972.
3. Bodleian Kütüphanesi, Toynbee Belgeleri, Daily Telegraph Magazine, 17 Nisan 1970, sayfa 17.
4. Herder'in Ideen zur Philosophie der Geschihte der Menschheit (1784-1791) adlı eserinin yanı sıra Montesquieu'nun Lettres persanes (1721) ve Voltaire'in Essai sur les moeurs (1756) başlıklı çalışmaları bu geleneğin büyük abideleridir.
5. Toynbee'nin eserlerinin tercümeleriyle fikirleri geniş kitlelerin erişimine açılmıştır. Örneğin en büyük popüler başarısı olan Somervell'in yaptığı A Study of History'nin ilk altı cildinden muhtasar çalışmanın Almanca, Arapça, Danca, Felemenkçe, Fince, Fransızca, Guceratça, Hintçe, İtalyanca, Japonca, Norveççe, Portekizce, Sırp-Hırvat Dili, İspanyolca, İsveççe ve Urduca tercümeleri yapılmıştır.

Monoprotik asitlerin sudaki dengesi etrafında bir vakıa çalışması ile kimyasal denge problemlerinin layıkıyla incelenmesine çağrı

Pietro Longhi adlı Venedikli bir sanatçının 1757 tarihli ve Şarlatan konulu bir yağlı boya çalışması vardır. Tabloda, şarlatan bir masaya çıkmış, kendini çevreleyen ve adeta aldanmaktan mutluluk duyan kadınlara birşeyler gösterir. Yan tarafa o tablodan bir ayrıntıyı, şarlatanın kendisini koydum. Şarlatanın elinde tuttuğu şeye dikkatle bakarsanız, o nesnenin balon jojeye (volumetric flask) benzer, koyu renk camdan imal edilmiş bir laboratuvar aracı olduğunu görürsünüz. Evet, şarlatanımız ya bir simyacı/eczacı/kimyacı ya da bu meslek erbabından olduğuna dair soyut bir maskeye bürünmüş bir dolandırıcı. Şarlatanlığa denk kötü bir namı var simyacıların. Ve bin yılı aşkın bir süre hayat iksiri, felsefe taşı, esir elementi gibi varlığına dair makul bir şüphe dahi olmayan malzemelerin peşinde sağa sola toslayan bir maceraları. Öyle ki, bu macerada bu derece gizemli maddeleri insan idrarında arayacak ve küçük bir havuzu doldurmaya yetecek kadar idrarı damıtıp, element halinde fosforu keşfedecek kadar tuhaf sürprizlerle dolu bir macera. Bu trajikomik macerada suçun ciddi bir kısmı da kimyacıların çok uzun bir süre, ne deneysel yöntemin ne de matematiğin kurallarına layıkıyla riayet etmemelerine ait. Doğru yöntem ilerlemenin kalbindedir ve yönteminiz doğru değilse ancak tesadüflerle ilerleme kaydedebilirsiniz. Mesela neden doğru orantıdan ibaret olan stokiyometriye ilişkin kanunların keşfi 19. yy'a kadar gecikmiştir? Bu geri kalmışlığı ben böyle izah ediyorum. Günümüz insanı 19. yy döneminin teknik imkanlarını belki küçümseyebilir ama astronomlar perturbasyon teorisi ile gözlenemeyen gezegenlerin varlıklarını, gözleyebildikleri diğer gezegenlerin yörüngelerindeki anomalilerden tespit edebiliyorlardı. Neptün gezegeninin varlığı ilk defa böyle tahmin edilmiştir.

Gerçek şu ki kimya biliminin araştırma ve eğitim geleneğinde hiçbir problem layıkıyla, yani o probleme ilişkin tüm araç gereçlerin tamamen uygulanmasıyla, incelenmez. Bu, özellikle de iş, sorunun matematiksel yönden incelenme aşamasına geldiğinde geçerlidir. Örneğin tüm genel, analitik ve hatta fizikokimya kitaplarında ideal sistemlerin dengeleri uzun uzadıya tartışılır. Söz konusu kitapların yazarlarının hemen hemen hepsi vahşi laboratuvarların en hızlı hesap makinesi çeken laborantı gibi sorunun sayısal çözümüne ilişkin bir kısım aşırı derecede basit yöntemler anlatırlar. Hepsinde, ah aman Allah'ım ne de zor olan, kuadratik formül kullanılır. Hatta bir kısmı yüksek dereceden cebirsel denklemler için Picard yinelemesine benzer bir yol önerirler. (Hayır, tabii ki Picard'ın adı geçmez.) Biraz şanslıysanız Raphson-Newton yöntemini görebilirsiniz. Ama problemin tabiatına muhtemelen en uygun olan Durand-Kerner yöntemi bu kitaplara henüz nüzul etmemiştir. Bu noksanlıkları nihayetinde hepsi sayısal yöntemlere ilişkin oldukları için görmezden gelebiliriz. Sonuçta, Maxima gibi bilgisayar cebir sistemleri ile her çeşit cebirsel denklemin sayısal çözümünü elde edebiliyoruz. Bunlardan daha vahimi -ve bu cehalet asla kabul edilemez- söz konusu kitaplarda sunulan denklemlerin

• sınıfları belirtilmez.
• çözümlerine ilişkin bir varlık (existence) ispatına tenezzül dahi edilmez.
• çözümlerin eşsizliğine (biriciklik, uniqueness) dair bir endişe hiç yoktur. (Kör-ebenin boyutunu düşünsenize: sadece bir tane kök bulacağınızı sanarak beşinci dereceden bir denklem çözüyorsunuz.)
• çözümlerinin, sistemi tanımlayan parametrelere göre nasıl karekter değiştireceğine dair bir asimptotik analiz çalışması adeta lüzumsuzdur.

Halbuki şu son derece makul talepleri karşılayan matematiksel teknikler ta 19. yy'da icat edilmiş olup, günümüzde yeterince olgun bir seviyededir. Açık konuşmak gerekirse ben problemi hakkıyla irdelemeye sırt dönen bu küstah ve cahil tavırla, insanları aldatan şarlatanın karaktersizliği arasında pek de bir fark görmüyorum...

Karanlığa küfretmek yerine arzuladığımız inceleme tarzına basit bir problem etrafında bir örnek verelim ve talep ettiğimiz analizin bir kısmının nasıl yapılması gerektiğini gösterelim.

Problemin tanımı

Hepimizin ta lise öğrenciliği yıllarından beri aşina olduğu bir problemle ne demek istediğime bir örnek vermek istiyorum. Analitik derişimi $c$ olan HA monoprotik asidinin sulu çözeltisini hazırladık ve bu asidin ayrışma sabiti $K_{\rm a}$ ve suyun kendiliğinden iyonlaşma sabiti $K_{\rm su}$ veriliyorlar. Konuyla ilgili kimyasal reaksiyonlar şöyledir: \begin{eqnarray} \nonumber && {\rm HA(aq)+H_{2}O(s)} \ \rightleftharpoons \ {\rm H_{3}O^{+}(aq)+A^{-}(aq)}, \ \ \ K_{\rm a} := \frac{[{\rm H_{3}O^{+}}][{\rm A^{-}}]}{[{\rm HA}]}, \\ \nonumber && {\rm 2 H_{2}O(s)} \ \rightleftharpoons \ {\rm H_{3}O^{+}(aq) + OH^{-}(aq)}, \ \ \ K_{\rm su} := [{\rm H_{3}O^{+}}][{\rm OH^{-}}]. \end{eqnarray} Bu denge tepkimelerine ve ilgili denge sabitlerine ek olarak, sulu çözelti dengesini aşan iki tane kanuna da uymak zorundayız. Bunlar kütle ve yük korunumu kanunlarıdır. \begin{eqnarray} \nonumber &&c = [{\rm HA}] + [{\rm A^{-}}] \\ \nonumber &&[{\rm H_{3}O^{+}}] = [{\rm OH^{-}}] + [{\rm A^{-}}] \end{eqnarray} Şimdi $x:=[{\rm H_{3}O^{+}}]$ tanımıyla, yukarıda verilen dört denklemi de kullanarak, çözüldüğünde çözeltinin asitliğini veren kübik bir denkleme ulaşmak mümkündür. Bu basit alıştırmanın ayrıntılarını burada anlatmayacağım, zira çoğu genel ve analitik kimya kitabında işin detayları izah edilmektedir. Söz konusu kübik denklem şöyle: \begin{equation*} f([{\rm H_{3}O^{+}}]) = 0 \ \ \ {\rm ve \ burada} \ \ \ f(x) := x^{3} + K_{\rm a}x^{2} - (K_{\rm su}+K_{a}c)x - K_{\rm a} K_{\rm su}. \end{equation*} Geleneksel tarzda yazılmış kimya kitaplarından yolumuzu bu aşamada ayıracağız.

İndirgenmiş nicelikler değişken sayısını azaltır ve sayısal çözümlerde kararlılık sağlar

$f$ fonksiyonuna (polinomuna) baktığımızda, onun $K_{\rm a}$, $K_{\rm su}$ ve $c$ olmak üzere toplamda üç parametreye bağlı olduğunu görüyoruz. Eğer derişim birimindeki nicelikleri $\sqrt{K_{\rm su}}$ biriminde ölçecek olursak, o zaman $x =: \xi \sqrt{K_{\rm su}}$, $c =: \gamma \sqrt{K_{\rm su}}$ ve $ K_{\rm a} =: \kappa \sqrt{K_{\rm su}}$ ile yeni nicelikler tanımlamamız mümkün. Bu nicelikleri $f$ polinomunda yerine koyup her iki tarafı $K_{\rm su}^{3/2}$ ile sadeleştirdiğimizde aşağıdaki denkleme ulaşıyoruz. \begin{equation*} F(\xi) := \frac{1}{K_{\rm su}^{3/2}} f(\xi K_{\rm su}^{1/2}) = \xi^{3} + \kappa \xi^{2} - (1+\kappa \gamma) \xi - \kappa \end{equation*} $F$ ve $f$ polinomlarının kökleri bir skala faktörüne kadar aynı olduğundan bundan sonra $F$ polinomunun köklerini arayacağız. Ama burada bir şeyin dikkatimizi çekmesi lazım. $F$ polinomu ve dolayısıyla onun kökleri sadece iki parametreye bağlı: $\kappa$ ve $\gamma$. Özellikle sembolik hesaplama ile uğraşanlar bilirler. Bir problemdeki parametreleri ne kadar azaltırsak işlemlerimiz o kadar kolaylaşır. Buna isterseniz Domuzdan kıl koparsak kârdır. diyebilirsiniz. Ama buna ek olarak indirgenmiş niceliklerde çalışılan bir problem bize o problemin özünü tayin eden parametreleri en yalın ve yorumlaması kolay halleriyle ortaya çıkarma imkanı verir.

$F$ polinomunda $K_{\rm su}$ niceliğinin ortadan kaybolmasının hesaplama yönüyle işimizi kolaylaştırdığı bariz. Ama bunun da ötesinde bize bir kavrayış sunuyor bu durum. İzah edelim. Lise mezunu bir öğrenciye asitlik bazlık yönünden sulu bir çözeltinin nötr olma şartını sorarsanız Pavlov refleksi şöyledir: pH=7. Yanlış değil ama bu cevap sadece sıcaklığın 25 °C civarında olduğu durumlarda geçerlidir. Tıbbi biyokimyacı genellikle sıcaklığın 37 °C olduğu çözeltilere ilgi duyar. Ama o sıcaklıkta suyun kendi kendine iyonlaşma sabiti $1 \times 10^{-14}$ ile artık kestirilemeyeceğinden, nötrlük şartı da artık pH=7 değildir. Bu durumda kaçınılmaz olarak nötrlük şartını $[{\rm H_{3}O^{+}}] = \sqrt{K_{\rm su}}$ ile ifade etmek zorundayız. Pekiyi bizim bir önceki paragrafta tanımladığımız niceliklerde nötrlük şartı ne? Cevap $\xi=1$, her sıcaklıkta! Dahası bir çözeltinin asidik olması için gerek ve yeter şart her sıcaklıkta $\xi > 1$ ile veriliyor. Bazik olması da yine her sıcaklıkta $\xi < 1$ şartına bağlı. Şunu kabul edelim ki $1\times 10^{-7}$ gibi eciş bücüş bir sayıya ya da insanın ilk bakışta yadırgadığı pH=7 şartına kıyasla $\xi=1$ son derece makul hem de her sıcaklıkta geçerli olması hasebiyle daha güçlü bir şart.

Bu bölümü bitirirken şunu vurgulayalım ki derişimleri ölçebileceğimiz yegane birim $K_{\rm su}^{1/2}$ değildir. Siz de bir alıştırma olarak $x =: \eta \sqrt{K_{\rm a}c}$ skalasının özelliklerini soruşturunuz.

Aradığımız çözümün varlığı

$F$ polinomu kübik bir ifade. Üç tane kökü var. Ama bu kökler bizi yeterince tatmin etmiyor. Sonuçta cebirsel ifadeler, kimyacı değil. Bütün kökleri negatif hatta bazı kökleri karmaşık bile olabilir. Negatif veya karmaşık değerli asit derişimi diye bir şey yok tabii ki! $F$ polinomunun pozitif bir kökünün olduğunu ispatlamamız da bizim için yeterli değil. Eğer aradığımız çözüm $\xi \in [0,1]$ aralığında ise, o zaman bir asit çözeltisinin aslında bazik olduğunu bulmuş olacağız. Bu ise bir skandal. Bizim ne yapıp edip $F$ polinomun $(1,\infty)$ aralığında en az bir kökü olduğunu göstermemiz gerekiyor. Buna varlık şartı diyelim.

Şimdi $F(1)=-\kappa \gamma$ olduğundan rahatlıkla $F(1) < 0$ diyebiliriz. Ayrıca $F$ polinomunun önde giden katsayısı pozitif olduğundan belli bir $M>0$ sayısından sonra, her $\xi > M$ için, $F(\xi)$ pozitif olacaktır. Demek ki sürekli olan $F$ fonksiyonu $(1,\infty)$ aralığında işaret değiştirmektedir. Ama bu onun $(1,\infty)$ aralığında en az bir kökünün olduğunu ispatlar.

Aradığımız çözümün eşsizliği

Dedik ya cebirsel denklemler kimyacı değil. Bizim endişelerimizi anlamazlar. $F$ polinomu $(1,\infty)$ aralığına üç tane kök koyarsa ne yapacağız? Bu köklerin hangisini seçeceğiz çözüm diye? Birden fazla denge durumu varsa sistem bu durumlar arasında gidip gelir mi? Ve daha bir sürü insanı tedirgin eden soru... Descartes'ın işaret kuralını bilenler aslında sadece bir tane pozitif kök olduğunu hemen gösterebilir ama biz Viete-Girard simetrik fonksiyonlarını kullanarak sadece bir tane pozitif kök olduğunu ispatlayacağız. Köklerden en az bir tanesinin pozitif olduğunu bildiğimizden önümüzde bir kaç alternatif var.

1. Diğer iki kök karmaşık. Böyle bir durumda hiçbir şey yapmamıza gerek yok, zira karmaşık kökleri zaten aramıyoruz.
2. Diğer köklerden sadece birisi karmaşık. Böyle bir durum imkansız, zira eğer mümkün olsaydı, o zaman kökler çarpımının $\xi_{1}\xi_{2}\xi_{3}=\kappa$ karmaşık (veya sıfır) olması gerekirdi, ama çarpım gerçel, hatta pozitif.
3. Diğer iki kök de gerçel. Bu durumun ayrıntılarına bakalım.
   1. Bu iki kökten en az birisi negatif olmalıdır. Kökler toplamına baktığımızda $\xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}=-\kappa$ olduğunu görüyoruz. Üç kök de pozitif olursa bu durum mümkün olamayacağından en az birisi negatif olmalıdır.
   2. İki kök de kesinlikle negatif olmalıdır. Kökler çarpımının pozitif olduğunu biliyoruz. En az bir kökün negatif olması gerektiğini de. Bu iki durumun bağdaşması ancak ve ancak diğer iki kökün kesinlikle negatif olmasıyla mümkündür ve eşsizlik ispatımız burada tamamlanmıştır.

Çözümün tutarlılığı

Moleküler asidin (HA) derişimini arttırdığımızda, o çözeltideki hidronyum (H₃O⁺) derişiminin de artmasını bekleriz. Buna tutarlılık diyeceğiz. Tutarlılık şartının matematiksel ifadesi şöyledir: $\gamma_{2} > \gamma_{1} \ \Rightarrow \ \xi (\gamma_{2},\kappa) > \xi (\gamma_{1},\kappa)$. Analitik olarak ifade ettiğimizde bu, $\xi$ niceliğinin $\gamma$ değişkenine göre artan bir fonksiyon olduğunu söyler. Bu şartı analizin imkanlarını kullanarak da ifade etmek mümkün. \begin{equation*} \frac{\partial \xi}{\partial \gamma} > 0 \end{equation*}

Formel olarak $F(\xi) =0$ denkleminin $\gamma$ niceliğine göre kısmi türevini alalım. \begin{equation*} 0=3\xi^{2} \frac{\partial \xi}{\partial \gamma} + 2 \kappa \xi \frac{\partial \xi}{\partial \gamma} - \kappa \xi - (1+\kappa \gamma) \frac{\partial \xi}{\partial \gamma} \end{equation*} Bu denklem kısmi türevi çekecek şekilde yeniden düzenlendiğinde aşağıdaki denkleme ulaşırız. \begin{equation*} \frac{\partial \xi}{\partial \gamma} = \frac{\kappa \xi}{3 \xi^{2} + 2 \kappa \xi - (1+\kappa \gamma)} \end{equation*} Eğer paydadaki negatif işaretli terim olmasaydı tutarlılık şartını hemen burada sonlandırabilirdik. Ama o negatif terim bütün bir oranı negatif kılacak kadar büyük olabilir. Şimdi bir kere daha $F(\xi)=0$ denklemine gidelim ve bu denklemden \begin{equation*} -(1+\kappa \gamma) = -\xi^{2} - \kappa \xi + \frac{\kappa}{\xi} \end{equation*} olduğunu gözleyelim. Nihayet bu ifadeyi kısmi türevi veren oranda yerine korsak \begin{equation*} \frac{\partial \xi}{\partial \gamma} = \frac{\kappa \xi}{2 \xi^{2} + \kappa \xi + \frac{\kappa}{\xi}} > 0 \end{equation*} sonucuna ulaşır ve ispatımızı tamamlarız.

Konvekslikle ilgili hususlar

Konvekslikle ilgili tanımlar genelde tam hatırlanmadığı için hafızamızı tazelemekle başlayalım. Noktasal bir kümenin konveks oluşunu bu küme içinde alınan herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının tamamen aynı küme içinde kalmasıyla tanımlıyoruz. Örneğin çember, elips ve kare konveks kümeler. Öte yandan hilal ve yıldız şekillerinin içindeki noktalar konveks bir küme oluşturmuyor. Bir fonksiyonun grafiğinin üstündeki bölge eğer konveks ise, o fonksiyona konveks diyoruz. Bu tanıma göre $x^{2}$ ve $\exp(x)$ konveks fonksiyonlar. Bir fonksiyonun negatifi konveks ise, o zaman o fonksiyona da konkav diyoruz. Örneğin $\sqrt{x}$ ve $\log(x)$ fonksiyonları konkav. Burada ispatını vermeyeceğiz ama bir fonksiyonun konveksliği ve konkavlığı onun ikinci türevinin işareti ile verilebilir. Bir bölgede ikinci türevi negatif ise fonksiyon o bölgede konkavdır, pozitifse konveks.

Bir önceki bölümde $\xi(\gamma)$ fonksiyonunun her durumda artan olduğunu kesin bir şekilde gösterdik. Öte yandan bu fonksiyonun konveks mi yoksa konkav mı olduğunu bilmiyoruz. Artışın niteliğine dair bir öngörüde bulunmak için ikinci türevi de hesaplamamız gerekecek. Aşağıdaki denklemin ispatına okura bir alıştırma olarak bırakıyorum. \begin{equation*} \frac{\partial^{2}\xi}{\partial \gamma^{2}} = \frac{2}{\kappa} \left( \frac{\partial \log \xi}{\partial \gamma} \right)^{3} (\kappa - \xi^{3}) \end{equation*} Bu denkleme göre ikinci türevin işareti sadece $\kappa - \xi^{3}$ ifadesinin işaretine bağlı. (Diğer ifadelerin pozitif olduğu bariz.) Sezgisel olarak $\gamma$ arrtıkça $\xi$ de artacağı için $\xi(\gamma)$ fonksiyonun $(0,\infty)$ aralığında daima konveks kalmasını bekleyemeyiz. Bir noktadan sonra konkav olacaktır. Diğer bir ifadeyle profil $(0,\gamma_{c})$ aralığında konveks, $(\gamma_{c},\infty)$ aralığında ise konkav olmalıdır. Buradaki $\gamma_{c}$ değeri profilin konveksten konkava döndüğü kritik asit derişimidir. Bu derişimdeki hidronyum konsantrasyonunu biliyoruz: $\xi_{c} = \kappa^{1/3}$. Bunu $F(\xi_{c})=0$ denklemine koyduğumuzda aradığımız $\gamma_{c}$ değerinin \begin{equation*} \boxed{\gamma_{c} = \kappa^{1/3}-\kappa^{-1}} \end{equation*} olduğu görülür. $\kappa < 1$ ise, o zaman $\xi(\gamma)$ profilinin her zaman konkav olacağını not ediniz. Konkav artan fonksiyonlar çok zayıf bir şekilde arttıklarından, $\gamma_{c} \leq 0$ şartını sağlayan asitlere konkav-zayıf diyebiliriz.

Arşimet'in parabol üçgeni

Arşimet'in parabol dilimi ve elipsin alanlarını, kürenin hacmini veren formülleri keşfettiğini bazılarımız duymuştur. Böyle bir formül türetme işini günümüzde integral tekniklerini kullanarak yapmak çok kolay gerçekten. Ama Arşimet'in zamanında integral analizin, daha doğrusu topyekün analizin hiç olmadığı bir dönemde bunu yapmak o kadar da kolay bir iş değil. Bu postada parabol diliminin alanını integral tekniklerini kullanmadan, Arşimet gibi hesaplamaya çalışacağız. Daha önce parabolle ilgili yerölçüsünde -sadece cetvel pergel çizimlerini kullanarak- iki yazı yazdık. Bu üçüncüsü. Genel kültür olarak aklımızda bulunsun. Arşimet, parabolün alanıyla ilgili çalışmasını vefat eden Konon adlı matematikçi bir dostunun yerine saydığı Dositeus'a gönderdiği taziye mektubunda ilk defa ilan etmiş oluyor. Biri mekanik -levhaların dengesinden- ötekisi geometrik iki ispat öneriyor. Biz geometrik ispata yer vereceğiz. Daha fazla bilgiye Heath'in Arşimet'le ilgili çalışmasından ulaşabilirsiniz. Geometrik ispatında kullandığı yöntem, Arşimet'in en sevdiği teoremlerden birisine dayanıyor ve günümüzde gerçel analiz derslerinde bir şeyin sıfır olduğunu ispatlamakta da kullanılır. Birazdan değineceğiz buna ama biz işe parabol/Arşimet üçgenini tanımlamakla başlayalım.

Tanım: Tabanı parabole çekilen bir kirişten, tepe noktası ise kirişin orta noktasından parabolün simetri eksenine paralel çizilen doğru ile parabolün kesişiminden oluşan üçgene Arşimet üçgeni denir.

Şekilde $PQR$ üçgeni bir parabol üçgenidir. Bu üçgen bizim daha önce yerölçüsünde çizimini tarif etmediğimiz bir şey içermiyor. Hatırlatmak için vurgulayalım. Tanım gereği $x_{P} = x_{V} = (x_{Q}+x_{R})/2$ olur ve dahası parabolün denklemi için de daha önce izah ettiğimiz gerekçelerden ötürü $y = x^{2}$ eşitliğini kullanmak yeterlidir. Temel vektör analizi ile Arşimet üçgeninin alanını hesaplayabiliriz. \begin{eqnarray}\nonumber {\bf u} &:=& (x_{P}-x_{V},y_{P}-y_{V}) = (0,-\tfrac{1}{4}(x_{Q}-x_{R})^{2})\\ \nonumber {\bf v} &:=& (x_{Q}-x_{V},y_{Q}-y_{V}) = (\tfrac{1}{2}(x_{Q}-x_{R}),\tfrac{1}{2}(x_{Q}^{2}-x_{R}^{2})) \end{eqnarray} Şimdi $S(\Delta PQR)=S(\Delta PQV) + S(\Delta PVR) = 2S(\Delta PQV) = |{\bf u} \times {\bf v}|$ olduğundan bu alan kolaylıkla hesaplanılır. Sonuç \begin{equation*} S(\Delta PQR) = \frac{1}{8}|x_{Q}-x_{R}|^{3} =: \sigma. \end{equation*}

Arşimet üçgeninin alanı ummadığımız derecede kolay bir formülle veriliyor. Bilmemiz gereken tek şey kirişin uç noktalarının $x$ koordinatları. Şekildeki tek Arşimet üçgeni $\triangle PQR$ değil. $PQ$ kirişi de parabolden bir dilim kesiyor ve $\triangle PP_{l}Q$ da bir Arşimet üçgeni. Alanı ise bir önceki paragrafta yaptığımız analize dayanarak \begin{equation*} S(\Delta PP_{l}Q) = \frac{1}{8} |x_{Q}-x_{P}|^{3} = \frac{1}{64} |x_{Q}-x_{R}|^{3} = \frac{1}{8} S(\Delta PQR) = \frac{1}{8} \sigma \end{equation*} ile veriliyor. Okur kolayca $S(\triangle PP_{r}R)=S(\triangle PP_{l}Q)$ olduğunu gösterebilir. Bulgularımızı aşağıdaki teoremde toparlayalım.

Teorem: Alanı $\sigma$ olan bir Arşimet üçgeninin tabandan farklı iki kenarı üzerinde alanları birbirine eşit ve toplamda $\sigma/4$ olan iki Arşimet üçgeni daha kurulabilir.

Bizi bu aşamada durduran hiç bir şey yok. Parabol diliminin içini Arşimet üçgenleriyle dolduracağız ve hepsinin toplam alanını hesaplayacağız. Bu işi çok fazla yaparsak, o zaman parabol diliminin alanına bir alt sınır da kestirmiş oluruz. Şimdi $QP_{l}$, $P_{l}P$, $PP_{r}$ ve $P_{r}R$ kirişlerinin üstüne de Arşimet üçgenleri kuralım. Bu işi $n$ defa yinelediğimizde her seviyede $2^{n-1}$ tane Arşimet üçgeni kurulacak ve bu üçgenlerin toplam alanı \begin{equation*} \left( 1+\frac{1}{4}+ \cdots + \frac{1}{4^{n-1}} \right) \sigma = \frac{1-\frac{1}{4^{n}}}{1-\frac{1}{4}} \sigma = \frac{4}{3} \left( 1 - \frac{1}{4^{n}} \right) \sigma \end{equation*} olacaktır. Parabol diliminin alanına $K$ dersek, her $n>0$ için \begin{equation*} K > \frac{4}{3}\sigma - \frac{1}{3\cdot 4^{n-1}} \sigma \end{equation*} olur. $n$ büyüdükçe parabol diliminin alanına daha da yaklaşmasını umduğumuz bir alt limit kestirdik. Ama bir de üst limit bulmadan $K = 4 \sigma /3$ denkliğinden kesin emin olamayız.

Arşimet'in $\pi$ sayısını kestirirken kullandığı yönteme başvuracağız ve parabol dilimini alanını bildiğimiz bir başka şekille çerçeveleyeceğiz. Öncelikle $ABRQ$ paralelkenarını ele alalım. Bu şeklin geniş kenarı $QR$ kirişine, düşey kenarı ise $PV$ doğru parçasına paralel kurulmuştur. Literatürde böyle bir tabir yok, ama bir Arşimet üçgenini kapsayacak şekilde kurulan paralelkenara da Arşimet paralelkenarı diyebiliriz pekala. Şimdi $S(ABRQ) = 2 \sigma > K$ olduğu barizdir. Genelde Arşimet paralelkenarının alanca Arşimet üçgeninin iki katı olduğunu söyleyebiliriz. $2\sigma > K$ keskin bir üst limit değil. O zaman $PP_{l}Q$ ve $PP_{r}R$ üçgenlerinin üzerine de Arşimet paralelkenarları kuralım. $S(CPQD) = S(CPRE) = \sigma /4$ olduğu barizdir. Parabol diliminin alanına getirdiğimiz yeni üst limit de $\sigma + \sigma/2 > K$ şeklinde ifade edilebilir. Bu işi $n$ defa yinelediğimizde parabol diliminin alanına bir üst limit kestirmiş oluyoruz. \begin{equation*} \left(1 + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{4^{n-2}} \right)\sigma + 2\frac{\sigma}{8^{n-1}}2^{n-1} > K \end{equation*} Geometrik terimlerin toplamıyla ilgili cebirsel ifadeler kullanıldığında bulduğumuz üst limitin \begin{equation*} \frac{4}{3}\sigma + \frac{2}{3\cdot 4^{n-1}}\sigma > K \end{equation*} olduğu görülür. Daha önce bulduğumuz alt limitle bu üst limiti birleştirelim. \begin{equation*} \frac{4}{3}\sigma + \frac{2}{3\cdot 4^{n-1}}\sigma > K > \frac{4}{3}\sigma - \frac{1}{3\cdot 4^{n-1}} \sigma > \frac{4}{3}\sigma - \frac{2}{3\cdot 4^{n-1}} \sigma \end{equation*} Mutlak değer tanımını kullandığımızda aşağıdaki eşitsizliği kanıtlamış oluyoruz. \begin{equation*} \left| K - \frac{4}{3}\sigma \right| < \frac{2}{3\cdot 4^{n-1}}\sigma \end{equation*}

İspatımızı bitirmek için Arşimet'in en sevdiği lemmaya başvuralım. Arşimet bu özelliği alan hesaplarında ve $\pi$ sayısının kestirilmesinde kullanmıştır.

Lemma: Her $\epsilon > 0$ için $|x| < \epsilon$ ise, o zaman $x=0$ olur.
İspat: $x \ne 0$ olsun ve $|x| = \xi > 0$ diyelim. $0 < \epsilon = \xi/2$ seçilsin. $|x| > \epsilon$ olacağı barizdir. Ama bu teoremin hipoteziyle çelişir. QED

Gerçel analiz literatüründen aldığımız bu lemma uyarınca parabol diliminin alanının tam olarak $4 \sigma /3$ olduğu kanıtlanmıştır.

Dbfşbs Şfabs ejzf ölüonba

Stanley Kubrick'in meşhur 2001: A Space Odyssey adlı sinema eserinde yapay zeka ürünü bir bilgisayar var ve yapay zeka unsurunun konu edildiği her filmde olduğu gibi insiyatifi eline alıp hayatı insanlara zehir ediyor, hatta bazılarının ölümüne sebebiyet veriyor. Bilgisayarın adı HAL 9000 ama filmde bilgisayara kısaca HAL diyorlar. Şimdi İngiliz alfabesinden HAL'ın ismindeki her harfi bir sonraki ile değiştirelim: H→I, A→B ve L→M oluyor. Diğer bir ifadeyle HAL, IBM'e dönüşüyor. Söylemeye lüzum yok, IBM hem o zamanların hem de günümüzün en önde gelen teknoloji üreticilerinden birisi. Kubrick bunun bir tesadüf olduğunu söylüyor. Epey manidar bir tesadüf...

HAL'ın ismindeki harfleri bir kaydırmak zorunda değiliz. Mesela dört kaydırdığımızda LEP oluyor yapay zeka mamülünün adı. LEP'ten HAL'a geri dönmek istersek, o zaman da dört geri kaydıracağız. Kubrick Amerikalı değil de Leh (Polonyalı) olsaydı ve bilgisayarına HAL yerine WYZC diye bir isim seçseydi, o zaman modüler aritmetiğe başvurmak zorunda kalacaktık. Z harfini dört kaydırmak için alfabenin başına dönüp, oradan devam edecektik ve WYZC, ACDG olacaktı.

Yukarıda tarif ettiğimiz yöntem aslında antik çağlarda haberleşme güvenliğini sağlamak için Sezar tarafından kullanılıyordu ve Sezar şifrelemesi olarak bilinir. Sezar şifrelemesinde metindeki her bir harf alfabade $n$ birim kaydırılır. $n$ burada kilitleme anahtarı olarak adlandırılır. Alıcı ise deşifreleme için şifreli metni $n$ birim geri kaydırır ya da $-n$ birim ileri. Burada $-n$ ise açma anahtarı olabilir. Görüldüğü gibi metni şifreleyen ve deşifreleyen anahtarlar farklı. Öte yandan birisini bilince ötekini de hemen buluyorsunuz. Aşağıda kendisi kripto gibi olan bir şiirin 22 harf kaydırılarak şifrelenmiş hali görülüyor.

kara bir irin akiyor opunce o yikilmis gulusunden cocuklarin kara bir salgidir cunku buyuk seruvenler ve cocuklarin soluk alislari da urker herkes usumus bir anahtar olagelmekten      bir cocugun sehri carpar yuzumun varoslarina

gwnw xen enej wgeukn klqjya k uegehieo cqhqoqjzaj ykyqghwnej gwnw xen owhcezen yqjgq xquqg oanqrajhan ra ykyqghwnej okhqg wheohwne zw qngan dangao qoqiqo xen wjwdpwn khwcahiagpaj xen ykyqcqj oadne ywnlwn uqvqiqj rwnkohwnejw

Sağ taraftaki mesaja bakınca sanki birisi rasgele klavyenin tuşlarına basmış gibi görünüyor. Şöyle düşünebilirsiniz: Böylesine tesadüfi görünen ve manasız bir metni deşifrelemek çok zor olmalı. Maalesef yanlışsınız. Sezar şifrelemesi sadece nostaljik ve tarihi öneme sahiptir. Çünkü alfabenizde kaç harf varsa, ancak o kadar anahtarınız olabilir. Şifreli mesajınızı ele geçiren bir saldırganın yapması gereken sadece -o da en kötü durumda- alfabenizdeki harf sayısından bir eksiği kadar deneme yanılma ile metindeki harfleri kaydırmaktır. Öte yandan Sezar döneminde insanların çoğunun okuma yazma dahi bilmediği düşünülürse, kendi çağı için güzel bir fikir olduğunu söyleyebiliriz.

Yıllar önce yazdığım Sezar kripto algoritmasına göre metni hem şifreleyen hem de deşifreleyen bir C programını aşağıya bırakıyorum. İyi eğlenceler.

/*
 * caesar.c is a small encryption program that (de)ciphers texts by using the
 * English alphabet. With the exception of lower and upper case letters,
 * everything else is left untouched although it is an easy matter to modify
 * the program so that they are encrypted/decrypted, too. The compiler command
 * is as follows: gcc -Wall -O3 caesar.c -o caesar
 *
 * MUSTAFA DEMIRPLAK
*/

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void encrypt(FILE *ip, FILE *op, int key);
/*
 * This function produces the ciphertext in op, from the plaintext ip using
 * the integer key according to Caesar's encryption scheme. Being symmetric,
 * negative of the key deciphers the text. Since English alphabet is used, key
 * must be in [-25,25].
*/

int main(int argc, char **argv)
{
   FILE *p1, *p2;
   if(argc != 4){
      printf("Usage: caesar [plaintextfile] [ciphertextfile] [integerkey]\n");
   } else if(abs(atoi(argv[3])) > 25) {
      printf("key (%d) must be an integer in [-25,25]\n", atoi(argv[3]));
      } else {
      p1 = fopen(argv[1],"r"); p2 = fopen(argv[2],"w");
      encrypt(p1, p2, atoi(argv[3]));
      fclose(p1); fclose(p2);
   }
   return(0);
}

void encrypt(FILE *ip, FILE *op, int key)
{
   char *line = NULL;
   int i;
   size_t len = 0;
   ssize_t read;

   while((read = getline(&line, &len, ip)) != -1) {
      for(i=0; i < read-1; i++){
         if(line[i] >= 'A' && line[i] <= 'Z'){
            line[i] = 'A' + (line[i] - 'A' + key)%26;
            while(line[i] < 'A')
               line[i] = line[i] + 26;
         } else if(line[i] >= 'a' && line[i] <= 'z'){
            line[i] = 'a' + (line[i] - 'a' + key)%26;
            while(line[i] < 'a')
               line[i] = line[i] + 26;
            }
      }
      fprintf(op,"%s",line);
   }
   free(line);
}

G. I. Taylor sadece patlama fotoğraflarına bakarak atom bombasının enerjisini hesapladı

Birleşik Devletler Kara Kuvvetleri Komutanlığı (US Army) tarafından 16 Temmuz 1945 tarihinde Socorro (NM) şehrinin 56 km güneydoğusundaki White Sands Proving Ground'da gerçekleştirilen Trinity (teslis) kod adlı tatbikat aynı zamanda Atomik Çağ'ın da başlangıcını tespit eder. Bu tatbikatta patlatılan ve gayrıresmi kod adı The Gadget (alet edevat) olan silah, daha sonra 9 Ağustos 1945'te Nagasaki'ye atılan Fat Man (şişman adam) kod adlı bombayla aynı prensibe dayanarak çalışmaktaydı. Trinity Tatbikatı'nda 20 kilotonluk TNT'nin patladığında yaydığı enerjiye eşdeğer bir patlama üretilmiştir.

1947 yılında Birleşik Devletler Atomik Enerji Komisyonu'nun (US Atomic Energy Commission) Trinity Tatbikatı'ndaki patlamanın video görüntülerini yayınlamasıyla birlikte, akışkanlar mekaniği ve dalga teorisi alanlarında bir uzman olan İngiliz matematikçi ve fizikçi Sir Geoffrey Ingram Taylor şok cephesinin yayılmasıyla ilgili teorilerini kanıtlamak üzere bu görüntüleri kullanmıştır. Çalışmalarını 1950 yılında iki makale ile yayınlayan Taylor, sadece Atomik Enerji Komisyonu'nun yayınladığı görüntüleri kullanarak, Trinity Tatbikatı'nda kullanılan atom bombasından çıkan enerjiyi de kestirebilmiştir. Bu enerji değeri o zamanlar için askeri sır olarak kabul ediliyordu ve Taylor'ın yalnızca fotoğraflara bakarak bu değeri kestirebilmesi kamuoyunda ve siyasi çevrelerde bir süre konuşuldu. 50'li yılların, Soğuk Savaş dönemindeki nükleer silahlanma yarışına denk geldiği hatırlanacak olursa, Taylor'ın makalesinin NATO ittifakı için ne denli büyük bir istihbarat skandalı ve fiyaskosu olduğu daha net algılanabilir.

Taylor'ın teorisi bugün astrofizikteki süpernova patlamaları da dahil olmak üzere, küresel simetrik patlamaların olduğu pek çok alanda uygulanmaktadır. Biz bu postada Taylor'ın yaptığı veri analizinin temel ilkelerini anlatacağız. Literatürde Taylor-Sedov patlaması olarak bilinen enerji yoğunluğunun bir akışkan içinde yayılmasıyla ilgili teoriye göre, şok cephesinin yarıçapı ($R$) ile anlık patlamadan sonra geçen zaman ($t$) arasında aşağıdaki gibi bir kuvvet kanunu vardır. \begin{equation} R = At^{\mu} \end{equation} Burada $A$ bir sabit olup, patlamanın yaydığı enerjiyle bağlantılıdır. $\mu>0$ ise teoriye göre değeri $2/5$ olan bir kuvvettir. Şimdi bu denklemde her iki tarafın logaritmasını alırsak, o zaman \begin{equation} \log R = \mu \log t + \log A \end{equation} denklemini elde ederiz. $y:= \log R$ ve $x := \log t$ tanımlarıyla aslında bu denklemin $y = mx+n$ formunda bir doğru denklemi olduğu barizdir. Burada doğrunun eğimi $m=\mu$ ve kesme noktası da $n=\log A$ olur. İstatistiksel veri analizindeki en küçük kareler yöntemi Atomik Enerji Komisyonu'nun yayınladığı fotoğraflara uygulanırsa, o zaman hem $\mu$ hem de $A$ değerleri kestirilmiş olur. Çünkü fotoğrafların üzerinde patlamadan sonra kaç saniye geçtiği ve fotoğrafın ölçeği (yani birim uzunluğun kaç metreye tekabül ettiği) verilmektedir. Örneğin aşağıdaki fotoğraf patlamadan 15 ms sonra çekilmiştir.

Bizim geometrici olarak burada vazifemiz şok cephesinin yarıçapını hesaplamaktır. Bunu yapmanın bir kaç yolu var. Ateş topunun üstünde üç nokta seçelim ve bu üç noktadan oluşan $ABC$ üçgeninin kenar uzunluklarını ($a,b,c$) cetvelle ölçelim. Daha önce bu blogda kenarları verilen bir üçgen için çevral çemberin yarıçapını hesaplamayı anlatmıştık. \begin{equation} R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}} \end{equation} Nihayet fotoğraf üzerinden ölçtüğümüz uzunluğun gerçekte kaç metreye tekabül ettiğini de ölçekten kolayca bulabiliriz.

Gerekmiyor ama ateş topunun merkezi de tespit edilebilir. Şekilde gösterildiği gibi $AB$, $AC$ ve $BC$ kenarlarının orta noktalarını tespit ettikten sonra, kenarlara bu noktalardan çekilen dikmeler ateş topunun merkezini (şekilde $O$ noktası) gösterir. Merkezin, patlamadan 15 ms sonra yaklaşık olarak yerden 30 m yüksekte olduğuna dikkat ediniz. Öldürme gücü daha yüksek olsun diye, atom bombaları zemine sıfırda patlatılmaz. Onun yerine zemine mesela 100 m gibi bir yükseklikteyken bomba düzeneği uzaktan kumandayla patlatılır.

Taylor'ın konuyla ilgili makaleleri

1. G. Taylor, The Formation of a Blast Wave by a Very Intense Explosion. I. Theoretical Discussion, Proc. R. Soc. Lond. A 201, 159-174 (1950). doi: 10.1098/rspa.1950.0049
2. G. Taylor, The Formation of a Blast Wave by a Very Intense Explosion. II. The Atomic Explosion of 1945, Proc. R. Soc. Lond. A 201, 175-186 (1950). doi: 10.1098/rspa.1950.0050