Hilal diliminin alanı

Bir daireden başka (ve daha büyük) bir daire yardımıyla kestiğimiz dilime hilal diyeceğiz. Bu tarife göre hilali tanımlayan üç parametre var: dairelerin yarıçapları $a$ ve $b$ ve iki dairenin merkezleri arasındaki uzaklık $c$. Bu postadaki sorumuz ise elde ettiğimiz hilalin alanını verilen parametreler cinsinden ifade etmek. Bu probleme İngilizce literatürde "Lune Problemi" deniyor. Lune, az çok hilal ile aynı anlamda.

Her sorunun farklı yöntemlerle çözümü olduğu gibi bu sorunun da (benim görebildiğim) iki farklı çözümü var. İlkinde trigonometri ve bir miktar lineer cebir kullanılarak istenilen alan hesaplanıyor. İkincisinde ise analitik geometri ve integral analizin imkanları devreye giriyor. İkinci yöntem daha sistematik ve daha genel. Birincisinde ise problemi çözen kişinin bir takım ek çizimlerle soruda verilmeyen şekil ve yapıları görmesi bekleniyor.

Çözümü elde ettikten sonra çıkan sonucu kurcalayarak değişik limitleri araştırmak ve cevabımızın tutarlılığını sorgulamak da mümkün. Örneğin $\frac{a}{b} \to 0$ asimptotiğinde hilal yerine bir "dördün" ya da D harfi benzeri bir yapı elde ediliyor. D harfinin alanını ayrıca hesaplayarak limit durumunda onu elde ettiğimizi gösterebilmemiz lazım. $c \geq a+b$ durumunda ise ortada hilal falan kalmıyor. Elde ettiğimiz çözüm bunu da yansıtmalı.

Dairelerin merkezleri $A$ ve $O$ noktalarıyla gösterilsin. Hesaplamaya çalıştığımız hilalin alanına $S$, $OBC$ daire diliminin alanına $T$, $\triangle ABO$ ve $\triangle ACO$ üçgenlerinin alanlarına ise $U$ diyelim. Simetriden dolayı bu iki üçgenin aynı olduğu barizdir. Bu alanlardan en kolay hesaplananı $U$. Heron formülünü uygulayalım. \[ U = \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \] Heron formülünün permutasyon simetrisine sahip olduğunu gözleyiniz. Verilenler cinsinden kolayca ifade edilebilen diğer nicelikler $\alpha$ ve $\beta$ açıları. Bunları da cosinus teoremiyle ifade edeceğiz. \[ \alpha = \cos^{-1} \left( \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \right) \phantom{x} \text{ve} \phantom{x} \beta = \cos^{-1} \left( \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} \right). \]

$A$ merkezli $ABC$ daire diliminin alanı \[ T + 2U = \alpha b^{2} \] ile verilir. Buradan \[ T = \alpha b^{2} - 2U \] bulunur. (Heron fomülünü uzun uzun yazmak yerine ilgili üçgenin alanını $U$ ile göstereceğiz.) $O$ merkezli $OBC$ daire diliminin alanı ise bize \[ T + S = (\pi - \beta) a^{2} \] denklemini verir. Temel trigonometrik ilişkilerden \[ \pi - \beta = \cos^{-1} \left( \frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2ac} \right) \] eşitliğini gözlediğimizde hilal diliminin alanının \begin{eqnarray}\nonumber S &=& 2U + (\pi-\beta)a^{2} - \alpha b^{2} \\ &=& \frac{1}{2}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} + a^{2}\cos^{-1} \left( \frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2ac} \right) - b^{2}\cos^{-1} \left( \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \right) \end{eqnarray} eşitliğiyle verildiği görülür.

İşaret: İki çemberin kesişiminden iki farklı küme zuhur eder. Bunlardan ayrık duranlara hilal (iki tane), ortak olana ise mercek denir. Bu üç bölgeden sadece birisinin alanı bulundumu diğerleri de kolayca hesaplanabilir. Mercek bölgesiyle yapılan geometrik kurulumlar ta Öklid'in Elemanlar'ındaki ilk önermeye kadar uzanır. Öklid eşkenar üçgen kurulumunu tarif ettiği ilk önermesinde özdeş iki çemberin kesişim bölgesinde bir çalışma yapmıştır. Yaptığı çizimdeki ölçümler bizim dilimizde $a=b=c$ ile verilir.

Ödev: Hilal diliminin alanını integral calculus kullanarak hesaplayınız.