İkizkenar bir üçgenin eşit kenarlarına ve çevral çemberine teğet bir çemberin çizimi

IMO 1978/4: $ABC$ üçgeninde $|AB|=|AC|$ veriliyor. Bu üçgenin çevral çemberine ve eşit kenarlarına $P \in AB$ ve $Q \in AC$ noktalarında içten teğet bir çember çiziliyor. $PQ$ doğru parçasının orta noktasının $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.

Biz bu problemi olimpiyat komitesinin önerdiği gibi değil de, postanın başlığında verildiği gibi çözeceğiz. Yani bir ikizkenar üçgen verilmiş. Bu üçgenin eşit kenarlarına ve çevral çemberine içten teğet bir çember nasıl çizilir, onunla uğraşacağız. Üçgenimiz ikizkenar olduğu için çözmemiz gereken problem de kolaylaşmış oluyor. (Henüz denemedim ama çeşit kenar bir üçgende aynı problemi çalışmak çok daha zor olabilir gibi bir sezgim var.)

İşe öncelikle şekilde verilen ikizkenar $ABC$ üçgeninin yüksekliğini bulmakla başlayalım. $|BC|=:a$, $|AB|=|AC|=:b$ ve $|AH|=:h$ olsun. O zaman yükseklik Pisagor teoreminden kolayca hesaplanılır.

$$\begin{equation*} h = \frac{1}{2}\sqrt{4b^{2}-a^{2}} \end{equation*}$$ Üçgen ikizkenar olduğu için çevral çemberin merkezi $AH$ doğrultusunun üstündedir ve dahi $AH$ doğrultusu $BAC$ açısını ikiye böler. Çevral çemberin merkezini şekilde $O$ noktası ile gösterdik. Hatırlanacağı üzere çevral çemberin merkezinden kenarlara indirilen dikmeler, kenarları iki eşit parçaya bölüyordu. O zaman $R \cos (A/2) = b/2$ olur. Burada $R$ çevral çemberin yarıçapıdır. Ama $ABH$ üçgeninden $\cos(A/2) = h/b$ eşitliğini gözlediğimizde $$\begin{equation*} R = \frac{b^{2}}{\sqrt{4b^{2}-a^{2}}} \end{equation*}$$ olur. Ön hazırlığımızın sonuncu aşamasında iç teğet çemberin yarıçapını, $r$ değerini, hesaplayacağız. Bunu isterseniz $ABC$ üçgeninin toplam alanını kullanıp, $ah = (2b+a)r$ eşitliğini çözerek kolayca yapabiliriz. (İç teğet çemberin merkezinden kenarlara indirilen dikmelerin hepsi $r$ kadardır.) $$\begin{equation*} r = \frac{a}{2(2b+a)}\sqrt{4b^{2}-a^{2}} \end{equation*}$$

Şekilde iç teğet çemberin merkezini $I$ noktası ile gösterdik. $I$ noktası aynı zamanda $ABC$ üçgeninin iç açı ortaylarının kesişim noktası olduğundan, $I \in AH$ olduğu barizdir. Çizmemiz istenilen çember ikiz kenar üçgenin her iki kenarına da teğet olduğundan onun da merkezi $J \in AH$ olmak zorundadır. $PQD$ çemberinin yarıçapı $\rho$ olsun. O zaman barizdir ki $|JH|=h-|OA|-|OJ|$ ya da $|JH|=h-R-(R-\rho)=h-2R+\rho$ olur. Yine üçgenin toplam alanından gideceğiz ve $ah = 2b\rho + a|JH|$ denklemini kuracağız. Bu denklemde $|JH|$ yerine konulup $\rho$ için çözüldüğünde $\rho = 2aR/(2b+a)$ bulunuyor. Diğer bir ifadeyle

$$\begin{equation*} \rho = \frac{2ab^{2}}{(2b+a)\sqrt{4b^{2}-a^{2}}} \end{equation*}$$ olmaktadır.

Şimdi, $PQ$ doğru parçası $AH$ yüksekliğini $K$ noktasında kessin. (Şekilde bariz bir biçimde $K=I$ olması gerektiği görülüyor ama biz bunu henüz ispatlamadık!) O zaman $|HK|=|JH|+|JK|$ olur. $|JH|$ uzunluğunu daha önce bulduk. $|JK|=\rho \sin (A/2)$ olduğuna göre, $\sin(A/2)=a/2b$ ve daha önce bulduklarımızı kullandığımızda

$$\begin{equation*} |HK| = h-2R+\rho + \rho \frac{a}{2b} = \frac{a}{2(2b+a)}\sqrt{4b^{2}-a^{2}} = r \end{equation*}$$ olduğunu göstermiş oluyoruz. O zaman $|HK|=|HI|=r$ ve $I$ ile $K$ noktaları aynı doğrultu üzerinde olduklarına göre $I=K$ denkliği gösterilmiş oluyor.

Toparlayalım. İkizkenar bir üçgenin eşit kenarlarına ve çevral çemberine içten teğet bir çember çizmek için

1. Üçgenin tepe noktasına ait açı ortay (aynı zamanda dikme ve kenar ortay) $AH$ çizilir.
2. İç açı ortayların kesişim noktasından, iç teğet çemberin merkezi $I$ tespit edilir.
3. $AH$ doğru parçasına $I$ noktasında dik doğrunun $AB$ kenarını kestiği nokta $P$ ve $AC$ kenarını kestiği nokta $Q$ tespit edilir.
4. $AB$ kenarına $P$ noktasından çizilen dikme ile $AC$ kenarına $Q$ noktasından çizlen dikmenin kesişim noktası $J$ tespit edilir.
5. Aranılan çemberin merkezi $J$ noktasında olup, yarıçapı ise $|JP|$ kadardır.