Viète-Girard simetrik fonksiyonları, Newton toplamları ve von Tschirnhaus dönüşümüyle kübik denklemler

Daha önce bu blogda Cardano'nun yöntemiyle kübik denklemleri çalışmıştık. En genel haliyle $Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$ şeklinde verilen bir kübik denklem, $A\ne 0$ ise önce monik forma getiriliyordu: $x^{3}+bx^{2}+cx+d=0$. Daha sonra kaydırma dönüşümü uygulanarak $x=:y - b/3$ tanımlandığında, denklemde ikinci dereceli terimin yok edildiği gözlenmiş ve İngilizce literatürde kübik denklemlerin depressed formu denilen eşitliğe ulaşılmıştı.

$$\begin{equation} y^{3} + py + q = 0 \label{kubik} \end{equation}$$ Burada $p$ ve $q$ katsayıları $b,c,d$ cinsinden cebirsel bir biçimde ifade edilebilirler. von Tschirnhaus dönüşümüyle bu denklemden birinci dereceli terimi de uzaklaştıracağız ve bütün kübik denklemlerin $z^{3}+r=0$ formuna getirilebileceğini göstereceğiz. Ama bunu yapması belki söylemesi kadar kolay değil.

Simetrik fonksiyonlar

Monik formda $n$. dereceden bir polinom verilsin: $p(x) := x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$. Cebirin temel teoremi uyarınca bu polinom $p(x)=(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Burada $\{x_{1},\ldots,x_{n}\}$ polinomun kökleridir. Polinomun katsayıları ve kökleri arasındaki ilişki genelde lise eğitiminde gösterilir ve şöyledir:

$$\begin{eqnarray} s_{1}(x_{1},\ldots,x_{n}) &:=& x_{1} + \cdots + x_{n} = -a_{n-1} \ \ \ (n \ {\rm terim}) \\ s_{2}(x_{1},\ldots,x_{n}) &:=& x_{1}x_{2} + \cdots +x_{n-1}x_{n} = a_{n-2} \ \ \ (n(n-1)/2 \ {\rm terim}) \\ \nonumber &\vdots& \\ s_{n}(x_{1},\ldots,x_{n}) &:=& x_{1}x_{2} \cdots x_{n} = (-1)^{n}a_{0} \ \ \ ({\rm tek \ terim}) \end{eqnarray}$$ Bu fonksiyonlara Viète-Girard simetrik fonksiyonları diyeceğiz. Herhangi iki argümanının yerleri değiştirildiği halde değerini koruyan fonksiyonlara simetrik fonksiyonlar denir. Örneğin üç değişkenli bir simetrik fonksiyon $s(x,y,z)=s(y,x,z)=s(x,z,y)=\cdots$ özdeşliklerini sağlar. Viète-Girard simetrik fonksiyonlarının gerçekten de simetrik olduklarını gözleyiniz. Konumuz kübik denklemler olduğu için ($\ref{kubik}$) nolu denklemin köklerinden elde edilen simetrik fonksiyonları burada not edelim. $$\begin{eqnarray} \sigma_{1} &:=& s_{1}(y_{1},y_{2},y_{3}) = y_{1}+y_{2}+y_{3} = 0 \\ \sigma_{2} &:=& s_{2}(y_{1},y_{2},y_{3}) = y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{1}y_{3} = p \\ \sigma_{3} &:=& s_{3}(y_{1},y_{2},y_{3}) = y_{1}y_{2}y_{3} = -q \end{eqnarray}$$

$n$ tane değişkenden (ya da kökten) $n$ tane Viète-Girard simetrik fonksiyonu kurabiliyoruz. Ama $n$ değişkenden kurulabilecek bütün fonksiyonlar, bunlardan ibaret değil! Derecesi $k$ olan Newton toplamlarını tanımlayalım.

$$\begin{equation} N_{k}(x_{1},\ldots,x_{n}) := x_{1}^{k} + \cdots + x_{n}^{k} \end{equation}$$ Bütün Newton toplamlarının simetrik fonksiyonlar olduğunu gözleyiniz. Hatta $N_{0} = n$ ve $N_{1} = s_{1}$ olduğunu da rahatça çıkarabiliriz. Diğer Newton toplamları için biraz cebir kullanmamız gerekecek. Örneğin $$\begin{equation*} s_{1}^{2} = x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} + 2(x_{1}x_{2}+\cdots+x_{n-1}x_{n}) = N_{2}+2s_{2} \end{equation*}$$ ifadesi yeniden düzenlenerek $N_{2}=s_{1}^{2}-2s_{2}$ sonucuna (bir Newton özdeşliğine) ulaşabiliriz. Bütün Newton toplamları, Viète-Girard simetrik fonksiyonları (dolayısıyla polinomun katsayıları) cinsinden ifade edilebilirler. Böyle denklemlere Newton özdeşlikleri denir. Çalıştığımız kübik denklemler için ikinci dereceden Newton toplamını verelim. $$\begin{equation} \nu_{2} := y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} = \sigma_{1}^{2} - 2\sigma_{2} = -2p \end{equation}$$

Aşağıdaki simetrik fonksiyonlara bu postada daha sonra gereksinim duyacağız. Amacımız hepsini Viète-Girard simetrik fonksiyonları cinsinden ifade etmektir. İlkin

$$\begin{equation} \Sigma_{2}^{2} := y_{1}^{2}y_{2}^{2} + y_{1}^{2}y_{3}^{2} + y_{2}^{2}y_{3}^{2} \end{equation}$$ ile başlayalım. Sanki $\sigma_{2}$'nin karesiymiş gibi duruyor ve gerçekten de $\sigma_{2}^{2}$ ifadesi açıldığında bu fonksiyonun ($\ref{kubik}$) nolu denklemdeki katsayılar cinsinden ifadesine ulaşabiliriz. $$\begin{equation} \Sigma_{2}^{2} = \sigma_{2}^{2} - 2\sigma_{1}\sigma_{3} = p^{2} \end{equation}$$ Bir başka simetrik fonksiyon $\sigma_{1}^{3}$ ifadesinin açılmasıyla elde edilebilir. Şimdi $$\begin{equation*} \sigma_{1}^{3} = y_{1}^{3} + y_{2}^{3} + y_{3}^{3} + 3(y_{1}^{2}y_{2}+y_{1}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}+y_{1}y_{3}^{2}+y_{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}) + 6y_{1}y_{2}y_{3} = \nu_{3} + 3 \Sigma_{1}^{3} + 6 \sigma_{3} \end{equation*}$$ sonucunu elde ediyoruz. Burada $$\begin{equation} \Sigma_{1}^{3}:=y_{1}^{2}y_{2}+y_{1}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}+y_{1}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}+y_{2}y_{3}^{2} =\frac{1}{3} \sigma_{1}^{3} - \frac{1}{3} \nu_{3} - 2 \sigma_{3} \end{equation}$$ ve $$\begin{equation} \nu_{3} := y_{1}^{3}+y_{2}^{3}+y_{3}^{3} \end{equation}$$ ile veriliyorlar. Henüz üçüncü dereceden Newton toplamını hesaplamaldığımız için ne $\Sigma_{1}^{3}$ ne de $\nu_{3}$ katsayılar cinsinden ifade edilemiyorlar. Şimdi basitçe yerine koyarak okur $$\begin{equation} \Sigma_{1}^{3} = \sigma_{1}\sigma_{2} - 3\sigma_{3} = 3q \end{equation}$$ olduğunu gösterebilir. Nihayet üçüncü dereceden Newton toplamı da böylece çıkmış olur. $$\begin{equation} \nu_{3} = -3q \end{equation}$$

İspatına yer vermeyeceğiz ama Newton toplamları için geçerli olan durum aslında bütün cebirsel simetrik fonksiyonlar için de geçerlidir: Bütün cebirsel simetrik fonksiyonlar Viète-Girard simetrik fonksiyonları cinsinden ifade edilebilir.

von Tschirnhaus dönüşümü

Simetrik fonksiyonlara borçlarımızı ödedik. Şimdi

$$\begin{equation} z := y^{2} + \alpha y + \beta \label{vt1} \end{equation}$$ ile yeni bir değişken tanımlayalım ve ($\ref{kubik}$) nolu denklemi $$\begin{equation} z^{3}+r=0 \label{vt2} \end{equation}$$ formuna getirmeye çalışalım. Literatürde ($\ref{vt1}$) nolu denkleme von Tschirnhaus dönüşümü, ($\ref{vt2}$) nolu denkleme de kübik denklemlerin standart formu denir. Bu dönüşümü tamamlayabilmek için $\alpha,\beta,r$ bilinmeyenlerini $p$ ve $q$ parametreleri cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. Kullanacağımız teknoloji simetrik fonksiyonlardan ibaret. Şimdi $$\begin{equation*} 0=z_{1}+z_{2}+z_{3}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+\alpha(y_{1}+y_{2}+y_{3})+3\beta=\nu_{2}+\alpha \sigma_{1}+3\beta \end{equation*}$$ eşitliği gözlendiğinde ve ($\ref{kubik}$) nolu denklemin köklerinden oluşan simetrik fonksiyonlar kullanıldığında kolayca $$\begin{equation} \beta = \frac{2p}{3} \end{equation}$$ sonucuna ulaşıyoruz.

İkinci simetrik fonksiyonu kullanalım.

$$\begin{eqnarray} \nonumber 0&=&z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}=(y_{1}^{2}+\alpha y_{1}+\beta)(y_{2}^{2}+\alpha y_{2}+\beta) + (y_{1}^{2}+\alpha y_{1}+\beta) (y_{3}^{2}+\alpha y_{3}+\beta) + (y_{2}^{2}+\alpha y_{2}+\beta) (y_{3}^{2}+\alpha y_{3}+\beta) \\ \nonumber &=&(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2})+\alpha^{2}(y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+y_{2}y_{3})+3\beta^{2} +\alpha(y_{1}^{2}y_{2}+y_{1}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}+y_{1}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}+y_{2}y_{3}^{2}) +2\alpha \beta (y_{1}+y_{2}+y_{3}) \\ \nonumber &\ & + 2\beta(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}) \\ \nonumber &=& \Sigma_{2}^{2} + \alpha^{2} \sigma_{2} + 3 \beta^{2} + \alpha \Sigma_{1}^{3} + 2\alpha \beta \sigma_{1} + 2\beta \nu_{2} \end{eqnarray}$$ Daha önce çalıştığımız simetrik fonksiyonlar kullanıldığında $\alpha$ katsayısını tayin etmek için çözülmesi gerekli denklem şöyle oluyor. $$\begin{equation} p\alpha^{2} + 3q \alpha - \frac{p}{3} = 0 \label{alfa} \end{equation}$$ Şaka gibi gelebilir ama bu denklemin diskriminantı daha önce Cardano'nun yöntemini çalışırken karşımıza çıkan diskriminantla aynı! $p\ne 0$ için $$\begin{equation} \alpha = -\frac{3q}{2p} \pm \frac{1}{2\sqrt{3}p}\sqrt{4p^{3}+27q^{2}} \label{alfa2} \end{equation}$$ olur. ($p=0$ için ($\ref{kubik}$) nolu denkleme von Tschirnhaus dönüşümünü uygulamaya zaten gerek yoktur.) İşaret seçiminde herhangi bir kriterimiz yok. İstediğimizi seçebiliriz.

Son olarak $r$ katsayısını da $p$ ve $q$ cinsinden ifade etmek kaldı. Bunun için açıldığında toplamda 27 terim içeren bir çarpımla uğraşacağız.

$$\begin{eqnarray} \nonumber -r &=& z_{1}z_{2}z_{3} = (y_{1}^{2}+\alpha y_{1}+\beta) (y_{2}^{2}+\alpha y_{2}+\beta) (y_{3}^{2}+\alpha y_{3}+\beta) \\ \nonumber &=& y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}^{2} + \alpha y_{1}y_{2}y_{3}(y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+y_{2}y_{3}) +\beta (y_{1}^{2}y_{2}^{2} + y_{1}^{2}y_{3}^{2} + y_{2}^{2}y_{3}^{2}) +\alpha^{2} y_{1}y_{2}y_{3}(y_{1} + y_{2} + y_{3}) +\beta^{2}(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}) \\ \nonumber &&+\alpha \beta (y_{1}^{2}y_{2}+y_{1}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}+y_{1}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}+y_{2}y_{3}^{2} ) +\alpha^{3}y_{1}y_{2}y_{3} + \beta^{3} + \alpha^{2}\beta (y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{1}y_{3}) +\alpha \beta^{2}(y_{1}+y_{2}+y_{3}) \\ \nonumber &=& \sigma_{3}^{2} + \alpha \sigma_{2}\sigma_{3} + \beta \Sigma_{2}^{2} + \alpha^{2}\sigma_{1}\sigma_{3} + \beta^{2}\nu_{2} + \alpha \beta \Sigma_{1}^{3} + \alpha^{3}\sigma_{3} + \beta^{3} + \alpha^{2}\beta\sigma_{2} + \alpha \beta^{2}\sigma_{1} \end{eqnarray}$$ Yukarıdaki simetrik fonksiyonların hepsini de daha önce hesaplamıştık. Yerlerine koyalım. $$\begin{equation} -r = \frac{2p^{3}}{27}-q^{3} + pq\alpha + \frac{2p^{2}}{3}\alpha^{2}-q\alpha^{3} \end{equation}$$ ($\ref{alfa}$) nolu denklem gereği, $\alpha$ katsayısının bütün pozitif kuvvetleri sadece lineer bir biçimde ifade edilebilirler. Dolayısıyla $$\begin{eqnarray} \alpha^{2} &=& \frac{1}{3} - \frac{3q}{p} \alpha \\ \alpha^{3} &=& -\frac{q}{p} + \left(\frac{1}{3} + \frac{9q^{2}}{p^{2}} \right) \alpha \end{eqnarray}$$ olur. Böylece $r$ için verilen denklemi daha da sade bir biçimde ifade etme imkanımız oluyor. $$\begin{equation} -r = \frac{2p^{3}}{27}-q^{3} + \frac{2p^{2}}{9} + \frac{q^{2}}{p} -\left(pq + \frac{q}{3} + \frac{9q^{3}}{p^{2}}\right) \alpha \end{equation}$$ $\alpha$ için verdiğimiz ($\ref{alfa2}$) nolu denklemdeki ifadeyi yukarıda yerine korsak, o zaman von Tschirnhaus dönüşümü tamamlanmış oluyor.

Sonuçta aradığımız kökler $z_{1}=(-r)^{1/3}$, $z_{2}=(-r)^{1/3}\omega$ ve $z_{3}=(-r)^{1/3}\omega^{*}$ ile verilmelidir. Hatırlanacağı üzere $\omega := \exp(2 \pi i /3)$ şeklinde tanımlanmıştı. Bu kökler ile ($\ref{vt1}$) nolu denkleme geri dönersek, o zaman toplamda 6 tane $y$ değeriyle karşılaşırız. Ama bizim bunlardan sadece üçüne ihtiyacımız var. Hangilerinin gerçekten de ($\ref{kubik}$) nolu denklemin kökü olduğunu anlamak için yerine koyup kontrol etmemiz gerekir. Evet, fazla fiyakalı gelmeyebilir ama.. deneme yanılma metodunu kullanacağız! Öte yandan deneme kümesi toplamda 6 elemandan oluştuğu için, bu çok da zor bir iş olmasa gerek...