Descartes'in ovali ve mükemmel odaklama merceği

Henüz bu blogda anlatmadık ama elipsoid aynaların bir özelliği var: odaklarından birisinden yayılan ışınlar öbür odakta toplanıyor. Yansımayla yapılan bu işin bir benzerini de merceklerde Descartes'in ovoidi ile yapmak mümkündür. (Ovoid, oval adı verilen ve dördüncü dereceden cebirsel denklemlerin locus'u olan bir eğrinin optik eksen ya da simetri ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan üç boyutlu yüzeydir.) Kuşkusuz odaklamanın mükemmel olması isteniyorsa, o zaman ışığın monokormatik olması gerekir ama bu şimdilik bizim için ikinci planda kalan bir teferruat. İşe problemin tanımı ve spesifikasyonlarıyla başlayalım. Bir noktadan çıkan ışınları (şekilde $F_{1}$), mercekte kırıldıktan sonra ve mercek içinde başka bir noktada (şekilde $F_{2}$) odaklamak istiyoruz. $F_{1}F_{2}$ doğrultusu $x$ ekseni ile çakışık, $O$ noktası ise karteziyen düzlemin orijini olsun. $|F_{1}O|=:s_{0}$ ve $|OF_{2}|=:s_{1}$ diyelim. Fermat'nın en kısa zaman ilkesi uyarınca $F_{1}OF_{2}$ rotasını takip eden ışınla $F_{1}PF_{2}$ rotasını takip eden ışın aynı zamanı harcarlar. O zaman $F_{1}OF_{2}$ rotası için $$\begin{equation*} t_{1} := \frac{s_{0}}{c/n_{0}} + \frac{s_{1}}{c/n_{1}} \ \Rightarrow \ ct_{1} = n_{0}s_{0} + n_{1}s_{1} \end{equation*}$$ olsun. Benzer şekilde $P$ noktasının koordinatlarını $(x,y)$ olarak aldığımızda $F_{1}PF_{2}$ rotasında giden ışının harcadığı zaman için $$\begin{eqnarray}\nonumber &&t_{2}:= \frac{\sqrt{(s_{0}+x)^{2}+y^{2}}}{c/n_{0}} + \frac{\sqrt{(s_{1}-x)^{2}+y^{2}}}{c/n_{1}} \ \Rightarrow \ \\ \nonumber &&ct_{2} = n_{0}\sqrt{(s_{0}+x)^{2}+y^{2}} + n_{1}\sqrt{(s_{1}-x)^{2}+y^{2}} \end{eqnarray}$$ eşitliği geçerlidir. Şimdi $1 < \eta := n_{1}/n_{0}$ tanımıyla $ct_{1}=ct_{2}$ eşitlediğimizde oval için bir denklem elde ediyoruz. $$\begin{equation*} K:= s_{0} + \eta s_{1} = \sqrt{(s_{0}+x)^{2}+y^{2}} + \eta \sqrt{(s_{1}-x)^{2}+y^{2}} \end{equation*}$$ Burada $\eta, s_{0},$ ve $s_{1}$ ovali tanımlayan parametrelerdir. (Her ne kadar $K$ da bir parametre gibi görünse de, diğerlerinden bağımsız değildir.) Yukarıdaki denklemlerde yer alan ifadeler öncelikle $K - \sqrt{(s_{0}+x)^{2}+y^{2}} = \eta \sqrt{(s_{1}-x)^{2}+y^{2}}$ şeklinde yeniden düzenlenir ve daha sonra da her iki tarafına karesi alınırsa aşağıdaki arasonuç elde edilir. $$\begin{eqnarray}\nonumber K^{2} &+& (s_{0}+x)^{2} + y^{2} - 2K\sqrt{(s_{0}+x)^{2}+y^{2}}\\ \nonumber &&=\eta^{2}((s_{1}-x)^{2}+y^{2}) \end{eqnarray}$$ Burada da tekrar karekökü yalnız bırakıp, diğer ifadeleri açtığımızda aşağıdaki ikinci arasonuca ulaşıyoruz. $$\begin{equation*} s_{0} + \alpha x - \frac{\eta^{2}-1}{2K} (x^{2}+y^{2}) = \sqrt{(s_{0}+x)^{2}+y^{2}} \end{equation*}$$

$0 < \alpha := (s_{0}+\eta^{2}s_{1})/K$ denklemiyle tanımlanmıştır ve birimsiz bir niceliktir. $K$ niceliğinin 1/uzunluk biriminde (ya da boyutunda) olduğunu gözleyiniz. Sistemi karakterize eden bu parametreyi, birimsiz nicelikleri tanımlamakta kullanacağız. $$\begin{equation*} X := \frac{\eta^{2}-1}{2K}x, \ \ \ Y := \frac{\eta^{2}-1}{2K}y \ \ \ {\rm ve} \ \ \ S_{0} := \frac{\eta^{2}-1}{2K}s_{0}. \end{equation*}$$ Birimsiz nicelikler ovalin denklemine konulduğunda problemin iki parametreye kadar indirgenebileceğini görüyoruz: $$\begin{equation*} S_{0} + \alpha X - X^{2} - Y^{2} = \sqrt{(S_{0}+X)^{2}+Y^{2}}. \end{equation*}$$ Nihayet bu denklemde de her iki tarafın karesi alınıp, $Y$'nin kuvvetlerine göre denklem yeniden düzenlenirse, o zaman ovalin denklemi için aşağıdaki cebirsel denkleme ulaşırız. $$\begin{eqnarray}\nonumber Y^{4} &+& (2X^{2}-2(S_{0}+\alpha X)-1)Y^{2} + X^{4} - 2\alpha X^{3} \\ \nonumber &&+ (\alpha^{2} - 2S_{0} - 1)X^{2} + 2S_{0}(\alpha -1)X = 0 \end{eqnarray}$$ Her ne kadar bu denklem $Y$ için dördüncü dereceden görünse de, aslında ikinci dereceden denklemler için bilinen yöntemlerle $Y^{2}$ için rahatça çözülebilir. Diskriminantı hesapladığımızda şaşırtıcı derecede küçük bir ifadeyle karşılaşıyoruz. $$\begin{eqnarray} \nonumber \Delta &:=& (2X^{2}-2(S_{0}+\alpha X)-1)^{2} - 4X^{4} \\ \nonumber &&+ 8\alpha X^{3} -4(\alpha^{2}-2S_{0}-1)X^{2} - 8S_{0}(\alpha-1)X \\ \nonumber &=& (2S_{0}+1)^{2} + 4(\alpha + 2S_{0})X \end{eqnarray}$$ Bu diskriminantın $X > 0$ için, her zaman pozitif olduğu açıktır. Artık ovalin denklemini verebiliriz. $$\begin{equation*} \bbox[5px,border:3px solid black]{Y(X;\alpha, S_{0}) = \pm \sqrt{\frac{-2X^{2}+2(S_{0}+\alpha X) +1 \pm \sqrt{\Delta}}{2}}} \end{equation*}$$ Karekökün dışındaki işaretlerden her ikisini de alacağız. Çünkü bunlar ovalin $x$ eksenine göre simetrik olduğunu temsil etmek için vardır. Öte yandan karekökün içindeki işaretlerden sadece negatif olanını alacağız. Zira $X=0$ için biz $Y=0$ olsun istiyoruz. Ama $$\begin{equation*} Y(0;\alpha, S_{0}) = \pm \sqrt{\frac{2S_{0}+1 \pm (2S_{0}+1)}{2}} \end{equation*}$$ olduğundan, $Y(0)=0$ ancak diskriminantın önündeki işaretin negatif olmasıyla mümkündür. Ovalin şeklinin tam bir yumurtaya benzediğini gözleyiniz.

Sol: $s_{0}=5$ cm, $s_{1}=8$ cm ve $\eta=1.5$ için oval şekli ve odak noktaları gösteriliyor. Sağ: Aynı ovoidden merkezi $F_{2}$ olan bir küre oyularak yapılmış bir mercek. Bu işlem sayesinde ovoidin her iki odağı da hava ortamına taşınmış oluyor.

İşaret: Oval denkleminin çözümünde, karekökün içindeki $-2X^{2}$ terimi, $X$'in büyük değerleri için diğer terimleri bastıracağından, oval eğrisi her $X$ değeri için gerçel sayılarda tanımlı değildir. İşaret: Ovoidin odaklarından birisi merceğin içinde olduğundan, bu haliyle spektroskopik dizaynlerde çok da fonksiyonel değildir. Ama ovoid merkezi $F_{2}$ olan bir küre ile oyulursa, o zaman $F_{2}$ odağı da hava ortamına geçmiş olur. Kürenin merkezi $F_{2}$ noktasından olduğundan $PF_{2}$ ışını küre yüzeyine dik gelmektedir ve kırınıma uğramaz. İşaret: Ovoid, diaoptriksin temel kusurunu tevarüs etmiştir. Kırınım indisi dalgaboyuna bağlı olduğundan, $F_{1}$ ve $F_{2}$ noktaları sadece bir dalgaboyunda kesin bir biçimde odaklama yapabilirler.

Diğer dalgaboylarında bu özellik kaybolur. Kırınım indisi çalışılan dalgaboylarında fazla değişmeyen malzemeler ile ovoid yapılmalı ve kromatik aberasyon sorunu böylece aşılmalıdır. Ödev Oval $x$ eksenini orijinde ve başka bir noktada daha kesmektedir. Bu nokta nasıl hesaplanır? Ovalin $y$ değerlerinin ekstremumlarını hesaplayınız. $F_{2}$'de toplanan ışın şiddetini maksimum yapmak için ovoidden oyulacak kürenin yarıçapı nasıl hesaplanır?