Açıların cebirsel olarak üçe bölünmesindeki totoloji

Eski Yunan'dan günümüze kalan en meşhur problemlerden birisi de cetvel ve pergelle bir açıyı üçe bölmektir. Öklit ve daha sonra gelen geometriciler bu problemi çözemediler. Biz de bu postada $\cos (\theta)$ (ve dolayısıyla $\sin (\theta)$) değeri verilen bir açı için $x:=\cos (\theta/3)$ değerinin nasıl hesaplandığına bakacağız.

Şimdi trigonometri argosunda 433 diye bilinen formülden faydalandığımızda $4x^{3}-3x=\cos(\theta)$ ya da çalışılması gerekli kübik denklem

$$\begin{equation*} {\rm K:} \ \ \ x^{3} - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\cos(\theta) = 0 \label{bir} \end{equation*}$$ olmaktadır. Daha önce burada kübik denklemleri Cardano'nun yöntemiyle çözmüştük. K etiketli denklemin depressed formunda olduğunu gözleyiniz. $p:=-3/4$ ve $q:=-\cos(\theta)/4$ tanımıyla hemen diskriminatı hesaplayalım. $$\begin{equation*} \Delta = \frac{4p^{3}}{27}+q^{2} = -\frac{\sin^{2}(\theta)}{16} \end{equation*}$$ Çözümde ara basamak olarak $$\begin{equation*} U_{1,2} = \sqrt[3]{\frac{-q\pm \sqrt{\Delta}}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt[3]{\cos(\theta) \pm i \sin(\theta)} \end{equation*}$$ niceliklerine ihtiyaç duyuyoruz. Her ne kadar $\cos(\theta)$ ve $\sin(\theta)$ değerleri verilse de problemin çözümünü bitirmek için küpkökü hesaplamak zorundayız. Şimdi sakın $\cos(\theta) \pm i \sin(\theta) = \exp(i\theta)$ özdeşliğinden faydalanarak $$\begin{equation*} U_{1,2}=\frac{1}{2} \exp(\pm i\theta /3) = \frac{1}{2} (\cos(\theta/3) \pm i \sin (\theta /3)) \end{equation*}$$ olur demeyin. Çünkü çözümü bilinmeyenler cinsinden vermiş olursunuz.

Görünen o ki, Cardano yönteminin cevabı vermek için bizi karmaşık sayıların küpköklerine mecbur etmesi bizi aynı zamanda bir totolojiye getirmektedir. Örneğin

$$\begin{equation*} \cos(\theta/3) = x = U_{1}+U_{2} = \cos(\theta /3) \end{equation*}$$ gibi. Kübik denklemleri cebirsel olarak evet çözebiliyoruz, ama bunu trigonometriye bir açıyı üçe bölmek biçiminde uyguladığımızda bu bize bir totoloji veriyor. Mesela bu yüzden daha önce $\cos(3^{\rm o})$ değerini hesapladık ama bu sonucu kullanarak $\cos(1^{\rm o})$ değerine gidemedik. Aklımızda bulunsun: Kuartik denklemler de genellikle resolvent cubic diye tabir edilen üçüncü dereceden bir ara denkleme ihtiyaç duyarlar. Onların da çözümünde totolojiler çıkması kuvvetle muhtemeldir.