Bir üçgenin aynı köşesine ait (iç) açı ortay, kenar ortay ve yüksekliklerinin sıralanması

Daha önce bu blogda bir üçgenin sırasıya iç açı ortay ($l$), kenar ortay ($m$) ve yüksekliklerinin ($h$) uzunluklarını üçgenin kenar uzunlukları $a,b,c$ cinsinden ifade etmiştik. Bulgularımızı özetleyelim. $$\begin{eqnarray} \nonumber &&l = \frac{1}{b+c}\sqrt{bc(a+b+c)(-a+b+c)} \\ \nonumber &&m = \frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}} \\ \nonumber &&h = \frac{1}{2a}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \end{eqnarray}$$ Hatırlatmak lazım ki burada verilen uzunluklar $ABC$ üçgeninin $A$ köşesine aittir. Bugünkü problemimiz şöyle: $l,m,h$ arasındaki sıralama nasıldır?

Öklit geometrisinin en meşhur kanunlarından birisi şudur: Bir nokta ile (o noktadan geçmeyen) bir doğru arasındaki en kısa yol, o noktadan doğru parçasına indirilen dikmenin uzunluğu kadardır. Ama $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden $BC$ kenarına indirilen dikme $h$ kadar olduğundan, en kısa olan unsuru, yani $h$ niceliğini, tespit etmiş oluyoruz.

Geriye $l$ ile $m$ arasında bir sıralama yapmak kaldı. Şimdi $l/m$ oranını bazı temel cebirsel manipulasyonlardan sonra şöyle ifade edebiliriz. $$\begin{equation} \frac{l}{m} = \frac{\sqrt{bc}}{\frac{b+c}{2}} \sqrt{\frac{b^{2}+2bc+c^{2}-a^{2}}{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}} \label{lbm} \end{equation}$$ Bu oran bir eşitlik. Öte yandan bizim bir eşitsizliğe ihtiyacımız var.

Aritmetik-geometrik orta eşitsizliğini kullanacağız. $x$ ve $y$ pozitif sayılar ise, o zaman $(x-y)^{2} \geq 0$ eşitsizliği $\bbox[1px,border:1px solid black]{x^{2}+y^{2} \geq 2xy}$ şeklinde yeniden düzenlenebilir. Bu eşitsizlik sayılardan birisi negatif olduğunda da geçerlidir, ama burada eşitsizlik pozitif büyüktür negatif biçiminde aşikar (trivial) olmaktadır. Eşitsizlikte $x \to \sqrt{x}$ ve $y \to \sqrt{y}$ koyarsak, o zaman $\bbox[1px,border:1px solid black]{x+y \geq 2 \sqrt{xy}}$ elde edilir.

Bu ara bilgiden sonra ($\ref{lbm}$) nolu denkleme geri dönebiliriz. Şimdi, soldan ikinci köklü ifadenin pay kısmında $2bc$ yerine $b^{2}+c^{2}$ yazarsak, o zaman ifadenin tamamı daha da büyür. $$\begin{equation*} \frac{l}{m} \leq \frac{\sqrt{bc}}{\frac{b+c}{2}} \sqrt{\frac{b^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}-a^{2}}{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}} = \frac{\sqrt{bc}}{\frac{b+c}{2}} \end{equation*}$$ Burası çok önemli: Bu aşamadan sonra yaptığımız her manipulasyon eşitsizliğin sağ tarafını daha da büyütmeye yönelik olmalıdır. Aritmetik-geometrik orta eşitsizliğini bir kere daha kullanalım: $$\begin{equation*} \frac{l}{m} \leq \frac{\sqrt{bc}}{\frac{b+c}{2}} \leq \frac{\frac{b+c}{2}}{\frac{b+c}{2}} = 1. \end{equation*}$$ Demek ki $l \leq m$ imiş!

Toparladığımızda, $h \leq l \leq m$ sıralamasını ispatlamış oluyoruz. Üçgen ikiz kenar ya da eşkenar ise, o zaman $b=c$ olacağından, bu özel durumda $h=l=m$ eşitliği sağlanır. (Lütfen deneyiniz.)