John von Neumann'ın ve Paul Halmos'un Cauchy Schwarz ispatları

Cauchy-Schwarz eşitsizliği matematikte pek çok yerde karşımıza çıkar ve reel analizdeki iç çarpım uzaylarının kalbindedir. Kuşkusuz sonsuz farklı ispatı vardır Cauchy-Schwarz'ın. Kimisi iki, bilemedin üç satırda biter. İlk defa John von Neumann'ın kaleme aldığı Mathematical Foundations of Quantum Mechanics adlı kitabında gördüğüm ispat ise nisbeten daha uzun yer tutuyor ama hem gerçel analizde ve hem de eşitsizlikler sanatında karşımıza çıkan güzel bir anahtar fikri canlandırıyor. O da şu: $f$ ve $g$ fonksiyonlarının tanımlı oldukları her değer için $f(\alpha) \leq g(\beta)$ ise, o zaman $\max f(\alpha) \leq \min g(\beta)$ eşitsizliği de doğrudur.

Vektörleri basitçe $u$ ve $v$ gibi Latin harfleriyle göstereceğiz. Vektör uzaylarına geometrik bir karakter kazandıran iç çarpım işlemini ise, Dirac notasyonunu kullanarak, $\langle u | v \rangle$ ile. Her ne kadar normlu uzaylarda iç çarpım işlemine ihtiyaç duyulmasa da, iç çarpım kaçınılmaz olarak bir norm tanımlar. Onu da $\|u\| := \sqrt{\langle u | u \rangle}$ ile tanımlıyoruz. Son olarak çalıştığımız konu kuantum mekaniği ve karmaşık sayıların karşımıza çıkması kaçınılmaz. Bu yüzden iç çarpım işlemi tam simetrik değil: $\langle v | u \rangle = \langle u | v \rangle ^{*}$. Burada değindiğim anahtar kelimeleri açmam mümkün değil, o yüzden konuya yabancılaşan ziyaretçiyi temel gerçel analiz kitaplarına (mesela Kolmogorov ve Fomin) havale ediyorum.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği bizim ta ortaokuldan beri öğrendiğimiz vektör cebirindeki bir fikri genelleştirir. $\vec{a}$ ve $\vec{b}$, uzunluklarına da $a \geq 0$ ve $b \geq 0$ diyelim, iki vektör olsun. Bunların skaler çarpımları $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab \cos \theta$ ile tanımlanır. Burada $\theta$ iki vektör arasındaki açıdır. Şimdi cosinus fonksiyonu her zaman $[-1,1]$ aralığında değer aldığından, skaler çarpımda her iki tarafın mutlak değerini aldığımızda, $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq ab$ olmalıdır. İşte sana Cauchy-Schwarz!

Tabi karmaşık iç çarpım uzaylarında aynı eşitsizliği ispatlamak için, yani $| \langle u | v \rangle | \leq \|u\| \|v\|$ olduğunu göstermek için, biraz daha uğraşmamız gerekiyor. Öncelikle bariz olan Bütün uzunluklar/normlar ya sıfırdır ya da sıfırdan büyüktür. fikrinden başlıyor ve iç çarpımın lineerliğinden faydalanıyoruz.

$$\begin{eqnarray}\nonumber 0 &\leq& \|u-v\|^{2} = \langle u-v | u-v \rangle \\ \nonumber &=& \|u\|^{2} + \|v\|^{2} - \langle u | v \rangle - \langle v | u \rangle \\ \nonumber &=& \|u\|^{2} + \|v\|^{2} - 2 \Re [ \langle u | v \rangle ] \end{eqnarray}$$ Burada $\Re [z]$ ile karmaşık $z$ sayısının gerçel kısmını temsil ettik. Bu eşitsizlik yeniden düzenlenerek iç çarpımın gerçel kısmı için aşağıdaki ara sonuca ulaşırız. $$\begin{equation*} \boxed{ \Re [\langle u | v \rangle ] \leq \frac{1}{2} \left( \|u\|^{2} + \|v\|^{2} \right) } \end{equation*}$$ Her $\kappa > 0$ için eşitsizliğin her iki tarafında da $u \to \kappa^{1/2} u$ ve $v \to \kappa^{-1/2}v$ koyarsak, sol tarafın değişmeyeceği barizdir. Ama sağ taraf $$\begin{equation*} F(\kappa) := \frac{1}{2} \left( \kappa \|u\|^{2} + \frac{1}{\kappa} \|v\|^{2}\right) \end{equation*}$$ olur. Devamla yine kutudaki eşitsizlikte her iki tarafta da $\alpha \in \mathbb{R}$ için $v \to \exp(i \alpha) v$ koyarsak, bu sefer sağ tarafın değişmeyeceği ama sol tarafın $$\begin{equation*} G(\alpha) := \cos(\alpha) \Re [\langle u | v \rangle ] - \sin (\alpha ) \Im [\langle u | v \rangle ] \end{equation*}$$ olacağı görülür. (Belirtelim: $\Im [z]$ ile karmaşık $z$ sayısının sanal kısmını temsil ediyoruz.) O zaman genel olarak kutudaki eşitsizliği $G(\alpha) \leq F(\kappa)$ biçiminde yazabiliriz. Burada $\alpha$ ve $\kappa$ parametrelerinin birbirlerinden bağımsız olduklarını gözleyiniz. Eşitsizlik en keskin haline aşağıdaki durumda ulaşır. $$\begin{equation*} \max _{\alpha \in \mathbb{R}} G(\alpha) \leq \min_ {\kappa > 0} F(\kappa) \end{equation*}$$ Basit bir optimizasyon ile $F^{\prime}(\kappa_{\rm o}) = 0$ denkleminin $\kappa_{\rm o} = \|v\| / \|u\|$ değerinde çözüldüğü ve $F(\kappa_{\rm o}) = \|u\| \|v\|$ olduğu kolayca görülür. Devamla, $G^{\prime}(\alpha_{\rm o}) = 0$ denklemi $\tan (\alpha_{\rm o}) = - \Im [\langle u | v \rangle ] / \Re [\langle u | v \rangle ]$ ile çözülür. Buradan $\sin (\alpha_{\rm o})$ ve $\cos(\alpha _{\rm o})$ değerlerini çözebiliriz ama işaret seçiminde $G$ fonksiyonunun maksimum noktasını bulmaya çalıştığımız için $G^{\prime \prime}(\alpha_{\rm o}) = -G(\alpha_{\rm o}) > 0$ şartını sağlamak zorundayız. Bu yüzden $$\begin{equation*} \cos (\alpha_{\rm o}) = \frac{ \Re [\langle u | v \rangle ]}{ | \langle u | v \rangle |} \ {\rm ve} \ \sin (\alpha_{\rm o}) = -\frac{ \Im [\langle u | v \rangle ]}{ | \langle u | v \rangle |} \end{equation*}$$ seçeceğiz. Burada $| \langle u | v \rangle |^{2} = (\Re [\langle u | v \rangle ])^{2} + (\Im [\langle u | v \rangle ])^{2}$ olduğunu gözleyiniz. Bu işaret seçimi ile $G(\alpha_{\rm o}) = | \langle u | v \rangle |$ olur ve ispat tamamlanır.

Paul Halmos'un Cauchy-Schwarz ispatını ise yazarın Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity adlı kitabında gördüm. Halmos'un ispatı epeyce kısa, zira Bessel eşitsizliğine dayanıyor. Bessel eşitsizliğinin ispatı ise yine kolay. En azından von Neumann'ın ispatı gibi bazı kahramanlık destanları yazmaya gerek yok.

Gerek reel analizde gerekse kestirme teorisinde genel bir fonksiyonu bilinen fonksiyonlar cinsinden ifade etmek çok merkezi bir fikirdir. Söz konusu fonksiyon (vektör) kümesini $j \in \{1,\ldots, N\}$ için $S := \{ \varphi_{j} \}$ ile göstereceğiz. $S$ bazı özel polinomları veya trigonometrik fonksiyonları içerebilir ve Bessel eşitsizliğinin ispatında daima sonlu bir kümedir. $S$ kümesinin, genelliği kaybetmeden, birbirine dik ($i \ne j$ için $\langle \varphi_{i} | \varphi_{j} \rangle = 0$) ve normu bir ($\| \varphi_{i} \| = 1$) diğer bir deyişle ortonormal vektörlerden oluştuğunu varsayabiliriz. Eğer $S$ kümesindeki vektörler ortonormal değilse, o zaman Gram-Schmidt algoritmasıyla istenilen forma getirilebilirler. Son olarak herhangi bir vektör için bu vektörün $S$ kümesi üzerindeki Fourier katsayısını $a_{j} := \langle \varphi _{j} | u \rangle$ iç çarpımıyla tanımlıyoruz. Bessel eşitsizliği $u \approx \psi := \sum_{1}^{N} a_{j} \varphi_{j}$ kestirmesindeki hatanın hesabından doğar.

Lemma: (Bessel) $\sum_{j=1}^{N} |a_{j}|^{2} \leq \| u \|^{2}.$
İspat: Normun pozitifliği bu eşitsizliğin ispatı için yeterlidir. $$\begin{eqnarray} \nonumber 0 &\leq& \| u - \psi\|^{2} = \langle u - \psi | u - \psi \rangle = \langle u | u \rangle - \langle u | \psi \rangle - \langle \psi | u \rangle + \langle \psi | \psi \rangle \\ \nonumber &=& \| u \|^{2} - \sum_{j=1}^{N} a_{j} \langle u | \varphi_{j} \rangle - \sum_{j=1}^{N} a_{j}^{*} \langle \varphi_{j} | u \rangle + \sum_{k=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} a_{k}^{*}a_{j} \langle \varphi_{k} | \varphi_{j} \rangle \\ \nonumber &=& \| u \|^{2} - \sum_{j=1}^{N} a_{j} a_{j}^{*} - \sum_{j=1}^{N} a_{j}^{*} a_{j} + \sum_{k=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} a_{k}^{*}a_{j} \delta_{k,j} \\ \nonumber &=& \| u \|^{2} - \sum_{j=1}^{N} a_{j} a_{j}^{*} \end{eqnarray}$$ Burada $\delta_{k,j}$ meşhur Kronecker sembolüdür ve $j=k$ durumunda $1$, diğer durumlarda $0$ değerini alır.

Bessel eşitsizliğinde $S$ kümesinin sonlu olması bizi yakınsama ve benzeri reel analize ilişkin konularda endişlenmekten korur.

Halmos'un Cauchy-Schwarz ispatında temel fikir Bessel eşitsiliğinde $N=1$ almak. Evet, komik derecede basit. $\varphi_{1} := v / \|v\|$ tanımlayalım. $S := \{ \varphi_{1} \}$ olacaktır. Şimdi $a_{1} = \langle \varphi_{1} | u \rangle = \frac{1}{\|v\|} \langle v | u \rangle$ olduğundan Bessel eşitsizliği bu özel durumda aşağıdaki gibi olur.

$$\begin{equation*} \frac{1}{\|v\|^{2}} | \langle v | u \rangle |^{2} \leq \|u\|^{2} \end{equation*}$$ Her iki tarafın karekökü alınarak ispat tamamlanır.