Ferrari'nin dördüncü dereceden (kuartik) denklemleri çözümü

Cebirsel denklemlerden derecesi sadece dörde kadar olan denklemlerin köklerini cebirsel yöntemlerle hesaplayabiliyoruz. Birinci dereceden denklemleri çözmek aşırı derecede kolay. Biz öğrenciyken $ax+b=0$ denkleminin $a \ne 0$ olmak kaydıyla çözümünün $x = -b/a$ olduğu orta okuldayken anlatılırdı. Kuadratik (ikinci dereceden) denklemlerin çözümlerini ise lise birinci sınıfta öğrendik. 500 yıl önce çözümleri Ferrari ve Cardano tarafından yapılan kübik ve kuartik (sırasıyla, üçüncü ve dördüncü dereceden) denklemlerin cebirsel çözümlerini ise ben, itiraf edeyim ki, analitik kimya dersini verirken öğrendim ve iki dönem öğrencilerime de aktarmaya çalıştım. Günümüzde fizikçilerin ve kimyacıların kübik ve kuartik denklemler için hala Raphson-Newton gibi kestirme yöntemler kullanması bir trajikomedidir. Örneğin monoprotik zayıf bir asidin sulu çözeltisindeki hidronyum derişimini dürüstçe tayin etmek için kübik bir denklemin köklerini bulmanız gerekir. Tüm analitik kimyacılar burada kestirme bir yöntem veya bir bilgisayar cebir sistemi kullanıyor olmaktan hiçbir acziyet hissetmezler. Cehalet saadettir. diyenin bir bildiği var.

Daha önce yerölçüsünde kübik denklemlerin Cardano yöntemiyle cebirsel çözümünü anlatmış, ilgili işlemlerin C dilinde yapıldığı bir bilgisayar programına da yer vermiştik. Bu postada ise kuartik denklemlerin çözümünü yapacağız. Çözümü, ünlü cebirci Leonard Eugene Dickson'ın (1874-1954) First Course in the Theory of Equations adlı kitabının 48. bölümünden buraya aktaracağım. (Umarım bir tercüman ve yayın evi bu kitabın tercümesine ve Türkçe basımına zaman ve para ayırır.)

Kuartik denklemlerin hemen hemen en genel hali aşağıdaki formdadır.

$$\begin{equation*} x^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0 \end{equation*}$$ Hemen hemen bu formda olduğunu söyledik çünkü denklemin önde giden teriminin katsayısı 1 ve bu yüzden çok az ve önemsiz bir genellik kaybı var. Bu denklemdeki son üç terimi denklemin sağ tarafına atarsak, o zaman aşağıdaki forma ulaşıyoruz. $$\begin{equation*} x^{4} + bx^{3} = -cx^{2} - dx - e \end{equation*}$$ Bu denklemin sol tarafı $x^{2}+\frac{1}{2}bx$ ifadesinin karesinin ilk iki terimini içermektedir. Her iki tarafa $\frac{1}{4}b^{2}$ eklediğimizde denklemin sol tarafını bir tam kareye tamamlamış oluyoruz. $$\begin{equation*} \left( x^{2} + \frac{1}{2}bx\right)^{2} = \left( \frac{1}{4}b^{2} - c \right)x^{2} -dx - e \end{equation*}$$

Çözümün bu aşamasında Ferrari, değeri sonradan tayin edilecek bir $y$ değişkeni tanımlıyor ve bir önceki denklemin her iki tarafına da $(x^{2}+\frac{1}{2}bx)y + \frac{1}{4}y^{2}$ ifadesini ekliyor. Bu ilaveyle denklemin sol tarafı hala bir tam kare olma özelliğini koruyor.

$$\begin{equation*} \left( x^{2} + \frac{1}{2}bx + \frac{1}{2}y\right)^{2} = \left( \frac{1}{4}b^{2} - c + y \right)x^{2} + \left( \frac{1}{2}by-d \right) x + \frac{1}{4}y^{2} - e \ \ \ (*) \end{equation*}$$ Bu denklemin $x$ değişkenine göre sağ tarafının da bir tam kare olmasını istiyoruz. Neden? Çünkü, o zaman her iki tarafın da kareköklerini alarak denklemin derecesini dörtten ikiye düşürmüş olacağız. Bu isteğimiz ilgili diskriminantın tam olarak sıfır olmasıyla mümkün. $$\begin{equation*} \left( \frac{1}{2}by - d \right)^{2} - 4 \left( \frac{1}{4}b^{2} - c + y\right) \left( \frac{1}{4}y^{2}-e \right) = 0 \end{equation*}$$ Bu diskriminantı açtığımızda ise $y$ için aşağıdaki çözen kübik denkleme (resolvent cubic equation) ulaşıyoruz. $$\begin{equation*} y^{3} - cy^{2} + (bd-4e)y - b^{2}e + 4ce - d^{2} = 0 \end{equation*}$$ Farkında mısınız? Kübik denklemlerin çözümünü yapmayı bilen birisi için problemin çözümü bu aşamada neredeyse bitti aslında. Bu çözen kübik denklemin herhangi bir kökünü seçin. O zaman (*) işaretli denklemin sağ tarafı değerleri bilinen $m$ ve $n$ sayıları için $(mx+n)^{2}$ formunda olacaktır. Yine (*) işaretli denklemde her iki tarafın karekökünü aldığımızda $$\begin{equation*} x^{2} + \frac{1}{2}bx + \frac{1}{2}y = mx + n \ \ \ {\rm ve} \ \ \ x^{2} + \frac{1}{2}bx + \frac{1}{2}y = -mx - n \end{equation*}$$ olmak üzere, ikinci dereceden iki tane denklem karşımıza çıkıyor. Aradığımız dört kök bu iki denklemin kökleridir ve Ferrari'nin çözümü burada tamamlanmıştır.