Kuantum Mekaniğinin Adyabatik Teoremi Üzerine - Tosio Kato (makale tercümesi)

Sunum

Güneş ile sistemimizdeki en büyük gezegen olan Jüpiter'in kütleleri arasındaki oran yaklaşık olarak 10³. Aynı şekilde proton ile elektron arasındaki kütle oranı da yine 10³ mertebesinde. Böyle olunca sistemi oluşturan ağır cisim (güneş ya da atom çekirdeği) ile hafif cismin (gezegen ya da elektron) hareketlerinin zaman skalası birbirlerinden ayrılır. Örneğin bir moleküldeki elektronların hareketi tipik olarak attosaniye (10^-18 s) kadar sürerken, atom çekirdeklerinin hareketi femtosaniye (10^-15 s) kadar sürer. Literatürde yaygın olarak bilinen adıyla Born-Oppenheimer kestirmesi (ya da adyabatik kestirme) işte zaman skalasındaki bu ayrışmayı kullanarak yavaş cisimleri sanki duruyorlarmış gibi ele alır ve onların konumlarının sabit tutulmasıyla oluşan alanda hızlı cisimlerin hareketini irdeler.

Benzer bir kestirme açık mekanik sistemler için de geçerlidir. Uzunluğu $l$ olan tavana asılı bir sarkacın $g$ çekim ivmesi altındaki periyotunun $\sqrt{l/g}$ ile orantılı olduğunu hepimiz biliyoruz. Eğer, bir mekanizma ile bu sarkacın uzunluğu çok yavaş bir biçimde değiştirilseydi, o zaman sarkacın periyotunun yine $\sqrt{l(t)/g}$ ile orantılı bir biçimde tezahür etmesini bekleriz. Bu yaklaşık olarak doğru beklentiye mekanikteki adyabatik teoremin bir örneğidir. Hem klasik hem de kuantum mekaniğinde varyantları olan bu teoremin, kuantum mekaniği çerçevesindeki ilk ispatını her ne kadar Born ve Fock vermiş olsa da, daha genel ve matematiksel olarak daha doyurucu ispatı, matematiksel fizik sahasındaki çalışmalarıyla tanınan Japon matematikçi Tosio Kato (25.08.1917-02.10.1999) yapmıştır.

Aşağıda Kato'nun adyabatik teoremi ispatladığı 1950 tarihli makalesinin Türkçe tercümesi yer alıyor. Okurdan bir derece kuantum mekaniği formalizmine aşinalık ve matematiksel (özellikle de gerçel analize ait) argümanları takip edebilecek bir olgunluk bekleyen bu önemli çalışmanın tercümesindeki tüm kusurlar bendenize aittir.

Yaşasaydı, bu sene 25 Ağustos'ta Kato'nun 100. doğum yıl dönümü kutlanacaktı. Ruhu şad olsun!

Mustafa Demirplak, 6 Temmuz 2017, Büyükçekmece

---

Kuantum Mekaniğinin Adyabatik Teoremi Üzerine

Tosio Kato

Tokyo Üniversitesi, Fizik Bölümü
(27 Nisan 1948'de postadan alınmış, 17 Mart 1950'de baskıya hazır hale gelmiştir.)

§1. Giriş.

Bir sistemin Hamilton işlemcisi $H(t)$ zamana bağlı ise, o zaman ilgili Schrödinger'in hareket denkleminin genellikle durgun çözümü yoktur. Söz konusu denklem, Planck sabitinin $h=2\pi$ olduğu birimlerde aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} \frac{d\psi (t)}{d t} = -i H(t) \psi (t) \ \ \ \ \ \ (1) \end{equation*} Ancak, $H(t)$ işlemcisindeki değişimin sonsuz derecede yavaş gerçekleştiği limitte, harekete $H(0)$ işlemcisinin durgun bir durumundan başlanması halinde, sistem, tüm $t$ değerleri için, $H(t)$ işlemcisinin tekabül eden durgun durumlarından geçerek hareketine devam eder. İşte kuantum mekaniğindeki adyabatik teoremin iddiası budur.

Şimdiye kadar adyabatik teoremin dört başı mamur denilebilecek bir ispatı Born ve Fock [1] tarafından verilmiştir. (Bu çalışmaya bundan sonra BF harfleri ile atıfta bulunacağız.) Adı geçen yazarların ispatı özdeğerlerin kesiştiği durumu kapsayacak kadar genel olsa da, söz konusu ispat diğer yönlerden iki temel varsayımla kısıtlanmış durumdadır:
   (i) $H(t)$ işlemcisinin spektrumu tamamen kesikli özdeğerlerden oluşmaktadır ve
   (ii) kesişmenin neden olduğu kazara yozlaşma durumları hariç bu özdeğerler yozlaşmamıştır.
Yazarların sunduğu argüman esaslı bir tadilattan geçmeden daha genel durumlara uygulanamaz, zira onlar en genel durumda kesikli özfonksiyonların tam sistemine tekabül eden (1) nolu denklemin sonsuz sayıdaki çözümünü ele almaktadırlar ki genel durumda böyle bir tam sistem matematiksel olarak mevcut değildir.

Fiziksel açıdan bakınca (i) ve (ii) nolu varsayımlar epeyce yapay gözükmektedir, zira $H(t)$ işlemcisinin herhangi bir $\lambda (t)$ özdeğerine tekabül eden (1) nolu denklemin çözümünün, spektrumun $\lambda(t)$ özdeğerine uzak, kesikli veya sürekli kısımlarından etkileniyor olması kulağa makul gelmemektedir.

Mevcut çalışmada teoreme, söz konusu kısıtlayıcı varsayımlardan ari, yeni bir ispat getireceğiz. BF yönteminin aksine, $H(0)$ işlemcisinin, yozlaşmış olabilecek, belirli bir özfonksiyonundan başlayan (1) nolu denklemin bir çözümünü [2] ele alacağız ve odaklandığımız özdeğerin yakın komşuluğu hariç olmak üzere, $H(t)$ işlemcisinin spektrumuna ilişkin herhangi bir hipotez de ileri sürmeyeceğiz.

Bizim anlayışımıza göre adyabatik teoremin muhtevası iki kısma taksim edilebilir. Teorem ilkin adına adyabatik dönüşüm (kısaca AD) diyebileceğimiz, sistemin zahiri bir değişiminin matematiksel varlığını ifade etmektedir. İkinci olarak da, (1) nolu hareket denklemi tarafından tanımlanan dinamik dönüşümün (kısaca DD), $H(t)$ işlemcisindeki değişimin sonsuz derecede yavaş gerçekleştirildiği limitte AD'ye gittiğini iddia eder. Bahsi geçen dönüşümler hakiki veya zahiri mekanik değişimler olmaları hasebiyle, üniter işlemciler tarafından temsil edilir.

Buna göre konumuz iki kısma ayrılıyor. İlk önce AD'ye tekabül eden üniter işlemciyi bulmamız ve daha sonra (1) nolu denklem tarafından tanımlanan DD'nin asimptotik davranışını çalışmamız ve AD'ye eşitliğini ispatlamamız gerekiyor. (i) ve (ii) nolu varsayımların yapıldığı BF makalesinde ilk durumun son derece aşikar olduğu not edilmelidir. Zira AD'nin yapması gereken şey $H(0)$ işlemcisinin tüm özfonksiyonlarını $H(t)$ işlemcisinin tekabül eden özfonksiyonlarına dönüştürmek olduğundan, AD her özfonksiyon için bir faz faktörüne kadar zaten tayin edilmiştir. Bu sebebe binaen BF problemin sadece bir yarısını çözmüştür. Bizim genel durumumuzda sorun o kadar da basit değildir ve AD'nin kurulumu mevcut çalışmanın ana kısmını oluşturur.

Aşağıda yaptığımız ispat nispeten usulüne uygun olmakla beraber matematiksel bir açıdan bakıldığında kusursuz değildir. Elbette açıkça tanımlanmış varsayımlara dayanan ayrıntılı argümanlarla matematiksel ciddiyeti korumak mümkündür, lakin böyle bir üslup bizi gereksiz yere karmaşık bölgede çok ileri götürerek problemin özünü perdeler.

§2. Dinamik Dönüşüm.

(1) nolu hareket denklemini $0 \leq t \leq \tau$ aralığında ele alıp $H(t)$ işlemcisindeki toplam değişimin sonlu kaldığı durumlarda, çözümün $\tau \to \infty$ asimptotiğindeki davranışını soruşturacağız. Bu maksatla, BF'yi takip ederek, hesaplamalarımızı kolaylaştırması için $t=\tau s$ ile yeni bir birimsiz zaman değişkenini tanımlayalım. (1) nolu hareket denklemi bu değişken dönüşümüyle aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir. \begin{equation*} \frac{d\psi_{\tau} (s)}{d s} = -i \tau H(s) \psi_{\tau} (s) \ \ \ \ \ \ (2) \end{equation*} Hipotez uyarınca, $\tau \to \infty$ durumunda $dH(s)/ds$ türevinin sonlu kalacağı $H(s)$ işlemcileriyle çalışacağız. Bundan sonra çalışmamızı kolaylaştırmak amacıyla $H(s)$ işlemcisinin $\tau$ değerinden bağımsız olduğunu varsayacağız ama sunacağımız argümanın hiçbir değişiklik olmadan $H(s)$ işlemcisinin $\tau$ değerine bağlı olduğu durumlarda da geçerli olduğunu not ediniz.

$\lambda (s)$, $H(s)$ işlemicisinin çokkatlılığı $m \geq 1$ olan kesikli bir özdeğeri ve $E(s)$ de tekabül eden $m-$boyutlu özuzaya projeksiyon işlemcisi [3] olsun. $\lambda (s)$ ve $E(s)$ fonksiyonlarının $s$ değişkenine göre sürekli, $dE/ds$ ve $d^{2}E/ds^{2}$ türevlerinin ise parçalı sürekli olduklarını varsayacağız.

Burada $E(s)$ projeksiyonunu biricik olması hasebiyle benimsedik, zira tekabül eden özfonksiyonlar özellikle $m>1$ için biricik bir biçimde tayin edilemezler. Söz konusu özfonksiyonların verilmeleri halinde $E(s)$ projeksiyonunun kolayca hesaplanacağını not ediniz. Ayrıca, $\lambda (s)$ ve $E(s)$ değerleri $H(s)$ işlemcisinden artık kanıksanmış perturbasyon yöntemiyle elde edilebilir ve onların sürekliliği $H(s)$ işlemcisinin sürekliliğinin bir sonucudur.

Şimdi, tanım gereği \begin{equation*} ( H(s) - \lambda (s) I ) E(s) = 0 \ \ \ \ \ \ (3) \end{equation*} denklemi geçerlidir ve aşağıdaki özellikleri sağlayan bir $S(s)$ işlemcisi [4] vardır. \begin{eqnarray}\nonumber && E(s)S(s)=S(s)E(s)=0 \ \ \ \ \ \ (4) \\ \nonumber && ( H(s) - \lambda(s) I ) S(s) = I - E(s) \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} Eğer $H(s)$ işlemcisinin spektral dekompozisyonu [5] $H(s) = \int \lambda dE_{s}(\lambda)$ denklemi ile veriliyorsa, o zaman $S(s)$ işlemcisi aşağıdaki gibi temsil edilebilir. \begin{equation*} S(s) = \int^{\prime} [\lambda - \lambda(s)]^{-1} dE_{s}(\lambda) \ \ \ \ \ \ (6) \end{equation*} Burada $\int^{\prime}$ sembolü $\lambda = \lambda(s)$ hariç diğer noktalar üzerinden integral almayı temsil etmektedir.

(2) nolu denklemin çözümü aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} \psi_{\tau}(s) = V_{\tau}(s) \psi_{\tau}(0) \ \ \ \ \ \ (7) \end{equation*} $V_{\tau}(s)$, DD'yi temsil eden üniter bir dönüşümdür [Dipnot: Üniterlik ispatı aşağıda (16) nolu denklemdeki ispatla aynıdır.] ve aşağıdaki denklemleri sağlar. ($^{\prime} = d/ds$) \begin{eqnarray}\nonumber && V_{\tau}^{\prime}(s) = -i \tau H(s) V_{\tau}(s), \ \ \ V_{\tau}(0) = I, \ \ \ \ \ \ (8) \\ \nonumber && V_{\tau}^{\dagger \ \prime}(s) = i \tau V_{\tau}^{\dagger}(s)H(s), \ \ \ V_{\tau}^{\dagger}(0) = I. \ \ \ \ \ \ (9) \end{eqnarray} Burada $\dagger$ eşlenik işlemciyi temsil etmektedir. Eğer \begin{equation*} \overline{V} _{\tau}(s) = \exp \left\{ i\tau \int_{0}^{s} \lambda (y) dy \right\} V_{\tau}(s) \ \ \ \ \ \ (10) \end{equation*} denklemiyle $\overline{V} _{\tau}(s)$ işlemcisini tanımlarsak, o zaman (9) nolu denklem uyarınca aşağıdaki sonuç geçerli olur. \begin{equation*} \overline{V} _{\tau}^{\dagger \ \prime}(s) = i \tau \overline{V} _{\tau}^{\dagger}(s) (H(s)-\lambda (s) I) \ \ \ \ \ \ (11) \end{equation*}

§3. Adyabatik Dönüşüm.

Aşağıdaki diferansiyel denklemi ele alalım. \begin{eqnarray} \nonumber &&X^{\prime}(s) = iA(s)X(s) \ \ \ \ \ \ (12) \\ \nonumber &&iA(s) = [E^{\prime}(s),E(s)] \equiv E^{\prime}(s) E(s) - E(s)E^{\prime}(s) \ \ \ \ \ \ (13) \end{eqnarray} (12) nolu denklem ardışık yaklaştırma yöntemi ile kolayca çözülebilir ve çözüm $X(0)$ başlangıç değeriyle biricik bir biçimde tayin edilir. (12) nolu denklemin $U(0)=I$ başlangıç değeriyle yapılan çözümünü $U(s)$ ile gösterirsek, (12) nolu denklemin genel çözümünün $X(s)=U(s)X(0)$ ile verileceği barizdir. Ayrıca (13) nolu denklem uyarınca $A(s)$ Hermitik olduğundan \begin{equation*} U^{\prime}(s) = i A(s) U(s), \ \ \ U^{\dagger\ \prime}(s) = -iU^{\dagger}(s) A(s) \ \ \ \ \ \ (14) \end{equation*} olur. $(U^{\dagger}(s)U(s))^{\prime} = (-iU^{\dagger}(s)A(s))U(s) + U^{\dagger}(s)(iA(s)U(s))=0$ olduğundan, $U^{\dagger}(s)U(s) = U^{\dagger}(0)U (0)=I$ sonucu elde edilir. Ayrıca \begin{equation*} (U(s)U^{\dagger}(s))^{\prime} = (i A(s) U(s))U^{\dagger}(s) + U(s)(-iU^{\dagger}(s)A(s)) = i[A(s),U(s)U^{\dagger}(s)] \ \ \ \ \ \ (15) \end{equation*} eşitliğini de gözleyiniz. Bu denklem $U(s)U^{\dagger}(s)$ için bir lineer diferansiyel denklemdir ve çözümü de $U(0)U^{\dagger}(0)=I$ başlangıç değeriyle biricik bir biçimde tayin edilir. $U(s)U^{\dagger}(s)=I$, (15) nolu denklemi bariz bir biçimde çözdüğünden, $U(s)U^{\dagger}(s)=I$ olmalıdır. Dolayısıyla $U(s)$ işlemcisinin üniter olduğunu \begin{equation*} U^{\dagger}(s)U(s) = U(s)U^{\dagger}(s) = I \ \ \ \ \ \ (16) \end{equation*} denklemini göstererek ispatlamış bulunuyoruz.

$E(s)$ bir projeksiyon işlemcisi olduğundan [5], $E^{2}(s) = E(s)$ eşitliği geçerlidir. Her iki tarafın da türevini aldığımızda, $E^{\prime}(s)E(s) + E(s)E^{\prime}(s) = E^{\prime}(s)$ olur. Soldan ve sağdan $E(s)$ ile çarpıp $E^{2}(s)=E(s)$ olduğunu da hatırlayarak \begin{equation*} E(s)E^{\prime}(s)E(s)=0 \ \ \ \ \ \ (17) \end{equation*} denklemini elde ediyoruz. (13) ve (17) nolu denklemler kullanılarak \begin{equation*} iE(s)A(s) = -E(s)E^{\prime}(s), \ \ \ iA(s)E(s) = E^{\prime}(s)E(s) \ \ \ \ \ \ (18) \end{equation*} denklemi de elde edilebilir. Dolayısıyla yukarıda da verdiğimiz $E^{\prime}(s)E(s) + E(s)E^{\prime}(s) = E^{\prime}(s)$ eşitliği kullanıldığında \begin{equation*} E^{\prime}(s) = i A(s) E(s) - i E(s) A(s) = i[A(s),E(s)] \ \ \ \ \ \ (19) \end{equation*} denklemini elde etmiş oluruz. Bir sonraki basamakta $E(s)U(s)$ çarpımını ele alacağız. (14) ve (19) nolu denklemler uyarınca \begin{equation*} (E(s)U(s))^{\prime} = (E^{\prime}(s)+iE(s)A(s))U(s) = iA(s)E(s)U(s) \ \ \ \ \ \ (20) \end{equation*} olduğunu gözleyelim. (20) nolu denklem $W(s) \equiv E(s)U(s)$ çarpımının (12) nolu denklemi çözdüğünü söylemektedir. Bu yüzden yukarıda belirtilenler uyarınca $W(s)=U(s)W(0)$ ya da \begin{equation*} W(s) \equiv E(s)U(s) = U(s)E(0) \ \ \ \ \ \ (21) \end{equation*} ve dolayısıyla \begin{equation*} E(s) = U(s)E(0)U^{-1}(s) \ \ \ \ \ \ (22) \end{equation*} olmalıdır. Ayrıca (21) nolu denklemin sonucu olarak aşağıdaki denklemleri de not edelim. \begin{eqnarray} \nonumber && W(s) = E(s)W(s) = W(s)E(0) \ \ \ \ \ \ (23) \\ \nonumber && W^{\dagger}(s)W(s) = E(0), \ \ \ W(s)W^{\dagger}(s) = E(s) \ \ \ \ \ \ (24) \end{eqnarray} $W(s)$ işlemcisinin $U(s)$ işlemcisine kıyasla nispeten daha sade bir diferansiyel denklemi sağladığını söyleyen aşağıdaki denklemi de \begin{equation*} W^{\prime}(s) i A(s) W(s) = i A(s) E(s) W(s) = E^{\prime}(s) E(s) W(s) = E^{\prime}(s) W(s) \ \ \ \ \ \ (25) \end{equation*} (21,20,23 ve 18) nolu denklemleri kullanarak türetebiliriz. Nihayet, (25) ve (17) nolu denklemleri kullanarak \begin{equation*} E(s) W^{\prime}(s) = E(s) E^{\prime}(s) E(s) W(s) = 0 \ \ \ \ \ \ (26) \end{equation*} eşitliğini de buraya kaydedelim.

(22) nolu denklem $U(s)$ üniter işlemcisinin, $H(0)$ işlemcisine ait $E(0)$ özuzayını izometrik olarak $H(s)$ işlemcisinin $E(s)$ özuzayına dönüştürdü anlamına gelmektedir. (21) ve (23) nolu denklemler uyarınca, $W(s)E(0)=U(s)E(0)$ olduğundan, $W(s)$ işlemcisi $E(0)$ özuzayının fonksiyonlarına uygulandığında $U(s)$ ile aynı gönderimi verir. $U(s)$ veya $W(s)$ işlemcisine $\lambda(s)$ özdeğerine tekabül eden AD işlemcisi diyeceğiz. Müteakip bölümde, $U(s)$ işlemcisinin gerçekten de başlangıçta $E(0)$ özuzayında bulunan sistemin adyabatik değişimine tekabül ettiğini göstereceğiz ve (23) ve (26) nolu denklemlerin bu amaca erişmekte şart olduğu görülecektir.

İşaret. Eğer $E(s)$, $s$ değişkeninin düzenli (analitik) bir fonksiyonu ise, o zaman $U(s)$ işlemcisinin de düzenli olduğu kolayca görülecektir. Yukarıda atıfta bulunulan makalede [4] tartışılan düzenli perturbasyonla ilgili geçerli olan durum budur.

§4. Adyabatik Teoremin İspatı.

(11) nolu denklem uyarınca \begin{equation*} (\overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s))^{\prime} = i\tau \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s) (H(s)-\lambda(s)I)W(s) + \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W^{\prime}(s) \end{equation*} olur. Sağ taraftaki ilk terim (23) ve (3) nolu denklemler uyarınca sıfır olur. $\overline{V}_{\tau}^{\dagger}(0)=I$ ve $W(0)=E(0)$ olduğunu not edip her iki tarafın $0$ ile $s$ arasında integralini aldığımızda \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) - E(0) = \int_{0}^{s} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(y) W^{\prime}(y) dy \ \ \ \ \ \ (27) \end{equation*} sonucunu elde ediyoruz. Ancak (26) ve (5) nolu denklemler uyarınca \begin{equation*} W^{\prime}(s) = (I - E(s)) W^{\prime}(s) = (H(s) - \lambda(s)I) S(s) W^{\prime}(s) \end{equation*} olduğundan, (11) nolu denklem uyarınca \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W^{\prime}(s) = \overline{V}_{\tau}^{\dagger} (H(s)-\lambda(s)I) S(s) W^{\prime}(s) = (i\tau)^{-1} \overline{V}_{\tau}^{\dagger \ \prime}(s)S(s)W^{\prime}(s) \end{equation*} ara sonucu elde edilir. Bunu (27) nolu denkleme koyup kısmi integrasyon tekniğini uyguladığımızda aşağıdaki denkleme ulaşıyoruz. \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) - E(0) = (i\tau)^{-1} \left[ \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(y)S(y)W^{\prime}(y)\right]_{0}^{s} - (i\tau)^{-1} \int_{0}^{s} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(y) ( S(y)W^{\prime}(y))^{\prime} dy \ \ \ \ \ \ (28) \end{equation*}

Öncelikle $\lambda(s)$ özdeğerinin diğer özdeğerleri veya sürekli spektrumu $0 \leq s \leq 1$ için kesmediğini varsayalım. O zaman (6) nolu denklemden de görüleceği üzere $S(s)$ sonludur ve $\overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)$ üniter ve dolayısıyla 1 mertebesinde olduğundan, (28) nolu denklemin sağ tarafı $\tau^{-1}$ mertebesindedir. Sol taraftan $-\overline{V}_{\tau}(s)$ üniter işlemcisi ile çarpıp $\overline{V}_{\tau}(s) \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)=I$ eşitliğini not ettiğimizde \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}(s)E(0) - W(s) = O(\tau^{-1}) \end{equation*} ya da (10) ve (23) nolu denklemler uyarınca \begin{equation*} \left[ V_{\tau}(s) - \exp\left\{ -i\tau \int_{0}^{s} \lambda(y) dy \right\} W(s) \right] E(0) = O(\tau^{-1}) \ \ \ \ \ \ (29) \end{equation*} olur. Bu, $\tau \to \infty$ asimptotiğinde, $E(0)$ özuzayında bulunan herhangi bir fonksiyona $V_{\tau}(s)$ DD işlemcisinin etki etmesiyle, bir faz faktörü haricinde, aynı fonksiyona $W(s)$ AD işlemcisinin etki etmesinin aynı olduğu anlamına gelir ve (29) nolu denklem adyabatik teoremin tüm iddialarını havidir.

Bir örnek teşkil etmesi amacıyla, $H(0)$ işlemcisinin $\lambda(0)$ özdeğerine tekabül eden özfonksiyonlarından oluşan ortonormal sistemi, $\varphi_{1}(0), \ldots , \varphi_{m}(0)$ fonksiyonlarını ele alalım. O zaman $E(0)\varphi_{j}(0)=\varphi_{j}(0)$ olur ve (23) nolu denklem uyarınca $E(s)\varphi_{j}(s)=\varphi_{j}(s)$ olduğundan, $\varphi_{j}(s) \equiv U(s)\phi_{j}(0) = W(s)\phi_{j}(0)$ özfonksiyonları $H(s)$ işlemcisinin $\lambda_{j}(s)$ özdeğerine tekabül etmektedir. Ayrıca, $U(s)$ üniter bir işlemci olduğundan $\phi_{j}(s)$ fonksiyonları da bir ortonormal sistem oluşturur. Eğer (29) nolu denklemin her iki tarafını da sağdan $\varphi_{j}(0)$ ile çarparsak, o zaman aşağıdaki sonuç elde edilir. \begin{equation*} V_{\tau}(s) \varphi_{j}(0) - \exp \left\{ -i\tau \int_{0}^{s}\lambda(y) dy \right\} \varphi_{j}(s) = O(\tau^{-1}) \ \ \ \ \ \ (30) \end{equation*} Ama $V_{\tau}(s) \varphi_{j}(0)$, hareket denkleminin $\varphi_{j}(0)$ başlangıç durumuna tekabül eden çözümüdür. Dolayısıyla (30) nolu denklem bu çözümün $H(s)$ işlemcisinin $\varphi_{j}(s)$ özfonksiyonuyla çarpım durumundaki bir faz faktörüne ve $O(\tau^{-1})$ kadar bir nicelik farkıyla örtüştüğü anlamına gelir.

Şimdi de $\psi (0)$ ile herhangi bir dalga fonksiyonunu ele alalım. (30) nolu denklemin $V_{\tau}(s)\psi(0)$ ile iç çarpımını aldığımızda ve $V_{\tau}(s)$ işlemcisinin üniter olduğunu gözettiğimizde aşağıdaki sonucu elde ediyoruz. \begin{equation*} \langle \varphi_{j}(0) | \psi (0) \rangle - \exp \left\{ -i\tau \int_{0}^{s} \lambda(y) dy \right\} \langle \varphi_{j}(s) | V_{\tau}(s)\psi(0) \rangle = O(\tau^{-1}) \ \ \ \ \ \ (31) \end{equation*} [Tercümanın notu: $f$ ve $g$ iki fonksiyon, $\alpha$ karmaşık bir sayı ve $\alpha^{*}$ onun karmaşık eşleniği olsun. Matematikçilerin iç çarpım konvansiyonu $\langle \alpha f | g \rangle = \alpha \langle f | g \rangle$ ve $\langle f | \alpha g \rangle = \alpha^{*} \langle f | g \rangle$ iken fizikçilerin iç çarpım konvansiyonu bunun tam tersi yani $\langle f | \alpha g \rangle = \alpha \langle f | g \rangle$ ve $\langle \alpha f | g \rangle = \alpha^{*} \langle f | g \rangle$ formundadır. Kato'nun makalede matematikçilerin iç çarpım konvansiyonunu takip ettiğini (31) nolu denklemden anlıyoruz.] Sistemin başlangıçta $\psi(0)$ dalga fonksiyonu ile temsil edilmesi halinde, sistemin $s=0$ anında $\varphi_{j}(0)$ durgun durumunda bulunma ihtimali $| \langle \varphi_{j}(0) | \psi(0) \rangle |^{2}$ ile verilir. Sistemin $s$ zaman sonra tekabül eden $\varphi_{j}(s)$ durumunda bulunma ihtimali ise $| \langle \varphi_{j}(s) | V_{\tau}(s) \psi(0) \rangle |^{2}$ ile verilmektedir. Dolayısıyla (31) nolu denklem bu ihtimallerin $O(\tau^{-1})$ kadar bir hata payına kadar eşit olduklarını gösterir. [Dipnot: Öte yandan $\langle \varphi_{j}(0) | \psi(0) \rangle = 0$ olması halinde, söz konusu hata payı $O(\tau^{-2})$ kadardır.]

Böylece (29) nolu denklemin adyabatik teoremin tüm iddialarını havi olduğu görülür.

Son olarak $\lambda(s)$ ile diğer özdeğerler arasında sonlu sayıda kesişim olduğu durumu ele alacağız. $s_{1}, \ldots , s_{N-1}$ bahsi geçen kesişimlerin gerçekleştiği zamanlar olsun. O zaman $S(s)$ işlemcisi genellikle bu noktalarda sonsuz olur (bak. (6) nolu denklem) ve (28) nolu denklem geçerliliğini yitirir. Ancak $\delta > 0$ olacak şekilde küçük bir sayı alırsak, (28) nolu denklemi $(0,s)$ aralığı yerine her bir $s_{k-1}+\delta \leq s \leq s_{k}-\delta$ aralığına uyguladığımızda, sabit bir $\delta$ değeri için \begin{equation*} \lim _{\tau \to \infty} \left[ \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) \right]_{s_{k-1}+\delta}^{s_{k}-\delta} = 0 \end{equation*} limitini elde ederiz. (Burada $k=1,\ldots , N$; $s_{0}=0$ ve $s_{N}=1$.) Öte yandan (27) nolu denklemi $s_{k}-\delta \leq s \leq s_{k}+\delta$ aralığına uyguladığımızda, $\overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)$ üniter olduğundan $\tau$ değişkenine göre üniform bir şekilde \begin{equation*} \lim _{\delta \to 0} \left[ \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) \right]_{s_{k}-\delta}^{s_{k}+\delta} = 0 \end{equation*} limitini elde ederiz. Netice itibariyle, önce $\delta$ değerini küçük ardından da $\tau$ değerini yeterince büyük alırsak, o zaman kolayca \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) - E(0) = o(1) \end{equation*} sonucuna varabiliriz. Burada $o(1)$, $\tau \to \infty$ asimptotiğinde sıfıra yakınsayan bir niceliği temsil etmektedir. Daha önce olduğu gibi genel durumda adyabatik teoremin ispatını veren \begin{equation*} \left[ V_{\tau}(s) - \exp\left\{ -i\tau \int_{0}^{s} \lambda(y) dy \right\} W(s) \right] E(0) = o(1) \ \ \ \ \ \ (32) \end{equation*} sonucuna varılır.

Elbette (32) nolu denklem, ilgili özdeğerin ve tekabül eden özuzaya projeksiyonun daha önce belirttiğimiz $s$ değişkenine göre uygun süreklilik şartını sağlamaları koşuluyla, $H(s)$ işlemcisinin her özdeğeri için geçerlidir. Öte yandan bu süreklilik şartı ihlal edildiğinde adyabatik teorem de genellikle geçerliliğini yitirir [6].

§5. Adyabatik Dönüşümün Uzantısı.

Bu noktaya kadar $H(s)$ işlemcisinin sadece bir tane $\lambda (s)$ özdeğerini ele aldık ve tekabül eden AD yani $U(s)$ işlemcisini kurduk. Buna göre $U(s)$, $E(0)$ özuzayı dışında kalan fonksiyonlara etki ettiğinde AD'yi temsil etmeyecektir ve $H(s)$ işlemcisinin farklı özdeğerleri için farklı $U(s)$ işlemcileri kurmamız gerekir.

Bu kusuru düzeltmek maksadıyla, bu bölümde $H(s)$ işlemcisinin tüm kesikli $\lambda_{n}$, ($n=1,2,\ldots$), özdeğerlerinin AD'sini aynı anda tarif etme kapasitesine sahip, üniter bir $U(s)$ işlemcisinin kurulabileceğini göstereceğiz.

$\lambda_{n}(s)$ özdeğerine tekabül eden özuzay $E_{n}(s)$ olsun. Çok iyi bilindiği üzere, söz konusu projeksiyonlar birbirlerine diktir: \begin{equation*} E_{n}(s)E_{m}(s) = \delta_{n,m}E_{n}(s), \ \ \ (n,m=1,2,\ldots). \end{equation*} Sürekli spektrumun varlığını dışlamadığımız için, bu projeksiyonlar tam değildir. \begin{equation*} I - \sum_{n=1}^{\infty} E_{n}(s) = E_{0}(s) \ \ \ \ \ \ (33) \end{equation*} ile genel olarak sıfırdan farklı $E_{0}(s)$ işlemcisini tanımlarsak, bu işlemcinin diğer tüm $E_{n}(s)$ ($n \geq 1$) projeksiyonlarına dik olduğu görülür.

Bu $E_{n}(s)$ projeksiyonları uygun bir biçimde sürekli ise, o zaman 3. bölümde tanımlanan (bak. (21) nolu denklem) ilgili $W_{n}(s)$ AD işlemcisini kurabiliriz ve (23) ve (24) nolu denklemler uyarınca aşağıdaki eşitlikler geçerli olur. \begin{eqnarray} \nonumber && W_{n}(s) = E_{n}(s)W_{n}(s) = W_{n}(s)E_{n}(0) \ \ \ \ \ \ (34) \\ \nonumber && W^{\dagger}_{n}(s)W_{n}(s) = E_{n}(0), \ \ \ W_{n}(s)W^{\dagger}_{n}(s) = E_{n}(s) \ \ \ \ \ \ (35) \end{eqnarray} $m \ne n$ için (34) nolu denklem uyarınca \begin{equation*} W^{\dagger}_{n}(s)W_{m}(s) = W^{\dagger}_{n}(s)E_{n}(s)E_{m}(s)W_{m}(s) = 0, \ \ \ W_{n}(s)W^{\dagger}_{m}(s) = W_{n}(s)E_{n}(0)E_{m}(0)W_{m}^{\dagger}(s) = 0 \ \ \ \ \ \ (36) \end{equation*} olur. Bu aşamada adyabatik dönüşümü \begin{equation*} U(s) = \sum_{n=0}^{\infty} W_{n}(s) \ \ \ \ \ \ (37) \end{equation*} tanımlıyoruz. O zaman (35, 36 ve 33) nolu denklemler uyarınca \begin{equation*} U^{\dagger}(s)U(s) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} W_{n}^{\dagger}(s) W_{m}(s) = \sum_{n=0}^{\infty} E_{n}(0) = I \end{equation*} olur. Tamamen benzer bir şekilde $U(s)U^{\dagger}(s)=I$ olduğunu da göstererek, $U(s)$ işlemcisinin üniter olduğunu ispatlayabiliriz. Ardından, (34) nolu denklem uyarınca \begin{equation*} U(s)E_{n}(0) = \sum_{m=0}^{\infty} W_{m}(s)E_{m}(0)E_{n}(0) = W_{n}(s) \end{equation*} yazabiliriz. Böylece $U(s)$, $W_{n}(s)$ ile $E_{n}(0)$ projeksiyonuna etki ettiğinde örtüşmüş olur ve $U(s)$ işlemcisinin her bir $E_{n}(0)$ alt uzayında AD'yi temsil ettiği gösterilir. İstediğimiz işlemciyi elde ettik.

Bitirirken $U(s)$ işlemcisinin aşağıdaki diferansiyel denklemi sağladığını not ediyoruz. \begin{eqnarray}\nonumber && U^{\prime}(s) = iB(s)U(s), \\ \nonumber && iB(s) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} [E_{n}^{\prime}(s),E_{n}(s)]. \end{eqnarray}

Bibliyografya.

[1] M. Born and V. Fock: Zs. f. Phys. 51 (1928), 165. Ayrıca bak. M. Born and P. Jordan: Elementare Quantenmechanik. Berlin, 1930.
[2] Bu hususta kullandığımız yöntem Güttinger'in yöntemiyle paralellik arz etmektedir. Güttinger, Zs. f. Phys. 73 (1931), 169.
[3] J. von Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin, 1932, sayfa 40.
[4] Kıyaslayın: T. Kato, Prog. Theor. Phys. 4 (1949), 514.
[5] Bak. [3], sayfa 60.
[6] Kıyaslayın: M. Born, Vorlesungen über Atommechanik, Berlin, 1925, sayfa 112'de yer alan klasik örnek.

---

Kilit terimlerin tercümede kullanılan Türkçe karşılıkları

adiabatic transformation: adyabatik dönüşüm
adjoint operator: eşlenik işlemci (Hermitik eşlenik)
complete: tam
continuous: sürekli
degeneracy: yozlaşma
discrete: kesikli
dynamical transformation: dinamik dönüşüm
eigenfunction: özfonksiyon
eigenspace: özuzay
eigenvalue: özdeğer
immediate neighborhood: yakın komşuluk
initial value: başlangıç değeri
mapping: gönderim
multiplicity: çokkatlılık
piecewise continuous: parçalı sürekli
real change: hakiki değişim
regular function: düzenli fonksiyon
scalar product: iç çarpım, skaler çarpım
subspace: alt uzay
successive approximation: ardışık yaklaştırma
unitary operator: üniter işlemci
virtual change: zahiri değişim

Üçüncü dereceden bir analog gürültü filtresi tasarımı

Arka plan ve motivasyon

Hepimiz spektroskopi öğrendik ama ne dört başı mamur bir gürültü devresi tasarımı yaptık ne de paraboloid aynaların mükemmel kolimasyon ve odaklama özelliklerini ispatladık. Daha önce yerölçüsünde paraboloid aynalarla ilgili çalışmalar yaptığımızdan bu postada gürültü devresi tasarımına bakacağız. Neden? Zira spektroskopik cihazlar, diğer tüm elektronik cihazlar gibi gürültü üretir. Gürültünün muhtelif fiziksel nedenleri var, ancak bu postada gürültünün muayenesinden ziyade bertarafına odaklanacağız. Kabaca söylemek gerekirse, bir elektrik devresindeki yinelenebilir çıktıya -ne kadar zayıf olursa olsun- sinyal ve yinelenemeyen kısma -ne kadar güçlü olursa olsun- gürültü denir. Daha teknik bir söylemle sinyal deterministik, gürültü stokastiktir. Bir çalışmanın odağı, gürültünün kendisinin istatistiksel bir analizi değilse, o zaman gürültünün varlığı genellikle istenmez. Gürültüyü temizlemenin bir yolu, onun tanımından faydalanır. Aynı deneyi defalarca yineler ve daha sonra da çıktılarını eklersiniz. Tesadüfi gürültü genlikleri genellikle toplamda çok küçük sayılara baliğ olurken, deterministik sinyal kesin bir şekilde bu süreçte güçlenir. Her ne kadar kelimenin gerçek anlamıyla mükemmel olsa da, bu yöntem çok pahalı ve zaman alabilecek bir deneyi defalarca yineleme imkanımızın olduğunu varsaymaktadır ki bu genellikle hiçbir zaman mümkün olmaz. Bu noktada elektronik alternatif bir çözüm sunar. Bu postada analog ve muhtemelen cihaza gömülü lineer devre unsurlarından oluşmuş bir gürültü devresi tasarımını, işin kararlılık boyutunu da ele alarak irdeleyeceğiz.

Gerek optik gerekse manyetik spektroskopide alışık olduğumuz laboratuvar tecrübesi, gürültü ve sinyalin hemen hemen her zaman, frekans uzayında ayrıştıklarını, gürültünün yüksek frekanslı sinyalin ise nisbeten daha düşük frekanslı olduğunu söylemektedir. Buna geçici varsayım (working hypothesis) diyeceğiz ve pek çok sisteme uygulaması olduğundan böylesi bir probleme maliyeti düşük bir çözüm önereceğiz. Geçici varsayım uyarınca, günlük konuşma dilindeki anlamıyla bir sinyalin Fourier analizini yapan ve onun düşük ve yüksek frekanslı bileşenlerini ayrıştırıp farklı bir biçimde muamele eden bir devre olsa, bu kuşkusuz spektroskopik cihazlarda çok büyük fayda temin edecektir. Okurun anaokulu düzeyinde RC devresinin analizine ve frekans davranışına aşina olduğunu varsayıyoruz. Bu postada inceleyeceğimiz üç ızgaralı analog devre aşağıdaki panoda gösteriliyor. Devrenin bir varyantını Omar Wing'in ders kitabında gördüm. Bu postada amacım söz konusu devreyi en genel haliyle inceleyip, devre parametrelerini düşük frekanslı çıktıyı en ideal bir şekilde iletirken, yüksek frekanslı olanları bastıracak şekilde optimize etmektir. Bu işi yaparken bir kararlılık analizini de sunmayı hedefliyorum.

Devrenin dinamiğine ilişkin cebirsel ve diferansiyel denklemlerin türetilmesi

Bu devrede değerleri üzerinde gösterilen iki direnç iki de sığaç mevcuttur. Söylemeye lüzum yok, $\alpha$ ve $\beta$ birimsiz ölçek çarpanları olarak bu devrede rol alıyorlar. Kirchhoff'un akım ve voltaj kanunlarını bu devreye uyguladığımızda aşağıdaki karışık cebirsel ve diferansiyel denklem sistemini elde ediyoruz. Direnç, sığaç, bobin gibi pasif elektronik devre unsurlarını bizim için özel kılan şey, bunlarla kurulan devrelerin dinamiğinin lineer cebirsel ve lineer adi diferansiyel denklemlere tabi olmasıdır. Lineer denklemlere ilişkin güçlü ve zengin bir yöntem mühimmatını bu problemlere uygulayabiliriz. Önce denklemleri yazalım. \begin{eqnarray} &{\rm A1:}&\ i(t) = i_{1}(t) + i_{2}(t) \nonumber \\ &{\rm A2:}&\ i_{1}(t) = i_{3}(t) + i_{4}(t) \nonumber \\ &{\rm V1:}&\ Ri(t) + \frac{1}{C}q_{2}(t) -V_{I}(t)=0 \nonumber \\ &{\rm V2:}&\ L\frac{{\rm d}i_{1}(t)}{{\rm d}t} + \frac{1}{\alpha C} q_{4}(t) - \frac{1}{C}q_{2}(t) =0 \nonumber \\ &{\rm V3:}&\ \beta R i_{3}(t) - \frac{1}{\alpha C} q_{4}(t) =0 \end{eqnarray} Burada voltaj denklemlerinde yer alan $q_{2}(t)$ ve $q_{4}(t)$, sırasıyla, $C$ ve $\alpha C$ sığaçlarında depolanan anlık yükleri temsil ediyorlar. Öte yandan elektronik laboratuvarlarında adet yük yerine akımları ölçmek ve bir durum değişkeni olarak yükleri topyekun elemektir. Buna göre, ihtiyaç halinde, $\dot{q}_{2}(t) = i_{2}(t)$ vb. eşitlikler sayesinde denklemlerimizden yükleri eleyebiliriz. Her zaman olduğu gibi bir değişkenin tepesine konulan nokta onun zamana göre türevini simgelemektedir. Burada göstermeyeceğiz ama voltaj denklemlerinde yer alan yükleri elemek amacıyla söz konusu denklemlerin her iki tarafının da zamana göre türevini almamız yeterli.

Temel devre teorisinden biliyoruz ki $RC$ çarpımının birimi zaman. Bu gözlem bize $t =: \tau RC$ kanalıyla yeni bir birimsiz zaman değişkeni tanımlama imkanı sunuyor. Değişkenin tepesine koyduğumuz bir üssü (prime) işareti ile $\tau$'ya göre türev almayı temsil edersek, o zaman adi türevlerdeki zincir kuralı uyarınca zamana bağlı herhangi bir fonksiyon için $\dot{f}(t) = (RC)^{-1} f^{\prime}(\tau)$ eşitliğini not edelim. Bundan böyle Kirchoff denklemlerini birimsiz zaman değişkenleriyle ifade edilmiş bir biçimde kullanacağız. Az sonra nedenleri daha belirgin bir halde tebarüz edeceği gibi, $i_{3}$ değişkenini problemin merkezi değişkeni addedip, geri kalan diğer durum değişkenlerini $i_{3}$ ve onun zamana göre türevleri cinsinden ifade edeceğiz. Şimdi (V3) denkleminin önce her iki tarafının zamana göre türevini alıp ($0=\beta R \dot{i}_{3} - i_{4}/\alpha C$) ardından birimsiz zaman niceliğine geçtiğimizde aşağıdaki sonucu elde ediyoruz. \begin{equation*} {\rm V3a}: \ i_{4}(\tau) = \alpha \beta i_{3}^{\prime}(\tau) \end{equation*} Ayrıca (V3) denklemini yeniden düzenlediğimizde basitçe aşağıdaki denklemi de elde ederiz. \begin{equation*} {\rm V3b}: \ q_{4}(\tau) = \alpha \beta RC i_{3}(\tau) \end{equation*} (V3a) denkleminden (A2) denkleminde faydalandığımızda ise $i_{1}$ merkezi değişken cinsinden yazılmış olur. \begin{equation*} {\rm A2a}: \ i_{1}(\tau) = i_{3}(\tau) + \alpha \beta i_{3}^{\prime}(\tau). \end{equation*} Şimdi (A2a) ve (V3b) denklemlerini (V2) denkleminde kullanırsak, o zaman \begin{equation*} {\rm V2a}: \ q_{2}(\tau) = \frac{L}{R} (i_{3}^{\prime}(\tau) + \alpha \beta i_{3}^{\prime \prime}(\tau)) + \beta RC i_{3}(\tau) \end{equation*} elde ediliyor. Denklemin her iki tarafının $t$'ye göre türevini aldığımızda ise, $i_{2}$ değişkenini de $i_{3}$ cinsinden ifade etmiş olacağız. \begin{equation*} {\rm V2b}: \ i_{2}(\tau) = \alpha \beta \kappa i_{3}^{\prime \prime \prime} (\tau) + \kappa i_{3}^{\prime \prime}(\tau) + \beta i_{3}^{\prime}(\tau) . \end{equation*} Burada $\kappa := L/R^{2}C$ problemi tanımlayan bütün parametrelerin öbeklendiği birimsiz bir parametredir ve devrenin hem nitel hem de nicel davranışı $\kappa$ vasıtasıyla belirlenebilir. (A2a) ve (V2b) denklemlerinden faydalanarak (C1) etiketli denkleme geri döndüğümüzde aşağıdaki sonucu elde ediyoruz. \begin{equation*} {\rm A1a}:\ i(\tau) = \alpha \beta \kappa i_{3}^{\prime \prime \prime}(\tau) + \kappa i_{3}^{\prime \prime}(\tau) + (1+\alpha)\beta i_{3}^{\prime}(\tau) + i_{3}(\tau) \end{equation*}

Bu manipulasyonlar neticesinde tüm durum değişkenlerini $i_{3}$ ve türevleri cinsinden ifade etmiş olduk. Dolayısıyla $i_{3}$ değişkenini çözmek aslında problemi çözmekle eş anlamlıdır. Eğer yalnızca $i_{3}$ değişkenini içeren bir denklem elde etmek istiyorsak, o zaman şimdiye kadar hiç kullanmadığımız bir Kirchhoff denklemi kullanmalıyız ki o denklem de (V1) etiketli denklemdir. (A1a) ve (V2a) söz konusu denklemde kullanıldığında aşağıdaki lineer, üçüncü dereceden, homojen olmayan, sabit katsayılı adi diferansiyel denklem elde edilir. \begin{equation*} \boxed{ \alpha \beta \kappa i_{3}^{\prime \prime \prime}(\tau) + \kappa (1+ \alpha \beta) i_{3}^{\prime \prime} (\tau) +(\alpha \beta + \beta + \kappa) i_{3}^{\prime}(\tau) + (1+\beta) i_{3}(\tau) = \frac{1}{R} V_{I}(\tau) } \end{equation*}

Ancak başlangıç şartlarını vermek suretiyle bu diferansiyel denklemin tam çözümü talep edebiliriz. $i_{3}(\tau)$ için verilen adi diferansiyel denklem üçüncü derece olduğundan, üç tane başlangıç şartına ihtiyacımız vardır. Bunlar $i_{3}(0)$, (V3a) denklemi kanalıyla $i_{3}^{\prime}(0) = i_{4}(0)/\alpha \beta$ ve (V2a) denklemiyle $i_{3}^{\prime \prime}(0) = \frac{1}{\alpha \beta} \left( \frac{R}{L}q_{2}(0)-\frac{1}{\alpha \beta}i_{4}(0)-\frac{\beta}{\kappa}i_{3}(0)\right)$ olarak temin edilebilirler. Başlangıçta boş sığaçlarla ve yavaşça sıfır değerinden artan ya da azalan girdi gerilimiyle başlamak her zaman için iyi bir uygulamadır. Dolayısıyla genelliği biraz kaybederek $i_{3}(0)=i_{3}^{\prime}(0) = i_{3}^{\prime \prime}(0)=0$ olduğunu kabul edebiliriz.

Homojen çözüm ve bu çözümün kararlılığı

Homojen olmayan bir adi diferansiyel denklemin çözüm sürecinin ilk basamağı sanki denklem homojenmiş gibi davranıp tekabül eden homojen denklemin çözülmesidir, diğer bir deyişle kutudaki denklemin sağ tarafını sıfıra eşitleyip çözümüne bakacağız. Tekabül eden homojen denklem sabit katsayılı ve lineer olduğundan, $\lambda$ problemin özdeğerlerini temsil etmek üzere, ilgili denklemin $i_{3}(\tau) = \exp(\lambda \tau)$ formunda çözümlerini arayacağız. Böylesi bir deneme çözümü denklemin sıfatını diferansiyelden cebirsele, yani $\tilde{p}(\lambda)=0$ denkleminin kök bulma problemine dönüştürür. Burada $\tilde{p}$ aşağıdaki gibi tanımlanan kübik bir polinomdur. \begin{equation*} \tilde{p}(x) := \alpha \beta \kappa x^{3} + \kappa (1+ \alpha \beta) x^{2} + (\alpha \beta + \beta + \kappa) x + 1 + \beta \end{equation*} $\lambda_{i}$, $\tilde{p}$ polinomunun köklerini temsil etmek üzere, tekabül eden homojen çözüm aşağıdaki gibi olur. \begin{equation*} {\rm H1}: \ i_{3}^{\rm h}(\tau) = C_{1} \exp(\lambda_{1}\tau) + C_{2} \exp(\lambda_{2}\tau) + C_{3} \exp(\lambda_{3}\tau) \end{equation*} Burada $C_{i}$ yukarıda bahsi geçen başlangıç şartlarından tayin edilmesi gereken katsayılardır. Şu an için yozlaşma (degeneracy) yani köklerin çokkatlılığı ihtimalini dikkate almayacağız. Bir polinomdaki bütün katsayıları baş katsayıya böldüğümüzde elde edilen (monik) polinomla asıl polinomun kökleri aynıdır. Bu yüzden bundan sonra $\tilde{p} =: \alpha \beta \kappa p$ denklemiyle verilen $p$ polinomunu inceleyeceğiz. \begin{equation*} p(x) := x^{3} + \left( 1+\frac{1}{\alpha \beta} \right) x^{2} + \left( \frac{1}{\kappa}+\frac{1}{\alpha \kappa}+\frac{1}{\alpha \beta}\right) x +\frac{1}{\alpha \beta \kappa} + \frac{1}{\alpha \kappa} \end{equation*}

$\lambda_{i}$ değerlerinden en az birisinin pozitif gerçel kısmı olması halinde, ilgili katsayı eğer sıfır değilse -ki bu aşırı derecede nadir bir durumdur-, o zaman homojen çözüm asimptotik olarak kararsız olur. Diğer bir deyişle $\lim_{\tau \to \infty} i_{3}^{\rm h}(\tau) \to \pm \infty$ olacaktır. Böylesi devrelerin çok yüksek akım sonucu eriyecekleri aşikardır. Öte yandan eğer tüm $\lambda_{i}$ değerlerinin gerçel kısımlar negatif ise, o zaman $\lim_{\tau \to \infty} i_{3}^{\rm h} \to 0$ olur. Başka bir deyişle devre asimptotik olarak kararlıdır ve homojen çözümün katkısı ancak geçici bir süreliğine varlığını hissettirir. Yani $\tau > |1/\min \Re[\lambda_{i}]|$ ise, o zaman $i^{\rm h}_{3}(\tau)$ ihmal edilebilir. (Burada $\Re[z]$ ile karmaşık bir sayının gerçel kısmını temsil ediyoruz.)

Bu noktaya değin sunduğumuz sezgisel argümanlar bizi Routh-Hurwitz kararlılık problemine getiriyor: Katsayıları gerçel bir polinomun bütün köklerinin gerçel kısımlarının negatif olup olmadığını kat'i olarak tayin etmek için sadece sonlu sayıda aritmetik işlemden faydalanan bir algoritma icat ediniz. 19. yy'da ifade edilen ve de çözümü verilen bu problemin muhtelif çözümleri mevcut. Daha önce yerölçüsünde de şerhli tercümesini verdiğimiz Strelitz algoritması ile bu problemi çözeceğiz. Teoremin burada yer vereceğimiz lafzı Prasolov'un kitabından alınmadır.

Teorem: (Sh. Strelitz) $p(z):=z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots+a_{n}$ katsayıları gerçel, monik bir polinom olsun. $q(z):=z^{m}+b_{m-1}z^{m-1}+\cdots+b_{m}$ ise $m:=\tfrac{1}{2}n(n-1)$ olmak üzere, kökleri $p$ polinomunun köklerinin farklı çiftlerinin toplamı olan polinom olsun. $p$ polinomunun Routh-Hurwitz kararlı olması için gerek ve yeter şart, hem $p$ hem de $q$ polinomlarının katsayılarının pozitif olmasıdır.

Bu teoremin ispatını yukarıda verdiğimiz linkten takip edebilirsiniz. Her ne kadar burada kullanmayacak olsak da, Strelitz'in makalesinde $q$ polinomunun katsayılarını Newton toplamlarından faydalanarak, $p$ polinomunun katsayıları cinsinden ifade eden bir algoritma da mevcut. Bizim problemimizde hem $p$ hem de $q$ polinomlarının derecesi 3 gibi küçük olduğundan genel bir algoritmaya girmeyeceğiz.

Strelitz algoritmasındaki kilit nokta $b_{i}$ katsayılarının kurulumudur. $p(z):=z^{3}+a_{1}z^{2}+a_{2}z+a_{3}$ olsun ve kökleri de $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ ve $\lambda_{3}$ ile temsil edilsin. O zaman tanım gereği $q$ polinomunun kökleri $\lambda_{1}+\lambda_{2}$, $\lambda_{1}+\lambda_{3}$ ve $\lambda_{2}+\lambda_{3}$ olmalıdır. Dolayısıyla \begin{equation*} b_{1}=-(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{1}+\lambda_{3}+\lambda_{2}+\lambda_{3})=-2(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3})=2a_{1} \end{equation*} sonucunu hemen elde ederiz. $b_{2}$ katsayısı için aşağıdaki küçük cebirsel manipulasyonlara başvuracağız. \begin{eqnarray} \nonumber b_{2} &=& (\lambda_{1}+\lambda_{2})(\lambda_{1}+\lambda_{3}) + (\lambda_{1}+\lambda_{2})(\lambda_{2}+\lambda_{3}) + (\lambda_{1}+\lambda_{3})(\lambda_{2}+\lambda_{3}) \\ \nonumber &=& \lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}+3(\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{2}\lambda_{3}) \\ \nonumber &=& (\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3})^{2} + \lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{2}\lambda_{3} \\ \nonumber &=& a_{1}^{2}+a_{2} \end{eqnarray} $a_{1}$ ve $a_{2}$ pozitif ise, o zaman $b_{1}$ ve $b_{2}$ değerlerinin de pozitif olacağı barizdir. Gerçekten de ele aldığımız problemde $a_{1} := 1+(\alpha\beta)^{-1}$, $a_{2}:=\kappa^{-1}+(\alpha\kappa)^{-1}+(\alpha\beta)^{-1}$ ve $a_{3}:=(\alpha\beta\kappa)^{-1}+(\alpha\kappa)^{-1}$ hep pozitif niceliklerdir. Stabilite analizini $b_{3}$ için bir ifade vererek tamamlayacağız. \begin{eqnarray}\nonumber b_{3} &=& - (\lambda_{1}+\lambda_{2})(\lambda_{1}+\lambda_{3})(\lambda_{2}+\lambda_{3}) \\ \nonumber &=&-(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}-\lambda_{3})(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}-\lambda_{2})(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}-\lambda_{1}) \\ \nonumber &=&-(-a_{1}-\lambda_{3})(-a_{1}-\lambda_{2})(-a_{1}-\lambda_{1}) \\ \nonumber &=&a_{1}^{3}+a_{1}^{2}(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}) + a_{1}(\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{2}\lambda_{3}) + \lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3} \\ \nonumber &=&a_{1}a_{2}-a_{3} \end{eqnarray} Problemimizdeki yegane aşikar olmayan işaret sorgusu da budur. Değerleri yerine koyduğumuzda \begin{equation*} b_{3} = \kappa^{-1} + (\alpha \beta)^{-1} + (\alpha^{2}\beta\kappa)^{-1} + (\alpha^{2}\beta^{2})^{-1} > 0 \end{equation*} olduğunu da gösterebiliriz. Dolayısıyla Strelitz teoremi uyarınca devremizin kayıtsız şartsız Routh-Hurwitz kararlı olduğunu ve homojen çözümün varlığını ancak geçici bir süreliğine gösterdiğini ispatlamış olduk.

Kısmi ve toplam çözümler

Homojen olmayan adi diferansiyel denklemlerin çözümlerinde, homojen çözüm başlangıç şartlarını çözüme yansıtırken, kısmi çözüm ise tahrik gücünden gelen katkıyı gösterir. Girdi voltajının alternatif/sinusoidal olduğunu kabul edeceğiz. Söz konusu voltaj birimsiz zaman ve frekans değişkenlerinde aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} V_{I}(\tau) = V_{\circ} \sin (\Omega \tau) \end{equation*} $V_{I}$ fonksiyonunun trigonometrik formundan ötürü, aşağıdaki şablona uyan kısmi çözümler arayacağız. \begin{equation*} {\rm P1}: \ i_{3}^{\rm p}(\tau) := A\sin(\Omega \tau) + B\cos(\Omega \tau) \end{equation*} Buradaki $A$ ve $B$ katsayıları $i_{3}^{\rm p}(\tau)$ fonksiyonunun kutu içindeki diferansiyel denklemi sağlaması gerektiği şartından temin edilecektir. (Dikkat: başlangıç şartlarından değil!) Müteakip işlemler usandırıcı olsa da, işlem hatası yapmamak kaydıyla, kolaydır. (P1) etiketli deneme çözümünü kutudaki denkleme koyup türevleri aldıktan sonra cosinus ve sinus terimlerini aşağıdaki gibi ayrıştırıyoruz. \begin{eqnarray}\nonumber &&\left\{-\alpha\beta\kappa \Omega^{3}A-\kappa(1+\alpha\beta)\Omega^{2}B+(\alpha\beta+\beta+\kappa)\Omega A+(1+\beta)B \right\} \cos(\Omega \tau) \\ \nonumber &+& \left\{\alpha\beta\kappa \Omega^{3}B-\kappa(1+\alpha\beta)\Omega^{2}A-(\alpha\beta+\beta+\kappa)\Omega B+(1+\beta)A - \frac{V_{\circ}}{R} \right\} \sin(\Omega \tau)= 0 \end{eqnarray} Bu aşamada yapılması gereken kilit gözlem şudur: sinus ve cosinus birbirlerinden lineer olarak bağımsız iki fonksiyon olduklarından, bu denklemdeki katsayıları -her ikisi de- sıfır olmak zorundadır. Böylece iki adet lineer denklem elde ediyoruz. \begin{eqnarray} \nonumber && (\alpha \beta \kappa \Omega^{3} - (\alpha \beta + \beta + \kappa) \Omega)A + (\kappa (1 + \alpha \beta)\Omega^{2} - (1+\beta))B = 0 \\ \nonumber &&-(\kappa (1 + \alpha \beta)\Omega^{2} - (1+\beta))A +(\alpha \beta \kappa \Omega^{3} - (\alpha \beta + \beta + \kappa) \Omega)B = \frac{V_{\rm o}}{R} \end{eqnarray} Bu denklemlerde cebirsel bataklığa dalıp boğulmak çok kolay. Bu yüzden önce aşağıdaki parametreleri tanımlayarak \begin{equation*} x := \alpha \beta \kappa \Omega^{3} - (\alpha \beta + \beta + \kappa) \Omega \ \ \ {\rm ve} \ \ \ y := \kappa (1 + \alpha \beta)\Omega^{2} - (1+\beta) \end{equation*} lineer denklem sistemini daha sade bir hale getiriyor \begin{equation*} xA+yB = 0 \ \ \ {\rm ve} \ \ \ -yA+xB = \frac{V_{\circ}}{R} \end{equation*} ardından da çözümünü veriyoruz. \begin{equation*} A = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}} \frac{V_{\circ}}{R} \ \ \ {\rm ve} \ \ \ B = \frac{x}{x^{2}+y^{2}} \frac{V_{\circ}}{R} \end{equation*} $\varphi \in [0,2\pi)$ aralığında yer alan faz açısını $\cos \varphi := -y/\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ve $\sin \varphi = x/\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ile tanımlarsak, o zaman kısmi çözüm şöyle olacaktır: \begin{equation*} i^{\rm p}_{3}(\tau) = \frac{V_{\circ}/R}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \sin(\Omega \tau + \varphi). \end{equation*} Bu denklemi yazarken $\sin(a+b)=\sin a \cos b + \cos a \sin b$ trigonometrik özdeşlikten faydalandık.

Hem kısmi hem de homojen çözümleri elde ettiğimize göre başlangıç değer probleminin toplam çözümünü verebiliriz. \begin{equation*} {\rm HP}: \ i_{3}(\tau) = i_{3}^{\rm h}(\tau) + i^{\rm p}_{3}(\tau) = C_{1} \exp(\lambda_{1}\tau) + C_{2} \exp(\lambda_{2}\tau) + C_{3} \exp(\lambda_{3}\tau) + \frac{V_{\circ}/R}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \sin(\Omega \tau + \varphi) \end{equation*} Burada göstermeyeceğiz ama $C_{i}$ katsayılarını elde etmek için daha önce $i_{3}(0)$, $i^{\prime}_{3}(0)$ ve $i^{\prime \prime}_{3}(0)$ için verdiğimiz başlangıç şartlarından faydalanabiliriz. (Kuşkusuz tam çözümün bulunması kübik polinomun köklerinin hesaplanmasını da gerektirecektir.) Devremiz Routh-Hurwitz kararlı olduğundan, belli bir zaman sonra geçici (homojen) terimler etkisini yitirecek ve toplam çözüm asimptotik/pratik olarak $i^{\rm p}_{3}(\tau)$ ile aynileşecektir.

Geçirme bandı düz, düşük frekans bileşenlerini geçiren filtre

Her ölçüm cihazında olduğu gibi, spektroskopik ekipmanda da ya bir devre unsurundaki voltaj düşmesi ya da oradan geçen akım günlük dildeki kullanımıyla sinyal olarak addedilir ve bu sinyalin tefsiriyle incelenen malzemenin fizikokimyasal boyutundaki bir özelliğe ulaşılır. Diyelim ki spektrometre tasarımcımız $\beta R$ direncinden geçen akımı okumak istiyor. Bu akımın genliği devre parametrelerine ve girdi voltajının frekansına güçlü bir biçimde bağlılık gösterecektir. \begin{equation*} \max i_{3}(\tau) \sim \frac{V_{\circ}/R}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \end{equation*} Daha açık yazıldığında $x^{2}+y^{2}$ ifadesi aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} (\alpha \beta \kappa)^{2} \Omega^{6} + (\kappa^{2}(1+\alpha\beta)^{2}-2\alpha\beta\kappa(\alpha\beta+\beta+\kappa))\Omega^{4} + ((\alpha\beta+\beta+\kappa)^{2}-2\kappa(1+\alpha\beta)(1+\beta))\Omega^{2} + (1+\beta)^{2} \end{equation*} Geçici davranışın katkıları sönümlendikten sonra $i_{3}$ aşağıdaki gibi olur. \begin{eqnarray} \nonumber \max i_{3}(\tau) &\sim& \frac{V_{\circ}/R}{\alpha\beta\kappa \Omega^{3}}, \ \ \ \ \ \Omega \to \infty. \\ \nonumber \max i_{3}(\tau) &\sim& \frac{V_{\circ}/R}{1+\beta}, \ \ \ \ \ \ \Omega \to 0. \end{eqnarray} Açıkça görülüyor ki girdi voltajının frekansı eğer yüksek ise, o zaman tekabül eden sinyal $\beta R$ etrafında bastırılacağı gibi, frekansın düşük olması halinde akım genliği $V_{\circ}/(1+\beta)R$ olacak şekilde okunacaktır. İşte spektroskopide istediğimiz filtre türü tam da böylesi bir filtredir. Bu tip filtrelere literatürde düşük geçiren (lowpass) filtre denir ve $\Omega \ll 1$ şartını sağlayan frekansların bulunduğu bölge geçirme bandı (passband) olarak adlandırılır.

Devre parametrelerinin özensiz bir biçimde seçilmesi halinde, filtreden geçen akım genliği (passband bölgesinde) frekansa güçlü bir bağımlılık sergiler. Spektroskopicilerin deyişiyle okunan spektrumda yapay parlaklık/yoğunluk/şiddet (intensity) gözlenir. Akım genliğini tayin eden $(x^{2}+y^{2})^{-1/2}$ niceliğine transfer diyeceğiz. Yanda yer alan panoda iki ayrı parametre kümesi için transfer fonksiyonunun frekans davranışı sergilenmektedir. Bir parametre kümesi kullanıldığında arzulanan düz passband elde edilirken, ötekinde ise genlikte yapay dalgalanmalar bulunmaktadır. $x^{2}+y^{2}$ ifadesinin, $\Omega$ cinsinden yazıldığında 6. dereceden bir cebirsel fonksiyon olduğunu gözleyiniz. Passband bölgesini düzleştirmenin akıllı çözümlerinden birisi (ve naçizane kanaatime göre en güzeli) $x^{2}+y^{2}$ fonksiyonunun parametrelerinin, $n$ pozitif bir tam sayı ve $a$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, $a+\Omega^{2n}$ formunu tutturacak şekilde ayarlanmasıdır. Bu durum ancak $\Omega^{2}$ ve $\Omega^{4}$ terimlerinin katsayılarının sıfır olmasıyla yakalanabilir. Dolayısıyla devre parametreleri olan $\alpha,\beta$ ve $\kappa$ aşağıdaki denklemleri sağlar ise \begin{eqnarray}\nonumber &&\kappa^{2}(1+\alpha\beta)^{2}-2\alpha\beta\kappa(\alpha\beta+\beta+\kappa)=0 \ \ \ {\rm ve} \\ \nonumber &&(\alpha\beta+\beta+\kappa)^{2}-2\kappa(1+\alpha\beta)(1+\beta)=0, \end{eqnarray} o zaman düz bir passband bölgesi garanti edilmiş olur. $\alpha=1$, $\beta=1$ ve $\kappa=2$ seçilerek bu denklemlerin gerçekten de sağlandığını not ediniz.

Daha fazla bilgi için

1. Sh. Strelitz, On the Routh-Hurwitz Problem, Amer. Math. Monthly 84, 542-544 (1977).
2. V. V. Prasolov, Polynomials, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2004).
3. S. Butterworth, On the Theory of Filter Amplifiers, Experimental Wireless and the Wireless Engineer 7, 536-541 (1930). [Okur, bu postada yer alan filtrelemeyle ilgili fikirlerin genelleştirildiği Butterworth'un çığır açıcı makalesine bakabilir.]

Atomik spektroskopinin en meşhur problemi sayılar teorisi ile çözülür

(Bu postayı pdf formatında indirmek için tıkla.)

19. yy'da fen bilimlerinin en büyük keşiflerinden birisi de atomların yüksek sıcaklıklarda parmak izi gibi karakteristik bazı dalgaboylarında ışıma yaptığının deneysel olarak ispatlanmasıydı. Bu sayede güneşte hidrojen, helyum -ki helios Yunanca'da güneş demektir- sodyum vb elementler bulunduğunu öğrendik. Daha doğrusu helyumu ilk olarak güneşte keşfettik! (Dünyamızın çekim alanı atmosferimizin ortalama sıcaklığında helyumu tutmaya yetmediği için, atmosferde düşük miktarda helyum var ve giderek azalıyor. Paranız varsa altına değil helyuma yatırın. Daha çok kar edersiniz.) Sadece güneşin değil nebulaların, gezegenlerin ve diğer yıldızların elemental envanteri de bu sayede çıkarıldı. 20. yy'ın başlarında atomik spektroskopi ve Doppler etkisini birleştiren Edwin Hubble, bütün galaksilerin bizden uzaklaştığını keşfetmiş ve buradan yola çıkarak evrenin sürekli genişlediğini -daha doğrusu gerildiğini- söyleyen ve önceleri büyük gerilme (big stretch) daha sonra büyük patlama (big bang) olarak adlandırılan teorisini ortaya atmıştır. Kanaatimce Hubble'ın çalışması bilim tarihinin en büyük keşfidir. Bütün bunları atomik spektroskopinin evreni anlamamızda ne kadar güçlü ve vazgeçilmez bir teknik olduğunu izah etmek için yazıyorum.

Eğer fizikçi, kimyacı, astrofizikçi ya da spektroskopici iseniz, o zaman H atomunun emisyon spektrumundaki dalgaboylarının aşağıdaki formülle verildiğini mutlaka hatırlarsınız. \begin{equation} \frac{1}{\lambda} = {\rm Ry} \left( \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{m^{2}}\right) \ \ \ \ \ (1) \end{equation} Bu ifade H atomu için Schrödinger'in dalga mekaniğindeki enerji özdeğer denklemi çözülerek ve çıkan sonuç Planck-Einstein ($E=h\nu$) formülü ile birleştirilerek türetilebilir. (Bohr atom modeli de nisbeten ad hoc diyebileceğimiz bir ispat önerir.) (1) nolu denklemde ${\rm Ry}=10973731,56$ m^-1 spektroskopi literatüründe Rydberg sabiti diye anılan ve değeri evrensel fiziksel sabitlerden hesaplanabilecek sabit bir dalganumarası niceliği olup, $n$ ve $m$ ise baş kuantum sayıları diye bilinen sıfırdan büyük doğal sayılardır.

(1) nolu denklemi yeniden düzenlediğimizde \begin{equation} {\rm Ry} \lambda = \frac{n^{2}m^{2}}{m^{2}-n^{2}} \ \ \ \ \ (2) \end{equation} denklemi elde ediliyor. Şimdi H atomu hiç bir zaman bize Sen bana kuantum sayılarını ver, ben de ona göre ışıma yapayım. demez. Tam tersine o -genelde sıcaklığa göre- değişik dalgaboylarında ışımalar yapar ve bu ışımalarda rol alan kuantum sayılarını bulmak bize düşer. Yani, bilimde hemen hemen her zaman olduğu gibi, işimiz tersinden. (2) nolu denklemin sağ tarafı rasyonel. O zaman sol taraf da ${\rm Ry} \lambda = a/b$ şeklinde rasyonel olmalı. Burada $a>b>0$ doğal sayılar ve ${\rm obeb}(a,b)=1$. (Okur neden $a>b$ olduğunu izah etmelidir.) Nihayet çözmemiz gereken problemi kurduk. (Küçümsemeyin. Çözeceğimiz problemi doğru bir dille kurmak, çözümün yarısıdır.)

Problem: Aralarında asal $a>b>0$ doğal sayıları veriliyor. Aşağıdaki denklemi sağlayan $n$ ve $m$ pozitif tam sayılarını -var iseler- bulunuz. \begin{equation} \frac{a}{b} = \frac{n^{2}m^{2}}{m^{2}-n^{2}} \ \ \ \ \ (3) \end{equation}

Çözüme başlamadan önce \begin{equation} 4m^{2}n^{2} = (m^{2}+n^{2})^{2} - (m^{2}-n^{2})^{2} \end{equation} özdeşliğini hatırlıyor ve bunu (3) nolu denklemde kullanıyoruz. O zaman çözmemiz gereken Diophantos, ya da Latince'de Diophantus, denklemi yeniden düzenlemelerden sonra aşağıdaki gibi oluyor. \begin{equation} b(m^{2}-n^{2})^{2} + 4a(m^{2}-n^{2}) - b(m^{2}+n^{2})^{2} = 0 \ \ \ \ \ (4) \end{equation} Cebirsel manipulasyonları kolaylaştırmak için geçici bir süreliğine $M:=m^{2}+n^{2}$ ve $N:=m^{2}-n^{2}$ değişkenlerini tanımlıyoruz. O zaman (4) nolu denklem \begin{equation} bN^{2} + 4aN - bM^{2} = 0 \ \ \ \ \ (5) \end{equation} halini alıyor. Son olarak $N=: Y - \tfrac{2a}{b}$ ile von Tschirnhaus ya da Tschirnhausen dönüşümünü uygularsak, o zaman (5) nolu denklem aşağıdaki gibi olur. \begin{equation} b^{2}Y^{2}-b^{2}M^{2} = 4a^{2} \ \ \ \ \ (6) \end{equation} von Tschirnhaus dönüşümünün (5) nolu denklemin birinci dereceli terimini imha ettiğini gözleyiniz. Ama (6) nolu denklemin sol tarafı iki kare farkı ve çok kolay bir şekilde çarpanlarına ayrılır. Dahası $Y$ ve $M$ yerine $n$ ve $m$ cinsinden ifadelerini geri koyarsak, o zaman uğraşmamız gerekli denklem \begin{equation} a^{2} = (a-bn^{2})(a+bm^{2}) \ \ \ \ \ (7) \end{equation} formuna getirilir.

İyi ama (7) nolu denklemi nasıl çözeceğiz? Öncelikle $a - bn^{2} < a$ ve $a+bm^{2}>a$ olduğunu gözleyelim. O zaman $p < a$ ve $q>a$ ve $pq=a^{2}$ olacak şekilde $a^{2}$ sayısını iki tam sayının çarpımı şeklinde temsil edeceğiz. Bu temsiller $a^{2}$ niceliğinin çarpanlarının bir kombinasyonu olduğu için sonlu bir küme oluştururlar. Daha sonra $p=a-bn^{2}$ ve $q = a + bm^{2}$ denklemlerinin çözümünden \begin{equation} n = \sqrt{\frac{a-p}{b}} \ \ \ {\rm ve} \ \ \ m = \sqrt{\frac{q-a}{b}} \ \ \ \ \ (8) \end{equation} değerlerini buluyoruz. (8) nolu denklem eğer eşitliklerin sağ tarafları birer tam sayı ise geçerlidir!

$(p,q)$ sıralı çiftlerinden oluşan deneme yanılma kümesini küçültmek için herşeyden önce (8) nolu denklemde kök içindeki oranların tam sayı olma şartlarının $p \equiv a \mod b$ ve $q \equiv a \mod b$ olduğunu gözlüyoruz. Geçişme özelliğinden bu \begin{equation} p \equiv q \equiv a \mod b \ \ \ \ \ (9) \end{equation} denkliğiyle ifade edilebilir. (9) nolu denklemdeki kongruens (denklik, eşlik) şartını sağlamayan $(p,q)$ çiftlerini hemen eleyeceğiz.

Konuyu somutlaştırmak için bir örnek verelim. Çoğu bulutsuya, mesela Avcı (Orion) takım yıldızındaki Beygirbaşı Nebulası'nın (Horsehead Nebula) etrafına kırmızı rengini veren ${\rm H}_{\alpha}$ çizgisinin dalgaboyu $\lambda=656,28$ nm'dir. (Avcı takım yıldızı galaksimizde bize en yakın takım yıldızlardan birisidir ve özellikle sonbahar-kış aylarında Türkiye'den gece çıplak gözle çok net gözlenir.) Bu ışımada hangi kuantum sayılarının rol aldığını hesaplamak istersek öncelikle \begin{equation*} {\rm Ry} \lambda = 10973731,56 \times 656,28 \times 10^{-9}= 7,20 = \tfrac{36}{5} \end{equation*} olduğundan, $a=36$ ve $b=5$ olduğunu tespit ediyoruz. $36^{2}=1296=pq$ ve $1\leq p < 36 < q \leq 1296$ olacak şekilde $1296$ sayısını iki farklı sayının çarpımı şeklinde temsil eden sıralı çiftleri $A$ kümesinde toplayalım. $A = \{$(1,1296), (2,648), (3,432), (4,324), (6,216), (8,162), (9,144), (12,108), (16,81), (18,72), (24,54)$\}$. Bu bizim deneme yanılma kümemiz ve eleman sayısı 11. Şimdi bu kümeyi daraltmak için öncelikle $36 \equiv 1 \mod 5$ olduğunu gözleyelim. Ardından tanımı $B:=\{(p,q) \in A \ | \ p\equiv q \equiv 1 \mod 5\} \subset A$ ile verilen kümeyi kuralım. Basitçe $B=\{$(1,1296), (6,216), (16,81)$\}$. Görüldüğü gibi deneme yanılma kümesinin eleman sayısı 11'den 3'e düştü. Artık $B$ kümesinin elemanlarına tek tek (8) nolu denklemle verilen formülü uygulayacağız.

$(p,q)$	$n=\sqrt{\tfrac{a-p}{b}}$	$m=\sqrt{\tfrac{q-a}{b}}$
(1,1296)	√7	6√7
(6,216)	√6	6
(16,81)	2	3

Tablodan da çok net bir biçimde görüleceği üzere sadece $n=2$ ve $m=3$ için tam sayı çözümü mümkündür.

Postayı bitirirken bazı yorumlarda bulunacağız.

1. Yukarıda uyguladığımız algoritmayla verilen bir $\lambda$ değeri için tam sayılarda çözüm bulamazsak, o zaman söz konusu ışımanın kaynağı H değildir.
2. Hilbert'in meşhur 10. problemi genel bir Diophantos denkleminin çözülebilir olup olmadığını tayin etmek için bir algoritma kurulmasını talep eder. (Dikkat edin çözümünü değil, çözülebilir olup olmadığına karar vermek için bir algoritma istiyor.) 20. yy'da bu soruya cevap verildi ve böyle bir algoritmanın olmadığı ispatlandı. (3) nolu denklemin dördüncü dereceden olduğunu gözlediğimizde, atomik spektroskopide şansımızın çok ama çok yaver gittiğini söyleyebiliriz.
3. Burada kullandığımız sistematik yöntem temel seviyede lise matematik eğitimini aşan hiç bir şey içermiyor. Ne yazık ki H atomunun spektrasını anlatan kitaplarda ben bu yöntemle hiç karşılaşmadım! Çağımızın insanının ite kaka okutulduğunun en somut delillerinden birisidir bu...

---

Beygirbaşı Nebulası'nın fotoğrafı NASA'nın APOD arşivinden alındı.