Sunum
Güneş ile sistemimizdeki en büyük gezegen olan Jüpiter'in kütleleri arasındaki oran yaklaşık olarak 103. Aynı şekilde proton ile elektron arasındaki kütle oranı da yine 103 mertebesinde. Böyle olunca sistemi oluşturan ağır cisim (güneş ya da atom çekirdeği) ile hafif cismin (gezegen ya da elektron) hareketlerinin zaman skalası birbirlerinden ayrılır. Örneğin bir moleküldeki elektronların hareketi tipik olarak attosaniye (10-18 s) kadar sürerken, atom çekirdeklerinin hareketi femtosaniye (10-15 s) kadar sürer. Literatürde yaygın olarak bilinen adıyla Born-Oppenheimer kestirmesi (ya da adyabatik kestirme) işte zaman skalasındaki bu ayrışmayı kullanarak yavaş cisimleri sanki duruyorlarmış gibi ele alır ve onların konumlarının sabit tutulmasıyla oluşan alanda hızlı cisimlerin hareketini irdeler.
Benzer bir kestirme açık mekanik sistemler için de geçerlidir. Uzunluğu l olan tavana asılı bir sarkacın g çekim ivmesi altındaki periyotunun √l/g ile orantılı olduğunu hepimiz biliyoruz. Eğer, bir mekanizma ile bu sarkacın uzunluğu çok yavaş bir biçimde değiştirilseydi, o zaman sarkacın periyotunun yine √l(t)/g ile orantılı bir biçimde tezahür etmesini bekleriz. Bu yaklaşık olarak doğru beklentiye mekanikteki adyabatik teoremin bir örneğidir. Hem klasik hem de kuantum mekaniğinde varyantları olan bu teoremin, kuantum mekaniği çerçevesindeki ilk ispatını her ne kadar Born ve Fock vermiş olsa da, daha genel ve matematiksel olarak daha doyurucu ispatı, matematiksel fizik sahasındaki çalışmalarıyla tanınan Japon matematikçi Tosio Kato (25.08.1917-02.10.1999) yapmıştır.
Aşağıda Kato'nun adyabatik teoremi ispatladığı 1950 tarihli makalesinin Türkçe tercümesi yer alıyor. Okurdan bir derece kuantum mekaniği formalizmine aşinalık ve matematiksel (özellikle de gerçel analize ait) argümanları takip edebilecek bir olgunluk bekleyen bu önemli çalışmanın tercümesindeki tüm kusurlar bendenize aittir.
Yaşasaydı, bu sene 25 Ağustos'ta Kato'nun 100. doğum yıl dönümü kutlanacaktı. Ruhu şad olsun!
Mustafa Demirplak, 6 Temmuz 2017, Büyükçekmece
Kuantum Mekaniğinin Adyabatik Teoremi Üzerine
Tosio Kato
Tokyo Üniversitesi, Fizik Bölümü
(27 Nisan 1948'de postadan alınmış, 17 Mart 1950'de baskıya hazır hale gelmiştir.)
§1. Giriş.
Bir sistemin Hamilton işlemcisi H(t) zamana bağlı ise, o zaman ilgili Schrödinger'in hareket denkleminin genellikle durgun çözümü yoktur. Söz konusu denklem, Planck sabitinin h=2π olduğu birimlerde aşağıdaki gibidir. dψ(t)dt=−iH(t)ψ(t) (1)
Şimdiye kadar adyabatik teoremin dört başı mamur denilebilecek bir ispatı Born ve Fock [1] tarafından verilmiştir. (Bu çalışmaya bundan sonra BF harfleri ile atıfta bulunacağız.) Adı geçen yazarların ispatı özdeğerlerin kesiştiği durumu kapsayacak kadar genel olsa da, söz konusu ispat diğer yönlerden iki temel varsayımla kısıtlanmış durumdadır:
(i) H(t) işlemcisinin spektrumu tamamen kesikli özdeğerlerden oluşmaktadır ve
(ii) kesişmenin neden olduğu kazara yozlaşma durumları hariç bu özdeğerler yozlaşmamıştır.
Yazarların sunduğu argüman esaslı bir tadilattan geçmeden daha genel durumlara uygulanamaz, zira onlar en genel durumda kesikli özfonksiyonların tam sistemine tekabül eden (1) nolu denklemin sonsuz sayıdaki çözümünü ele almaktadırlar ki genel durumda böyle bir tam sistem matematiksel olarak mevcut değildir.
Fiziksel açıdan bakınca (i) ve (ii) nolu varsayımlar epeyce yapay gözükmektedir, zira H(t) işlemcisinin herhangi bir λ(t) özdeğerine tekabül eden (1) nolu denklemin çözümünün, spektrumun λ(t) özdeğerine uzak, kesikli veya sürekli kısımlarından etkileniyor olması kulağa makul gelmemektedir.
Mevcut çalışmada teoreme, söz konusu kısıtlayıcı varsayımlardan ari, yeni bir ispat getireceğiz. BF yönteminin aksine, H(0) işlemcisinin, yozlaşmış olabilecek, belirli bir özfonksiyonundan başlayan (1) nolu denklemin bir çözümünü [2] ele alacağız ve odaklandığımız özdeğerin yakın komşuluğu hariç olmak üzere, H(t) işlemcisinin spektrumuna ilişkin herhangi bir hipotez de ileri sürmeyeceğiz.
Bizim anlayışımıza göre adyabatik teoremin muhtevası iki kısma taksim edilebilir. Teorem ilkin adına adyabatik dönüşüm (kısaca AD) diyebileceğimiz, sistemin zahiri bir değişiminin matematiksel varlığını ifade etmektedir. İkinci olarak da, (1) nolu hareket denklemi tarafından tanımlanan dinamik dönüşümün (kısaca DD), H(t) işlemcisindeki değişimin sonsuz derecede yavaş gerçekleştirildiği limitte AD'ye gittiğini iddia eder. Bahsi geçen dönüşümler hakiki veya zahiri mekanik değişimler olmaları hasebiyle, üniter işlemciler tarafından temsil edilir.
Buna göre konumuz iki kısma ayrılıyor. İlk önce AD'ye tekabül eden üniter işlemciyi bulmamız ve daha sonra (1) nolu denklem tarafından tanımlanan DD'nin asimptotik davranışını çalışmamız ve AD'ye eşitliğini ispatlamamız gerekiyor. (i) ve (ii) nolu varsayımların yapıldığı BF makalesinde ilk durumun son derece aşikar olduğu not edilmelidir. Zira AD'nin yapması gereken şey H(0) işlemcisinin tüm özfonksiyonlarını H(t) işlemcisinin tekabül eden özfonksiyonlarına dönüştürmek olduğundan, AD her özfonksiyon için bir faz faktörüne kadar zaten tayin edilmiştir. Bu sebebe binaen BF problemin sadece bir yarısını çözmüştür. Bizim genel durumumuzda sorun o kadar da basit değildir ve AD'nin kurulumu mevcut çalışmanın ana kısmını oluşturur.
Aşağıda yaptığımız ispat nispeten usulüne uygun olmakla beraber matematiksel bir açıdan bakıldığında kusursuz değildir. Elbette açıkça tanımlanmış varsayımlara dayanan ayrıntılı argümanlarla matematiksel ciddiyeti korumak mümkündür, lakin böyle bir üslup bizi gereksiz yere karmaşık bölgede çok ileri götürerek problemin özünü perdeler.
§2. Dinamik Dönüşüm.
(1) nolu hareket denklemini 0≤t≤τ aralığında ele alıp H(t) işlemcisindeki toplam değişimin sonlu kaldığı durumlarda, çözümün τ→∞ asimptotiğindeki davranışını soruşturacağız. Bu maksatla, BF'yi takip ederek, hesaplamalarımızı kolaylaştırması için t=τs ile yeni bir birimsiz zaman değişkenini tanımlayalım. (1) nolu hareket denklemi bu değişken dönüşümüyle aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir. dψτ(s)ds=−iτH(s)ψτ(s) (2)
λ(s), H(s) işlemicisinin çokkatlılığı m≥1 olan kesikli bir özdeğeri ve E(s) de tekabül eden m−boyutlu özuzaya projeksiyon işlemcisi [3] olsun. λ(s) ve E(s) fonksiyonlarının s değişkenine göre sürekli, dE/ds ve d2E/ds2 türevlerinin ise parçalı sürekli olduklarını varsayacağız.
Burada E(s) projeksiyonunu biricik olması hasebiyle benimsedik, zira tekabül eden özfonksiyonlar özellikle m>1 için biricik bir biçimde tayin edilemezler. Söz konusu özfonksiyonların verilmeleri halinde E(s) projeksiyonunun kolayca hesaplanacağını not ediniz. Ayrıca, λ(s) ve E(s) değerleri H(s) işlemcisinden artık kanıksanmış perturbasyon yöntemiyle elde edilebilir ve onların sürekliliği H(s) işlemcisinin sürekliliğinin bir sonucudur.
Şimdi, tanım gereği (H(s)−λ(s)I)E(s)=0 (3)
(2) nolu denklemin çözümü aşağıdaki gibidir. ψτ(s)=Vτ(s)ψτ(0) (7)
§3. Adyabatik Dönüşüm.
Aşağıdaki diferansiyel denklemi ele alalım. X′(s)=iA(s)X(s) (12)iA(s)=[E′(s),E(s)]≡E′(s)E(s)−E(s)E′(s) (13)
E(s) bir projeksiyon işlemcisi olduğundan [5], E2(s)=E(s) eşitliği geçerlidir. Her iki tarafın da türevini aldığımızda, E′(s)E(s)+E(s)E′(s)=E′(s) olur. Soldan ve sağdan E(s) ile çarpıp E2(s)=E(s) olduğunu da hatırlayarak E(s)E′(s)E(s)=0 (17)
(22) nolu denklem U(s) üniter işlemcisinin, H(0) işlemcisine ait E(0) özuzayını izometrik olarak H(s) işlemcisinin E(s) özuzayına dönüştürdü anlamına gelmektedir. (21) ve (23) nolu denklemler uyarınca, W(s)E(0)=U(s)E(0) olduğundan, W(s) işlemcisi E(0) özuzayının fonksiyonlarına uygulandığında U(s) ile aynı gönderimi verir. U(s) veya W(s) işlemcisine λ(s) özdeğerine tekabül eden AD işlemcisi diyeceğiz. Müteakip bölümde, U(s) işlemcisinin gerçekten de başlangıçta E(0) özuzayında bulunan sistemin adyabatik değişimine tekabül ettiğini göstereceğiz ve (23) ve (26) nolu denklemlerin bu amaca erişmekte şart olduğu görülecektir.
İşaret. Eğer E(s), s değişkeninin düzenli (analitik) bir fonksiyonu ise, o zaman U(s) işlemcisinin de düzenli olduğu kolayca görülecektir. Yukarıda atıfta bulunulan makalede [4] tartışılan düzenli perturbasyonla ilgili geçerli olan durum budur.
§4. Adyabatik Teoremin İspatı.
(11) nolu denklem uyarınca (¯V†τ(s)W(s))′=iτ¯V†τ(s)(H(s)−λ(s)I)W(s)+¯V†τ(s)W′(s)
Öncelikle λ(s) özdeğerinin diğer özdeğerleri veya sürekli spektrumu 0≤s≤1 için kesmediğini varsayalım. O zaman (6) nolu denklemden de görüleceği üzere S(s) sonludur ve ¯V†τ(s) üniter ve dolayısıyla 1 mertebesinde olduğundan, (28) nolu denklemin sağ tarafı τ−1 mertebesindedir. Sol taraftan −¯Vτ(s) üniter işlemcisi ile çarpıp ¯Vτ(s)¯V†τ(s)=I eşitliğini not ettiğimizde ¯Vτ(s)E(0)−W(s)=O(τ−1)
Bir örnek teşkil etmesi amacıyla, H(0) işlemcisinin λ(0) özdeğerine tekabül eden özfonksiyonlarından oluşan ortonormal sistemi, φ1(0),…,φm(0) fonksiyonlarını ele alalım. O zaman E(0)φj(0)=φj(0) olur ve (23) nolu denklem uyarınca E(s)φj(s)=φj(s) olduğundan, φj(s)≡U(s)ϕj(0)=W(s)ϕj(0) özfonksiyonları H(s) işlemcisinin λj(s) özdeğerine tekabül etmektedir. Ayrıca, U(s) üniter bir işlemci olduğundan ϕj(s) fonksiyonları da bir ortonormal sistem oluşturur. Eğer (29) nolu denklemin her iki tarafını da sağdan φj(0) ile çarparsak, o zaman aşağıdaki sonuç elde edilir. Vτ(s)φj(0)−exp{−iτ∫s0λ(y)dy}φj(s)=O(τ−1) (30)
Şimdi de ψ(0) ile herhangi bir dalga fonksiyonunu ele alalım. (30) nolu denklemin Vτ(s)ψ(0) ile iç çarpımını aldığımızda ve Vτ(s) işlemcisinin üniter olduğunu gözettiğimizde aşağıdaki sonucu elde ediyoruz. ⟨φj(0)|ψ(0)⟩−exp{−iτ∫s0λ(y)dy}⟨φj(s)|Vτ(s)ψ(0)⟩=O(τ−1) (31)
Böylece (29) nolu denklemin adyabatik teoremin tüm iddialarını havi olduğu görülür.
Son olarak λ(s) ile diğer özdeğerler arasında sonlu sayıda kesişim olduğu durumu ele alacağız. s1,…,sN−1 bahsi geçen kesişimlerin gerçekleştiği zamanlar olsun. O zaman S(s) işlemcisi genellikle bu noktalarda sonsuz olur (bak. (6) nolu denklem) ve (28) nolu denklem geçerliliğini yitirir. Ancak δ>0 olacak şekilde küçük bir sayı alırsak, (28) nolu denklemi (0,s) aralığı yerine her bir sk−1+δ≤s≤sk−δ aralığına uyguladığımızda, sabit bir δ değeri için limτ→∞[¯V†τ(s)W(s)]sk−δsk−1+δ=0
Elbette (32) nolu denklem, ilgili özdeğerin ve tekabül eden özuzaya projeksiyonun daha önce belirttiğimiz s değişkenine göre uygun süreklilik şartını sağlamaları koşuluyla, H(s) işlemcisinin her özdeğeri için geçerlidir. Öte yandan bu süreklilik şartı ihlal edildiğinde adyabatik teorem de genellikle geçerliliğini yitirir [6].
§5. Adyabatik Dönüşümün Uzantısı.
Bu noktaya kadar H(s) işlemcisinin sadece bir tane λ(s) özdeğerini ele aldık ve tekabül eden AD yani U(s) işlemcisini kurduk. Buna göre U(s), E(0) özuzayı dışında kalan fonksiyonlara etki ettiğinde AD'yi temsil etmeyecektir ve H(s) işlemcisinin farklı özdeğerleri için farklı U(s) işlemcileri kurmamız gerekir.
Bu kusuru düzeltmek maksadıyla, bu bölümde H(s) işlemcisinin tüm kesikli λn, (n=1,2,…), özdeğerlerinin AD'sini aynı anda tarif etme kapasitesine sahip, üniter bir U(s) işlemcisinin kurulabileceğini göstereceğiz.
λn(s) özdeğerine tekabül eden özuzay En(s) olsun. Çok iyi bilindiği üzere, söz konusu projeksiyonlar birbirlerine diktir: En(s)Em(s)=δn,mEn(s), (n,m=1,2,…).
Bu En(s) projeksiyonları uygun bir biçimde sürekli ise, o zaman 3. bölümde tanımlanan (bak. (21) nolu denklem) ilgili Wn(s) AD işlemcisini kurabiliriz ve (23) ve (24) nolu denklemler uyarınca aşağıdaki eşitlikler geçerli olur. Wn(s)=En(s)Wn(s)=Wn(s)En(0) (34)W†n(s)Wn(s)=En(0), Wn(s)W†n(s)=En(s) (35)
Bitirirken U(s) işlemcisinin aşağıdaki diferansiyel denklemi sağladığını not ediyoruz. U′(s)=iB(s)U(s),iB(s)=12∞∑n=0[E′n(s),En(s)].
Bibliyografya.
[2] Bu hususta kullandığımız yöntem Güttinger'in yöntemiyle paralellik arz etmektedir. Güttinger, Zs. f. Phys. 73 (1931), 169.
[3] J. von Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin, 1932, sayfa 40.
[4] Kıyaslayın: T. Kato, Prog. Theor. Phys. 4 (1949), 514.
[5] Bak. [3], sayfa 60.
[6] Kıyaslayın: M. Born, Vorlesungen über Atommechanik, Berlin, 1925, sayfa 112'de yer alan klasik örnek.
Kilit terimlerin tercümede kullanılan Türkçe karşılıkları
adiabatic transformation: adyabatik dönüşümadjoint operator: eşlenik işlemci (Hermitik eşlenik)
complete: tam
continuous: sürekli
degeneracy: yozlaşma
discrete: kesikli
dynamical transformation: dinamik dönüşüm
eigenfunction: özfonksiyon
eigenspace: özuzay
eigenvalue: özdeğer
immediate neighborhood: yakın komşuluk
initial value: başlangıç değeri
mapping: gönderim
multiplicity: çokkatlılık
piecewise continuous: parçalı sürekli
real change: hakiki değişim
regular function: düzenli fonksiyon
scalar product: iç çarpım, skaler çarpım
subspace: alt uzay
successive approximation: ardışık yaklaştırma
unitary operator: üniter işlemci
virtual change: zahiri değişim
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder