Sunum
Güneş ile sistemimizdeki en büyük gezegen olan Jüpiter'in kütleleri arasındaki oran yaklaşık olarak 103. Aynı şekilde proton ile elektron arasındaki kütle oranı da yine 103 mertebesinde. Böyle olunca sistemi oluşturan ağır cisim (güneş ya da atom çekirdeği) ile hafif cismin (gezegen ya da elektron) hareketlerinin zaman skalası birbirlerinden ayrılır. Örneğin bir moleküldeki elektronların hareketi tipik olarak attosaniye (10-18 s) kadar sürerken, atom çekirdeklerinin hareketi femtosaniye (10-15 s) kadar sürer. Literatürde yaygın olarak bilinen adıyla Born-Oppenheimer kestirmesi (ya da adyabatik kestirme) işte zaman skalasındaki bu ayrışmayı kullanarak yavaş cisimleri sanki duruyorlarmış gibi ele alır ve onların konumlarının sabit tutulmasıyla oluşan alanda hızlı cisimlerin hareketini irdeler.
Benzer bir kestirme açık mekanik sistemler için de geçerlidir. Uzunluğu $l$ olan tavana asılı bir sarkacın $g$ çekim ivmesi altındaki periyotunun $\sqrt{l/g}$ ile orantılı olduğunu hepimiz biliyoruz. Eğer, bir mekanizma ile bu sarkacın uzunluğu çok yavaş bir biçimde değiştirilseydi, o zaman sarkacın periyotunun yine $\sqrt{l(t)/g}$ ile orantılı bir biçimde tezahür etmesini bekleriz. Bu yaklaşık olarak doğru beklentiye mekanikteki adyabatik teoremin bir örneğidir. Hem klasik hem de kuantum mekaniğinde varyantları olan bu teoremin, kuantum mekaniği çerçevesindeki ilk ispatını her ne kadar Born ve Fock vermiş olsa da, daha genel ve matematiksel olarak daha doyurucu ispatı, matematiksel fizik sahasındaki çalışmalarıyla tanınan Japon matematikçi Tosio Kato (25.08.1917-02.10.1999) yapmıştır.
Aşağıda Kato'nun adyabatik teoremi ispatladığı 1950 tarihli makalesinin Türkçe tercümesi yer alıyor. Okurdan bir derece kuantum mekaniği formalizmine aşinalık ve matematiksel (özellikle de gerçel analize ait) argümanları takip edebilecek bir olgunluk bekleyen bu önemli çalışmanın tercümesindeki tüm kusurlar bendenize aittir.
Yaşasaydı, bu sene 25 Ağustos'ta Kato'nun 100. doğum yıl dönümü kutlanacaktı. Ruhu şad olsun!
Mustafa Demirplak, 6 Temmuz 2017, Büyükçekmece
Kuantum Mekaniğinin Adyabatik Teoremi Üzerine
Tosio Kato
Tokyo Üniversitesi, Fizik Bölümü
(27 Nisan 1948'de postadan alınmış, 17 Mart 1950'de baskıya hazır hale gelmiştir.)
§1. Giriş.
Bir sistemin Hamilton işlemcisi $H(t)$ zamana bağlı ise, o zaman ilgili Schrödinger'in hareket denkleminin genellikle durgun çözümü yoktur. Söz konusu denklem, Planck sabitinin $h=2\pi$ olduğu birimlerde aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} \frac{d\psi (t)}{d t} = -i H(t) \psi (t) \ \ \ \ \ \ (1) \end{equation*} Ancak, $H(t)$ işlemcisindeki değişimin sonsuz derecede yavaş gerçekleştiği limitte, harekete $H(0)$ işlemcisinin durgun bir durumundan başlanması halinde, sistem, tüm $t$ değerleri için, $H(t)$ işlemcisinin tekabül eden durgun durumlarından geçerek hareketine devam eder. İşte kuantum mekaniğindeki adyabatik teoremin iddiası budur.
Şimdiye kadar adyabatik teoremin dört başı mamur denilebilecek bir ispatı Born ve Fock [1] tarafından verilmiştir. (Bu çalışmaya bundan sonra BF harfleri ile atıfta bulunacağız.) Adı geçen yazarların ispatı özdeğerlerin kesiştiği durumu kapsayacak kadar genel olsa da, söz konusu ispat diğer yönlerden iki temel varsayımla kısıtlanmış durumdadır:
(i) $H(t)$ işlemcisinin spektrumu tamamen kesikli özdeğerlerden oluşmaktadır ve
(ii) kesişmenin neden olduğu kazara yozlaşma durumları hariç bu özdeğerler yozlaşmamıştır.
Yazarların sunduğu argüman esaslı bir tadilattan geçmeden daha genel durumlara uygulanamaz, zira onlar en genel durumda kesikli özfonksiyonların tam sistemine tekabül eden (1) nolu denklemin sonsuz sayıdaki çözümünü ele almaktadırlar ki genel durumda böyle bir tam sistem matematiksel olarak mevcut değildir.
Fiziksel açıdan bakınca (i) ve (ii) nolu varsayımlar epeyce yapay gözükmektedir, zira $H(t)$ işlemcisinin herhangi bir $\lambda (t)$ özdeğerine tekabül eden (1) nolu denklemin çözümünün, spektrumun $\lambda(t)$ özdeğerine uzak, kesikli veya sürekli kısımlarından etkileniyor olması kulağa makul gelmemektedir.
Mevcut çalışmada teoreme, söz konusu kısıtlayıcı varsayımlardan ari, yeni bir ispat getireceğiz. BF yönteminin aksine, $H(0)$ işlemcisinin, yozlaşmış olabilecek, belirli bir özfonksiyonundan başlayan (1) nolu denklemin bir çözümünü [2] ele alacağız ve odaklandığımız özdeğerin yakın komşuluğu hariç olmak üzere, $H(t)$ işlemcisinin spektrumuna ilişkin herhangi bir hipotez de ileri sürmeyeceğiz.
Bizim anlayışımıza göre adyabatik teoremin muhtevası iki kısma taksim edilebilir. Teorem ilkin adına adyabatik dönüşüm (kısaca AD) diyebileceğimiz, sistemin zahiri bir değişiminin matematiksel varlığını ifade etmektedir. İkinci olarak da, (1) nolu hareket denklemi tarafından tanımlanan dinamik dönüşümün (kısaca DD), $H(t)$ işlemcisindeki değişimin sonsuz derecede yavaş gerçekleştirildiği limitte AD'ye gittiğini iddia eder. Bahsi geçen dönüşümler hakiki veya zahiri mekanik değişimler olmaları hasebiyle, üniter işlemciler tarafından temsil edilir.
Buna göre konumuz iki kısma ayrılıyor. İlk önce AD'ye tekabül eden üniter işlemciyi bulmamız ve daha sonra (1) nolu denklem tarafından tanımlanan DD'nin asimptotik davranışını çalışmamız ve AD'ye eşitliğini ispatlamamız gerekiyor. (i) ve (ii) nolu varsayımların yapıldığı BF makalesinde ilk durumun son derece aşikar olduğu not edilmelidir. Zira AD'nin yapması gereken şey $H(0)$ işlemcisinin tüm özfonksiyonlarını $H(t)$ işlemcisinin tekabül eden özfonksiyonlarına dönüştürmek olduğundan, AD her özfonksiyon için bir faz faktörüne kadar zaten tayin edilmiştir. Bu sebebe binaen BF problemin sadece bir yarısını çözmüştür. Bizim genel durumumuzda sorun o kadar da basit değildir ve AD'nin kurulumu mevcut çalışmanın ana kısmını oluşturur.
Aşağıda yaptığımız ispat nispeten usulüne uygun olmakla beraber matematiksel bir açıdan bakıldığında kusursuz değildir. Elbette açıkça tanımlanmış varsayımlara dayanan ayrıntılı argümanlarla matematiksel ciddiyeti korumak mümkündür, lakin böyle bir üslup bizi gereksiz yere karmaşık bölgede çok ileri götürerek problemin özünü perdeler.
§2. Dinamik Dönüşüm.
(1) nolu hareket denklemini $0 \leq t \leq \tau$ aralığında ele alıp $H(t)$ işlemcisindeki toplam değişimin sonlu kaldığı durumlarda, çözümün $\tau \to \infty$ asimptotiğindeki davranışını soruşturacağız. Bu maksatla, BF'yi takip ederek, hesaplamalarımızı kolaylaştırması için $t=\tau s$ ile yeni bir birimsiz zaman değişkenini tanımlayalım. (1) nolu hareket denklemi bu değişken dönüşümüyle aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir. \begin{equation*} \frac{d\psi_{\tau} (s)}{d s} = -i \tau H(s) \psi_{\tau} (s) \ \ \ \ \ \ (2) \end{equation*} Hipotez uyarınca, $\tau \to \infty$ durumunda $dH(s)/ds$ türevinin sonlu kalacağı $H(s)$ işlemcileriyle çalışacağız. Bundan sonra çalışmamızı kolaylaştırmak amacıyla $H(s)$ işlemcisinin $\tau$ değerinden bağımsız olduğunu varsayacağız ama sunacağımız argümanın hiçbir değişiklik olmadan $H(s)$ işlemcisinin $\tau$ değerine bağlı olduğu durumlarda da geçerli olduğunu not ediniz.
$\lambda (s)$, $H(s)$ işlemicisinin çokkatlılığı $m \geq 1$ olan kesikli bir özdeğeri ve $E(s)$ de tekabül eden $m-$boyutlu özuzaya projeksiyon işlemcisi [3] olsun. $\lambda (s)$ ve $E(s)$ fonksiyonlarının $s$ değişkenine göre sürekli, $dE/ds$ ve $d^{2}E/ds^{2}$ türevlerinin ise parçalı sürekli olduklarını varsayacağız.
Burada $E(s)$ projeksiyonunu biricik olması hasebiyle benimsedik, zira tekabül eden özfonksiyonlar özellikle $m>1$ için biricik bir biçimde tayin edilemezler. Söz konusu özfonksiyonların verilmeleri halinde $E(s)$ projeksiyonunun kolayca hesaplanacağını not ediniz. Ayrıca, $\lambda (s)$ ve $E(s)$ değerleri $H(s)$ işlemcisinden artık kanıksanmış perturbasyon yöntemiyle elde edilebilir ve onların sürekliliği $H(s)$ işlemcisinin sürekliliğinin bir sonucudur.
Şimdi, tanım gereği \begin{equation*} ( H(s) - \lambda (s) I ) E(s) = 0 \ \ \ \ \ \ (3) \end{equation*} denklemi geçerlidir ve aşağıdaki özellikleri sağlayan bir $S(s)$ işlemcisi [4] vardır. \begin{eqnarray}\nonumber && E(s)S(s)=S(s)E(s)=0 \ \ \ \ \ \ (4) \\ \nonumber && ( H(s) - \lambda(s) I ) S(s) = I - E(s) \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} Eğer $H(s)$ işlemcisinin spektral dekompozisyonu [5] $H(s) = \int \lambda dE_{s}(\lambda)$ denklemi ile veriliyorsa, o zaman $S(s)$ işlemcisi aşağıdaki gibi temsil edilebilir. \begin{equation*} S(s) = \int^{\prime} [\lambda - \lambda(s)]^{-1} dE_{s}(\lambda) \ \ \ \ \ \ (6) \end{equation*} Burada $\int^{\prime}$ sembolü $\lambda = \lambda(s)$ hariç diğer noktalar üzerinden integral almayı temsil etmektedir.
(2) nolu denklemin çözümü aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} \psi_{\tau}(s) = V_{\tau}(s) \psi_{\tau}(0) \ \ \ \ \ \ (7) \end{equation*} $V_{\tau}(s)$, DD'yi temsil eden üniter bir dönüşümdür [Dipnot: Üniterlik ispatı aşağıda (16) nolu denklemdeki ispatla aynıdır.] ve aşağıdaki denklemleri sağlar. ($^{\prime} = d/ds$) \begin{eqnarray}\nonumber && V_{\tau}^{\prime}(s) = -i \tau H(s) V_{\tau}(s), \ \ \ V_{\tau}(0) = I, \ \ \ \ \ \ (8) \\ \nonumber && V_{\tau}^{\dagger \ \prime}(s) = i \tau V_{\tau}^{\dagger}(s)H(s), \ \ \ V_{\tau}^{\dagger}(0) = I. \ \ \ \ \ \ (9) \end{eqnarray} Burada $\dagger$ eşlenik işlemciyi temsil etmektedir. Eğer \begin{equation*} \overline{V} _{\tau}(s) = \exp \left\{ i\tau \int_{0}^{s} \lambda (y) dy \right\} V_{\tau}(s) \ \ \ \ \ \ (10) \end{equation*} denklemiyle $\overline{V} _{\tau}(s)$ işlemcisini tanımlarsak, o zaman (9) nolu denklem uyarınca aşağıdaki sonuç geçerli olur. \begin{equation*} \overline{V} _{\tau}^{\dagger \ \prime}(s) = i \tau \overline{V} _{\tau}^{\dagger}(s) (H(s)-\lambda (s) I) \ \ \ \ \ \ (11) \end{equation*}
§3. Adyabatik Dönüşüm.
Aşağıdaki diferansiyel denklemi ele alalım. \begin{eqnarray} \nonumber &&X^{\prime}(s) = iA(s)X(s) \ \ \ \ \ \ (12) \\ \nonumber &&iA(s) = [E^{\prime}(s),E(s)] \equiv E^{\prime}(s) E(s) - E(s)E^{\prime}(s) \ \ \ \ \ \ (13) \end{eqnarray} (12) nolu denklem ardışık yaklaştırma yöntemi ile kolayca çözülebilir ve çözüm $X(0)$ başlangıç değeriyle biricik bir biçimde tayin edilir. (12) nolu denklemin $U(0)=I$ başlangıç değeriyle yapılan çözümünü $U(s)$ ile gösterirsek, (12) nolu denklemin genel çözümünün $X(s)=U(s)X(0)$ ile verileceği barizdir. Ayrıca (13) nolu denklem uyarınca $A(s)$ Hermitik olduğundan \begin{equation*} U^{\prime}(s) = i A(s) U(s), \ \ \ U^{\dagger\ \prime}(s) = -iU^{\dagger}(s) A(s) \ \ \ \ \ \ (14) \end{equation*} olur. $(U^{\dagger}(s)U(s))^{\prime} = (-iU^{\dagger}(s)A(s))U(s) + U^{\dagger}(s)(iA(s)U(s))=0$ olduğundan, $U^{\dagger}(s)U(s) = U^{\dagger}(0)U (0)=I$ sonucu elde edilir. Ayrıca \begin{equation*} (U(s)U^{\dagger}(s))^{\prime} = (i A(s) U(s))U^{\dagger}(s) + U(s)(-iU^{\dagger}(s)A(s)) = i[A(s),U(s)U^{\dagger}(s)] \ \ \ \ \ \ (15) \end{equation*} eşitliğini de gözleyiniz. Bu denklem $U(s)U^{\dagger}(s)$ için bir lineer diferansiyel denklemdir ve çözümü de $U(0)U^{\dagger}(0)=I$ başlangıç değeriyle biricik bir biçimde tayin edilir. $U(s)U^{\dagger}(s)=I$, (15) nolu denklemi bariz bir biçimde çözdüğünden, $U(s)U^{\dagger}(s)=I$ olmalıdır. Dolayısıyla $U(s)$ işlemcisinin üniter olduğunu \begin{equation*} U^{\dagger}(s)U(s) = U(s)U^{\dagger}(s) = I \ \ \ \ \ \ (16) \end{equation*} denklemini göstererek ispatlamış bulunuyoruz.
$E(s)$ bir projeksiyon işlemcisi olduğundan [5], $E^{2}(s) = E(s)$ eşitliği geçerlidir. Her iki tarafın da türevini aldığımızda, $E^{\prime}(s)E(s) + E(s)E^{\prime}(s) = E^{\prime}(s)$ olur. Soldan ve sağdan $E(s)$ ile çarpıp $E^{2}(s)=E(s)$ olduğunu da hatırlayarak \begin{equation*} E(s)E^{\prime}(s)E(s)=0 \ \ \ \ \ \ (17) \end{equation*} denklemini elde ediyoruz. (13) ve (17) nolu denklemler kullanılarak \begin{equation*} iE(s)A(s) = -E(s)E^{\prime}(s), \ \ \ iA(s)E(s) = E^{\prime}(s)E(s) \ \ \ \ \ \ (18) \end{equation*} denklemi de elde edilebilir. Dolayısıyla yukarıda da verdiğimiz $E^{\prime}(s)E(s) + E(s)E^{\prime}(s) = E^{\prime}(s)$ eşitliği kullanıldığında \begin{equation*} E^{\prime}(s) = i A(s) E(s) - i E(s) A(s) = i[A(s),E(s)] \ \ \ \ \ \ (19) \end{equation*} denklemini elde etmiş oluruz. Bir sonraki basamakta $E(s)U(s)$ çarpımını ele alacağız. (14) ve (19) nolu denklemler uyarınca \begin{equation*} (E(s)U(s))^{\prime} = (E^{\prime}(s)+iE(s)A(s))U(s) = iA(s)E(s)U(s) \ \ \ \ \ \ (20) \end{equation*} olduğunu gözleyelim. (20) nolu denklem $W(s) \equiv E(s)U(s)$ çarpımının (12) nolu denklemi çözdüğünü söylemektedir. Bu yüzden yukarıda belirtilenler uyarınca $W(s)=U(s)W(0)$ ya da \begin{equation*} W(s) \equiv E(s)U(s) = U(s)E(0) \ \ \ \ \ \ (21) \end{equation*} ve dolayısıyla \begin{equation*} E(s) = U(s)E(0)U^{-1}(s) \ \ \ \ \ \ (22) \end{equation*} olmalıdır. Ayrıca (21) nolu denklemin sonucu olarak aşağıdaki denklemleri de not edelim. \begin{eqnarray} \nonumber && W(s) = E(s)W(s) = W(s)E(0) \ \ \ \ \ \ (23) \\ \nonumber && W^{\dagger}(s)W(s) = E(0), \ \ \ W(s)W^{\dagger}(s) = E(s) \ \ \ \ \ \ (24) \end{eqnarray} $W(s)$ işlemcisinin $U(s)$ işlemcisine kıyasla nispeten daha sade bir diferansiyel denklemi sağladığını söyleyen aşağıdaki denklemi de \begin{equation*} W^{\prime}(s) i A(s) W(s) = i A(s) E(s) W(s) = E^{\prime}(s) E(s) W(s) = E^{\prime}(s) W(s) \ \ \ \ \ \ (25) \end{equation*} (21,20,23 ve 18) nolu denklemleri kullanarak türetebiliriz. Nihayet, (25) ve (17) nolu denklemleri kullanarak \begin{equation*} E(s) W^{\prime}(s) = E(s) E^{\prime}(s) E(s) W(s) = 0 \ \ \ \ \ \ (26) \end{equation*} eşitliğini de buraya kaydedelim.
(22) nolu denklem $U(s)$ üniter işlemcisinin, $H(0)$ işlemcisine ait $E(0)$ özuzayını izometrik olarak $H(s)$ işlemcisinin $E(s)$ özuzayına dönüştürdü anlamına gelmektedir. (21) ve (23) nolu denklemler uyarınca, $W(s)E(0)=U(s)E(0)$ olduğundan, $W(s)$ işlemcisi $E(0)$ özuzayının fonksiyonlarına uygulandığında $U(s)$ ile aynı gönderimi verir. $U(s)$ veya $W(s)$ işlemcisine $\lambda(s)$ özdeğerine tekabül eden AD işlemcisi diyeceğiz. Müteakip bölümde, $U(s)$ işlemcisinin gerçekten de başlangıçta $E(0)$ özuzayında bulunan sistemin adyabatik değişimine tekabül ettiğini göstereceğiz ve (23) ve (26) nolu denklemlerin bu amaca erişmekte şart olduğu görülecektir.
İşaret. Eğer $E(s)$, $s$ değişkeninin düzenli (analitik) bir fonksiyonu ise, o zaman $U(s)$ işlemcisinin de düzenli olduğu kolayca görülecektir. Yukarıda atıfta bulunulan makalede [4] tartışılan düzenli perturbasyonla ilgili geçerli olan durum budur.
§4. Adyabatik Teoremin İspatı.
(11) nolu denklem uyarınca \begin{equation*} (\overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s))^{\prime} = i\tau \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s) (H(s)-\lambda(s)I)W(s) + \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W^{\prime}(s) \end{equation*} olur. Sağ taraftaki ilk terim (23) ve (3) nolu denklemler uyarınca sıfır olur. $\overline{V}_{\tau}^{\dagger}(0)=I$ ve $W(0)=E(0)$ olduğunu not edip her iki tarafın $0$ ile $s$ arasında integralini aldığımızda \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) - E(0) = \int_{0}^{s} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(y) W^{\prime}(y) dy \ \ \ \ \ \ (27) \end{equation*} sonucunu elde ediyoruz. Ancak (26) ve (5) nolu denklemler uyarınca \begin{equation*} W^{\prime}(s) = (I - E(s)) W^{\prime}(s) = (H(s) - \lambda(s)I) S(s) W^{\prime}(s) \end{equation*} olduğundan, (11) nolu denklem uyarınca \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W^{\prime}(s) = \overline{V}_{\tau}^{\dagger} (H(s)-\lambda(s)I) S(s) W^{\prime}(s) = (i\tau)^{-1} \overline{V}_{\tau}^{\dagger \ \prime}(s)S(s)W^{\prime}(s) \end{equation*} ara sonucu elde edilir. Bunu (27) nolu denkleme koyup kısmi integrasyon tekniğini uyguladığımızda aşağıdaki denkleme ulaşıyoruz. \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) - E(0) = (i\tau)^{-1} \left[ \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(y)S(y)W^{\prime}(y)\right]_{0}^{s} - (i\tau)^{-1} \int_{0}^{s} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(y) ( S(y)W^{\prime}(y))^{\prime} dy \ \ \ \ \ \ (28) \end{equation*}
Öncelikle $\lambda(s)$ özdeğerinin diğer özdeğerleri veya sürekli spektrumu $0 \leq s \leq 1$ için kesmediğini varsayalım. O zaman (6) nolu denklemden de görüleceği üzere $S(s)$ sonludur ve $\overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)$ üniter ve dolayısıyla 1 mertebesinde olduğundan, (28) nolu denklemin sağ tarafı $\tau^{-1}$ mertebesindedir. Sol taraftan $-\overline{V}_{\tau}(s)$ üniter işlemcisi ile çarpıp $\overline{V}_{\tau}(s) \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)=I$ eşitliğini not ettiğimizde \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}(s)E(0) - W(s) = O(\tau^{-1}) \end{equation*} ya da (10) ve (23) nolu denklemler uyarınca \begin{equation*} \left[ V_{\tau}(s) - \exp\left\{ -i\tau \int_{0}^{s} \lambda(y) dy \right\} W(s) \right] E(0) = O(\tau^{-1}) \ \ \ \ \ \ (29) \end{equation*} olur. Bu, $\tau \to \infty$ asimptotiğinde, $E(0)$ özuzayında bulunan herhangi bir fonksiyona $V_{\tau}(s)$ DD işlemcisinin etki etmesiyle, bir faz faktörü haricinde, aynı fonksiyona $W(s)$ AD işlemcisinin etki etmesinin aynı olduğu anlamına gelir ve (29) nolu denklem adyabatik teoremin tüm iddialarını havidir.
Bir örnek teşkil etmesi amacıyla, $H(0)$ işlemcisinin $\lambda(0)$ özdeğerine tekabül eden özfonksiyonlarından oluşan ortonormal sistemi, $\varphi_{1}(0), \ldots , \varphi_{m}(0)$ fonksiyonlarını ele alalım. O zaman $E(0)\varphi_{j}(0)=\varphi_{j}(0)$ olur ve (23) nolu denklem uyarınca $E(s)\varphi_{j}(s)=\varphi_{j}(s)$ olduğundan, $\varphi_{j}(s) \equiv U(s)\phi_{j}(0) = W(s)\phi_{j}(0)$ özfonksiyonları $H(s)$ işlemcisinin $\lambda_{j}(s)$ özdeğerine tekabül etmektedir. Ayrıca, $U(s)$ üniter bir işlemci olduğundan $\phi_{j}(s)$ fonksiyonları da bir ortonormal sistem oluşturur. Eğer (29) nolu denklemin her iki tarafını da sağdan $\varphi_{j}(0)$ ile çarparsak, o zaman aşağıdaki sonuç elde edilir. \begin{equation*} V_{\tau}(s) \varphi_{j}(0) - \exp \left\{ -i\tau \int_{0}^{s}\lambda(y) dy \right\} \varphi_{j}(s) = O(\tau^{-1}) \ \ \ \ \ \ (30) \end{equation*} Ama $V_{\tau}(s) \varphi_{j}(0)$, hareket denkleminin $\varphi_{j}(0)$ başlangıç durumuna tekabül eden çözümüdür. Dolayısıyla (30) nolu denklem bu çözümün $H(s)$ işlemcisinin $\varphi_{j}(s)$ özfonksiyonuyla çarpım durumundaki bir faz faktörüne ve $O(\tau^{-1})$ kadar bir nicelik farkıyla örtüştüğü anlamına gelir.
Şimdi de $\psi (0)$ ile herhangi bir dalga fonksiyonunu ele alalım. (30) nolu denklemin $V_{\tau}(s)\psi(0)$ ile iç çarpımını aldığımızda ve $V_{\tau}(s)$ işlemcisinin üniter olduğunu gözettiğimizde aşağıdaki sonucu elde ediyoruz. \begin{equation*} \langle \varphi_{j}(0) | \psi (0) \rangle - \exp \left\{ -i\tau \int_{0}^{s} \lambda(y) dy \right\} \langle \varphi_{j}(s) | V_{\tau}(s)\psi(0) \rangle = O(\tau^{-1}) \ \ \ \ \ \ (31) \end{equation*} [Tercümanın notu: $f$ ve $g$ iki fonksiyon, $\alpha$ karmaşık bir sayı ve $\alpha^{*}$ onun karmaşık eşleniği olsun. Matematikçilerin iç çarpım konvansiyonu $\langle \alpha f | g \rangle = \alpha \langle f | g \rangle$ ve $\langle f | \alpha g \rangle = \alpha^{*} \langle f | g \rangle$ iken fizikçilerin iç çarpım konvansiyonu bunun tam tersi yani $\langle f | \alpha g \rangle = \alpha \langle f | g \rangle$ ve $\langle \alpha f | g \rangle = \alpha^{*} \langle f | g \rangle$ formundadır. Kato'nun makalede matematikçilerin iç çarpım konvansiyonunu takip ettiğini (31) nolu denklemden anlıyoruz.] Sistemin başlangıçta $\psi(0)$ dalga fonksiyonu ile temsil edilmesi halinde, sistemin $s=0$ anında $\varphi_{j}(0)$ durgun durumunda bulunma ihtimali $| \langle \varphi_{j}(0) | \psi(0) \rangle |^{2}$ ile verilir. Sistemin $s$ zaman sonra tekabül eden $\varphi_{j}(s)$ durumunda bulunma ihtimali ise $| \langle \varphi_{j}(s) | V_{\tau}(s) \psi(0) \rangle |^{2}$ ile verilmektedir. Dolayısıyla (31) nolu denklem bu ihtimallerin $O(\tau^{-1})$ kadar bir hata payına kadar eşit olduklarını gösterir. [Dipnot: Öte yandan $\langle \varphi_{j}(0) | \psi(0) \rangle = 0$ olması halinde, söz konusu hata payı $O(\tau^{-2})$ kadardır.]
Böylece (29) nolu denklemin adyabatik teoremin tüm iddialarını havi olduğu görülür.
Son olarak $\lambda(s)$ ile diğer özdeğerler arasında sonlu sayıda kesişim olduğu durumu ele alacağız. $s_{1}, \ldots , s_{N-1}$ bahsi geçen kesişimlerin gerçekleştiği zamanlar olsun. O zaman $S(s)$ işlemcisi genellikle bu noktalarda sonsuz olur (bak. (6) nolu denklem) ve (28) nolu denklem geçerliliğini yitirir. Ancak $\delta > 0$ olacak şekilde küçük bir sayı alırsak, (28) nolu denklemi $(0,s)$ aralığı yerine her bir $s_{k-1}+\delta \leq s \leq s_{k}-\delta$ aralığına uyguladığımızda, sabit bir $\delta$ değeri için \begin{equation*} \lim _{\tau \to \infty} \left[ \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) \right]_{s_{k-1}+\delta}^{s_{k}-\delta} = 0 \end{equation*} limitini elde ederiz. (Burada $k=1,\ldots , N$; $s_{0}=0$ ve $s_{N}=1$.) Öte yandan (27) nolu denklemi $s_{k}-\delta \leq s \leq s_{k}+\delta$ aralığına uyguladığımızda, $\overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)$ üniter olduğundan $\tau$ değişkenine göre üniform bir şekilde \begin{equation*} \lim _{\delta \to 0} \left[ \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) \right]_{s_{k}-\delta}^{s_{k}+\delta} = 0 \end{equation*} limitini elde ederiz. Netice itibariyle, önce $\delta$ değerini küçük ardından da $\tau$ değerini yeterince büyük alırsak, o zaman kolayca \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) - E(0) = o(1) \end{equation*} sonucuna varabiliriz. Burada $o(1)$, $\tau \to \infty$ asimptotiğinde sıfıra yakınsayan bir niceliği temsil etmektedir. Daha önce olduğu gibi genel durumda adyabatik teoremin ispatını veren \begin{equation*} \left[ V_{\tau}(s) - \exp\left\{ -i\tau \int_{0}^{s} \lambda(y) dy \right\} W(s) \right] E(0) = o(1) \ \ \ \ \ \ (32) \end{equation*} sonucuna varılır.
Elbette (32) nolu denklem, ilgili özdeğerin ve tekabül eden özuzaya projeksiyonun daha önce belirttiğimiz $s$ değişkenine göre uygun süreklilik şartını sağlamaları koşuluyla, $H(s)$ işlemcisinin her özdeğeri için geçerlidir. Öte yandan bu süreklilik şartı ihlal edildiğinde adyabatik teorem de genellikle geçerliliğini yitirir [6].
§5. Adyabatik Dönüşümün Uzantısı.
Bu noktaya kadar $H(s)$ işlemcisinin sadece bir tane $\lambda (s)$ özdeğerini ele aldık ve tekabül eden AD yani $U(s)$ işlemcisini kurduk. Buna göre $U(s)$, $E(0)$ özuzayı dışında kalan fonksiyonlara etki ettiğinde AD'yi temsil etmeyecektir ve $H(s)$ işlemcisinin farklı özdeğerleri için farklı $U(s)$ işlemcileri kurmamız gerekir.
Bu kusuru düzeltmek maksadıyla, bu bölümde $H(s)$ işlemcisinin tüm kesikli $\lambda_{n}$, ($n=1,2,\ldots$), özdeğerlerinin AD'sini aynı anda tarif etme kapasitesine sahip, üniter bir $U(s)$ işlemcisinin kurulabileceğini göstereceğiz.
$\lambda_{n}(s)$ özdeğerine tekabül eden özuzay $E_{n}(s)$ olsun. Çok iyi bilindiği üzere, söz konusu projeksiyonlar birbirlerine diktir: \begin{equation*} E_{n}(s)E_{m}(s) = \delta_{n,m}E_{n}(s), \ \ \ (n,m=1,2,\ldots). \end{equation*} Sürekli spektrumun varlığını dışlamadığımız için, bu projeksiyonlar tam değildir. \begin{equation*} I - \sum_{n=1}^{\infty} E_{n}(s) = E_{0}(s) \ \ \ \ \ \ (33) \end{equation*} ile genel olarak sıfırdan farklı $E_{0}(s)$ işlemcisini tanımlarsak, bu işlemcinin diğer tüm $E_{n}(s)$ ($n \geq 1$) projeksiyonlarına dik olduğu görülür.
Bu $E_{n}(s)$ projeksiyonları uygun bir biçimde sürekli ise, o zaman 3. bölümde tanımlanan (bak. (21) nolu denklem) ilgili $W_{n}(s)$ AD işlemcisini kurabiliriz ve (23) ve (24) nolu denklemler uyarınca aşağıdaki eşitlikler geçerli olur. \begin{eqnarray} \nonumber && W_{n}(s) = E_{n}(s)W_{n}(s) = W_{n}(s)E_{n}(0) \ \ \ \ \ \ (34) \\ \nonumber && W^{\dagger}_{n}(s)W_{n}(s) = E_{n}(0), \ \ \ W_{n}(s)W^{\dagger}_{n}(s) = E_{n}(s) \ \ \ \ \ \ (35) \end{eqnarray} $m \ne n$ için (34) nolu denklem uyarınca \begin{equation*} W^{\dagger}_{n}(s)W_{m}(s) = W^{\dagger}_{n}(s)E_{n}(s)E_{m}(s)W_{m}(s) = 0, \ \ \ W_{n}(s)W^{\dagger}_{m}(s) = W_{n}(s)E_{n}(0)E_{m}(0)W_{m}^{\dagger}(s) = 0 \ \ \ \ \ \ (36) \end{equation*} olur. Bu aşamada adyabatik dönüşümü \begin{equation*} U(s) = \sum_{n=0}^{\infty} W_{n}(s) \ \ \ \ \ \ (37) \end{equation*} tanımlıyoruz. O zaman (35, 36 ve 33) nolu denklemler uyarınca \begin{equation*} U^{\dagger}(s)U(s) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} W_{n}^{\dagger}(s) W_{m}(s) = \sum_{n=0}^{\infty} E_{n}(0) = I \end{equation*} olur. Tamamen benzer bir şekilde $U(s)U^{\dagger}(s)=I$ olduğunu da göstererek, $U(s)$ işlemcisinin üniter olduğunu ispatlayabiliriz. Ardından, (34) nolu denklem uyarınca \begin{equation*} U(s)E_{n}(0) = \sum_{m=0}^{\infty} W_{m}(s)E_{m}(0)E_{n}(0) = W_{n}(s) \end{equation*} yazabiliriz. Böylece $U(s)$, $W_{n}(s)$ ile $E_{n}(0)$ projeksiyonuna etki ettiğinde örtüşmüş olur ve $U(s)$ işlemcisinin her bir $E_{n}(0)$ alt uzayında AD'yi temsil ettiği gösterilir. İstediğimiz işlemciyi elde ettik.
Bitirirken $U(s)$ işlemcisinin aşağıdaki diferansiyel denklemi sağladığını not ediyoruz. \begin{eqnarray}\nonumber && U^{\prime}(s) = iB(s)U(s), \\ \nonumber && iB(s) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} [E_{n}^{\prime}(s),E_{n}(s)]. \end{eqnarray}
Bibliyografya.
[2] Bu hususta kullandığımız yöntem Güttinger'in yöntemiyle paralellik arz etmektedir. Güttinger, Zs. f. Phys. 73 (1931), 169.
[3] J. von Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin, 1932, sayfa 40.
[4] Kıyaslayın: T. Kato, Prog. Theor. Phys. 4 (1949), 514.
[5] Bak. [3], sayfa 60.
[6] Kıyaslayın: M. Born, Vorlesungen über Atommechanik, Berlin, 1925, sayfa 112'de yer alan klasik örnek.
Kilit terimlerin tercümede kullanılan Türkçe karşılıkları
adiabatic transformation: adyabatik dönüşümadjoint operator: eşlenik işlemci (Hermitik eşlenik)
complete: tam
continuous: sürekli
degeneracy: yozlaşma
discrete: kesikli
dynamical transformation: dinamik dönüşüm
eigenfunction: özfonksiyon
eigenspace: özuzay
eigenvalue: özdeğer
immediate neighborhood: yakın komşuluk
initial value: başlangıç değeri
mapping: gönderim
multiplicity: çokkatlılık
piecewise continuous: parçalı sürekli
real change: hakiki değişim
regular function: düzenli fonksiyon
scalar product: iç çarpım, skaler çarpım
subspace: alt uzay
successive approximation: ardışık yaklaştırma
unitary operator: üniter işlemci
virtual change: zahiri değişim
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder