Hayır, olmaz.
Bu postada başlıktaki soruya verdiğimiz olumsuz yanıtı bir karşı örnekle gerekçelendireceğiz. Biyokimyada, bazı moleküllerin farklı izomerlerinin birbirlerine dönüşme kinetiği, oyun şebekesi (play network) dediğimiz yandaki döngüsel sisteme benzer. Şebekede yer alan üç reaksiyonun hız sabitleri sırasıyla α,β,γ ile ilgili reaksiyon okunun üzerinde gösteriliyor. Kimyasal kinetiğin en temel varsayımından, kütle aksiyon kanunundan başlayarak bu şebekede gerçekleşen reaksiyonlarda yer alan maddelerin konsantrasyonları için üç adet hareket denklemi yazacağız.
˙a(t)=−αa(t)+γc(t)˙b(t)=αa(t)−βb(t)˙c(t)=βb(t)−γc(t)
Burada mesela a(t) ile A maddesinin zamana bağlı derişimini, ˙a(t) ile bu derişimin zamana göre türevini temsil ediyoruz. Hız sabitlerinin pozitif, başlangıç konsantrasyonlarının pozitif veya sıfır olması haricinde bu problem için başka da talep ettiğimiz bir şart yok. Şimdi hız denklemlerini taraf tarafa toplarsak ˙a+˙b+˙c=0 elde ediyoruz. Dinamikte bir şeyin zamana göre türevi her zaman sıfırsa, bu, o niceliğin korunduğu anlamına gelir. Çalıştığımız problemde söz konusu olan basit bir toplam kütlenin korunumundan başka bir şey de değildir:
a(t)+b(t)+c(t)=a(0)+b(0)+c(0)=:m
Dikkat edilirse kütle korunumunu kullanarak c(t) maddesinin derişimi a(t) ve b(t) cinsinden yazılabilmektedir: c(t)=m−a(t)−b(t). Bu ilişkiyi ilk iki hareket denklemine koyarak, çalışılması gerekli diferansiyel denklem sayısını üçten ikiye düşürebiliriz. Böylesi bir indirgeme dinamik sistemlerde çok tipiktir. Her bağımsız korunum kanunuyla, diferansiyel denklem sisteminden bir denklem elenebilir. Hatta hareket denklemi kadar korunum kanunu varsa, o zaman diferansiyel denklemleri çözmeye bile gerek kalmaz!
Adet olduğu üzere, bu sistem için denge durumunu soruşturmakla işe başlayacağız. Dinamik bir sistemi oluşturan durum değişkenlerinin hepsinin zamana göre türevinin sıfır olduğu noktalara denge noktaları denir. Bu tanımı kullandığımızda ˙a=˙b=˙c=0 denklemlerinin ortak çözümü, bize denge konsantrasyonlarını verecektir. Basit bir alıştırma ile bu denge konsantrasyonlarını hesaplayabiliriz. ad=βγαβ+αγ+βγmbd=αγαβ+αγ+βγmcd=αβαβ+αγ+βγm Şebekedeki bütün reaksiyonlar tek yönlü, tersinmez (irreversible) gibi görünüyor ama sistemde yer alan hiçbir maddenin denge konsantrasyonu sıfır değil! Bu genellikle kimyada görmeye alışık olmadığımız ve şebekenin döngüselliğinin temin ettiği bir durum. Ayrıca bu örnekten ilham alarak tersinirlik kavramını biraz daha genişletiyor ve aşağıdaki tanımı yapıyoruz.
Tanım: (Tersinirlik ve zayıf tersinirlik) Bir kimyasal reaksiyon şebekesinde yer alan bütün tepkimeler tersinir (reversible) ise, o zaman o şebekeye tersinir şebeke denir. Bir kimyasal reaksiyon şebekesinde yer alan reaksiyon oklarının her iki tarafında yer alan reaktant ve ürünlere topluca kompleks denir. Bir kimyasal reaksiyon şebekesinde yer alan herhangi bir C1→C2 reaksiyonu için, C2 kompleksi ile başlayıp C1 kompleksi ile biten bir yol (yani reaksiyon zinciri) bulunabiliyorsa, o zaman o şebekeye zayıf tersinir şebeke (weakly reversible) denir.Bütün tersinir şebekelerin aynı zamanda zayıf tersinir olduğu çok barizdir. Burada çalıştığımız oyun şebekesi tersinir değil. Çünkü, örneğin A→B reaksiyonu var ama B→A yok. Öte yandan B→C→A kanalıyla B maddesinden A maddesine ulaşmak mümkün olduğundan çalıştığımız oyun şebekesi zayıf tersinirdir.
Şebekenin dinamiğini çözmeden önce birimsiz niceliklere geçeceğiz. t=:τ/α, A:=a/m, B:=b/m, C:=c/m, g:=γ/α ve h:=β/α tanımlayalım. A+B+C=1 olduğunu gözleyiniz. Dahası kütlenin korunumu gereğince C=1−A−B yazabiliriz. Bu, ˙c için yazılan diferansiyel denklemi fuzuli (redundant) kılar. İndirgenmiş birimlerde çalışmamız gereken dinamik sistem aşağıdaki gibidir. A′(τ)=−(1+g)A(τ)−gB(τ)+g (1)B′(τ)=A(τ)−hB(τ) (2) τ değişkenine göre türevi ′ ile temsil ettik. Şimdi (1) nolu denklemin bir daha (τ değişkenine göre) türevini alır ve (2) nolu denklemi de kullanırsak, aşağıdaki ara sonucu elde ediyoruz. A′′(τ)=−(1+g)A′(τ)−gA(τ)+ghB(τ) (3) Amacımız sadece A değişkenine bağlı bir adi diferansiyel denklem elde etmek. Bu yüzden (1) nolu denklemden B(τ) ifadesini çekip, (3) nolu denklemde kullanınca çalışmamız gereken denklem aşağıdaki forma girmektedir. A′′(τ)+(1+g+h)A′(τ)+(g+h+gh)A(τ)=gh (4) Bu denklemin sadece A değişkenine bağlı olduğunu gözleyiniz. Sistemin toplamda g ve h olmak üzere iki adet parametresi vardır.
(4) nolu denklem ikinci dereceden, sabit katsayılı, homojen olmayan, lineer bir adi diferansiyel denklemdir ve adi diferansiyel denklemlerin teorisinde çözüm yöntemi vardır. İlkin tekabül eden karakteristik denklemi çözeceğiz. λ2+(1+g+h)λ+(g+h+gh)=0 (5) İkinci dereceden denklemin diskriminantı aşağıdaki gibidir. Δ:=(1+g+h)2−4(g+h+gh)=(g−h)2−2(g+h)+1 Bu diskriminant hem pozitif hem de negatif olabilir. Örneğin g=h=1 için Δ=−1 ama g=5, h=1 için Δ=5 olmaktadır. Karakteristik değerler aşağıdaki gibi verilir. λ1,2:=−(1+g+h)±√Δ2 (6) Viete-Girard formüllerinden λ1+λ2<0 ve λ1λ2>0 olduğundan, her durumda köklerin gerçel kısımları negatiftir.
Ap:=gh/(g+h+gh) ifadesinin (4) nolu denklemi sağladığını gözleyiniz. (Basitçe yerine koymanız yeterlidir.) İndirgenmiş birimlerde A malzemesinin denge konsantrasyonunu da veren bu ifadeye kısmi çözüm diyeceğiz. Kısmi çözüm aynı zamanda Ap=ad/m denklemini de sağladığından, aslında indirgenmiş birimlerde A maddesinin denge konsantrasyonudur. Artık aradığımız çözümü nihayet verebiliriz. A(τ)=Ap+c1eλ1τ+c2eλ2τ (6a) c1,2 katsayıları başlangıç şartlarından temin edilmelidirler. τ=0 koyduğumuzda c1+c2=A(0)−Ap (7) denklemini elde ediyoruz. İkinci bir denkleme daha ihtiyacımız var. Bu amaçla (1) nolu denklemde de τ=0 koyacağız. λ1c1+λ2c2=−(1+g)A(0)−gB(0)+g (8) (7) ve (8) nolu denklemler beraber çözüldüklerinde aşağıdaki sonuçları elde ediyoruz. c1=−λ2(A(0)−Ap)−(1+g)A(0)−gB(0)+g√Δ (9)c2=λ1(A(0)−Ap)+(1+g)A(0)+gB(0)−g√Δ (10)
Durum I. Δ>0 için (6a) nolu denklemi kullanarak limτ→∞=Ap olduğunu gösterebiliriz. Dahası yine aynı denklemin türevini aldıktan sonra limτ→∞A′(τ)=0 olduğunu da gösterebiliriz. Bu bize (1) nolu denklem kanalıyla limτ→∞B(τ)=g/(g+h+gh) sonucunu verir. İndirgenmiş birimlerde bu, B maddesinin denge konsantrasyonundan başka bir şey değildir. Kütle korunumu ile C maddesinin de τ→∞ limitinde, dengeye geldiği gösterilir. Sistemin dengeye varma süresi, indirgenmiş birimlerde |λ2|−1 ile kestirilebilir. (Neden |λ1|−1 değil?) Birimli niceliklerde bu değer T∼(2/α)/(1+g+h−√Δ) kadardır.
Durum II. Δ=0 için λ1=λ2=:Λ=−(1+g+h)/2 olacaktır. Bu durumda çözümü A(τ)=Ap+d1eΛτ+d2τeΛτ (11) şeklinde ifade etmeliyiz. ((11) nolu denklemi (4) nolu denkleme koyarak bu çözümün doğruluğunu gösteriniz.) Burada d1 ve d2 başlangıç şartlarından tayin edilmelidirler. Basit bir alıştırmayla bu katsayıları çözebiliriz. d1=A(0)−Apd2=−Λ(A(0)−Ap)−(1+g)A(0)−gB(0)+g Λ<0 olduğundan bu sistem de üstel hızda dengeye varır ve dengeye varma zamanı birimli niceliklerde T∼(2/α)/(1+g+h) ile kestirilebilir.
Durum III. Δ<0 için özdeğerlerin gerçel olmadığını gözleyiniz. Bu durumu çalışmak için öncelikle δ:=√|Δ| tanımıyla işe başlıyoruz. O zaman özdeğerler λ1,2=Λ±iδ2 ile verilecektir. Burada Λ bir önceki paragrafta tanımlandığı gibidir. Bu tanımlarla ve trigonometrik fonksiyonların (2isin(θ)=eiθ−e−iθ ve 2cos(θ)=eiθ+e−iθ gibi) bazı özelliklerini kullanarak A maddesinin konsantrasyonu aşağıdaki gibi verilir. A(τ)=Ap+eΛτ(A(0)−Ap)cos(δτ2)−eΛτ2δ((1+g)A(0)+gB(0)−g+Λ(A(0)−Ap))sin(δτ2) Yukarıdaki denklem bazı tanımlarla sadeleştirilebilir. D:=√(A(0)−Ap)2+4δ2((1+g)A(0)+gB(0)−g+Λ(A(0)−Ap))2cosφ:=A(0)−ApDsinφ:=2δ(1+g)A(0)+gB(0)−g+Λ(A(0)−Ap)D Nihayet cos(x+y)=cosxcosy−sinxsiny özdeşliğini kullandığımızda A malzemesinin konsantrasyonunu daha sade bir formda sunabiliyoruz. A(τ)=Ap+DeΛτcos(δτ2+φ) (12)
İşaret. Λ<0 olduğundan, burada da limτ→∞A(τ)=Ap olur, yani tepkime dengeye üstel hızda gelir. Ama (12) nolu denklem şimdiye kadar hiç karşılaşmadığımız bir davranışa,
salınımlara (oscillations) sahiptir. Biyokimyada ve kimya mühendisliğinde salınım yapan tepkimeler önemli bir yer tutar. Ne yazık ki üstel terimin hızla sıfıra gitmesinden ötürü, oyun şebekesinde salınımları uzun süre gözlemek mümkün değildir. Bu meyanda Deficiency-0 teoreminin
pek çok kimyasal sistemde salınımları gözlemenin imkansız olduğunu söylediğini kaydedelim.
İşaret. Birimsiz niceliklerde tepkime zamanı |Λ|−1=2/(1+g+h) ile kestirilebilir. Öte yandan salınımların periyotu tam olarak 4πδ=4π√2(g+h)−(g−h)2−1 kadardır. En az bir tam salınım gözlemek için |Λ|−1≥4πδ−1 şartını kullanmamız gerekiyor. Bu şart aşağıdaki eşitsizliği gerektirmektedir. 2(1−4π2)(g+h+gh)−(1+4π2)(g2+h2)≥4π2−1 Ne var ki bu eşitsizlik absurddur. Zira negatif bir niceliğin pozitif bir nicelikten büyük olduğunu söyler. Diğer bir ifadeyle oyun şebekesinde bir tam salınım dahi gözlenmeden şebeke dengeye gelir.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder