Soru: Şekilde görülen ideal makara sistemi serbest bırakıldığında $M$ yukarı doğru ivmelenirken $m$ aşağı yönde hareket etmektedir. $M$ kütlesi $\xi$ kadar yükseldiğinde $m$ ne kadar aşağı doğru inmiştir?
Bu soruyu liselere geçiş sınavına hazırlanan kızım dün akşam getirdi ve ben de geometrik argumanlarla bir çözüm yaptım. Onu bu postada sizinle paylaşacağım. Yaptığım çözümü kızım çok uzun buldu. Onun yerine $M$'nin ağırlığı için $60$ N dedikten sonra ancak statik dengede geçerli olan iplerdeki gerilimleri heaplayarak kuvvet kazancının $4$ kat olduğunu hesapladı. Sonra da yol kaybından çözüme ulaştı. Halbuki bu pür geometrik bir problem. Dinamikle, kuvvetle, ip gerilimleriyle bir alakası yok!
Sağdaki şekli kitaptaki soruyu taklit ederek ben çizdim. İp parçalarının üzerindeki uzunluklar tabii ki kitapta yoktu. (Yeri gelmişken ilgili TikZ komutlarını web'de paylaşarak bizi günlerce debelenip durmaktan kurtaran Izaak Neutelings'e teşekkürler.) Bu problemi geometriye ve lineer cebirin kurallarına uyarak çözeceğiz.
Şekilde aslında iki parça ip var. İpler hareket esnasında esnemediklerinden bu ip parçalarının uzunlukları korunuyor. Özdeş makaraların çevresine $C$ diyelim. O zaman iplerin uzunlukları aşağıdaki denklemlerle verilir. \begin{eqnarray}\nonumber l & := & l_{1}(t) + l_{2}(t) + l_{3}(t) + C \\ \nonumber k & := & k_{1}(t) + k_{2}(t) + \tfrac{1}{2}C \end{eqnarray} Burada ipin bir makara etrafında yarım devir tur attığını varsaydık. Bu iki denklemi görmesi kolaydı. Şimdi, ortadaki makarayı $k$ ipine bağlayan aparatın sabit kalan uzunluğuna $A$ dersek, bütün hareket boyunca geçerli üçüncü bir denkleme daha ulaşırız. \begin{equation*} k_{1}(t) + l_{3}(t) + A = k_{2}(t) \end{equation*} Bu denklem $M$ kütlesinin bağlı olduğu makaranın tavana göre konumunu iki farklı yolla ölçüyor. Son olarak birinci makarayı tavana bağlayan aparatın uzunluğuna da $A$ dersek ortadaki makaranın tavana göre konumunu sağındaki ve solundaki ip uzunluklarıyla ölçen bir denklem daha bulunur. \begin{equation*} l_{2}(t)+A=l_{3}(t) \end{equation*} İşte bu dört geometrik kısıtlamayı kullanarak yol kaybını bulmaya çalışacağız.
$k_{2}$ sadece bir ip segmentinin uzunluğu değil aynı zamanda $M$ kütlesinin tavana göre konumunu da ölçüyor. Bu kütlenin $\xi(t)$ kadar yükselmesi demek $k_{2}(t)=k_{2}(0)-\xi(t)$ demektir. Ama $k$ ipinin toplam uzunluğu korunduğundan $k_{1}(0)+k_{2}(0)+\tfrac{1}{2}C=k_{1}(t)+k_{2}(0)-\xi(t)+\tfrac{1}{2}C$ denklemi geçerlidir ve buradan $k_{1}(t) = k_{1}(0)+\xi(t)$ ara sonucu bulunur.
$k$ ipindeki segmentlerin uzunluklarını bulduk. Şimdi aynı işlemleri $l$ ipi için de yapacağız. Şimdi, $l_{3}(t)=k_{2}(t)-k_{1}(t)-A$ ve $A=k_{2}(0)-k_{1}(0)-l_{3}(0)$ denklemleri beraber kullanıldığında $l_{3}(t) = l_{3}(0)-2\xi(t)$ eşitliği bulunur. Çorabın nasıl söküldüğünü bu aşamada artık okur kavramıştır. Bu yüzden sonuçları vererek çözümü bitirelim. $l_{2}(t) = l_{2}(0)+2\xi(t)$ ve $\boxed{l_{1}(t) = l_{1}(0)+4\xi(t)}$. Demek ki $m$ kütlesi $4\xi$ kadar aşağı inmiş.
İşaret: Öğrencimizin problemi hızlıca çözmek için neden büyük ağırlık yerine $60$ N koyduğunu ilk başta ben de merak ettim. Sonra Sümerliler'in neden aritmetiği 60 tabanında yaptığı aklıma geldi. Çünkü 60 sayısının bölünebilirliği 10'a kıyasla daha fazla! İp gerilimlerini hesaplarken bu ağırlığı böle böle ilerliyorsunuz.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder