Konvekslik ve norm arasındaki bağ - Kreyszig'in örneği

Kreyszig'in fonksiyonel analiz kitabında Banach uzayları anlatılırken güzel bir önerme iki alıştırmaya paylaştırılarak veriliyor. Önerme, norm olmaya aday bir fonksiyonun gerçekten de norm olup olmadığının nasıl anlaşılacağına dair. Örneğin $x \in \mathbb{R}^{2}$ olmak üzere \begin{equation*} \varphi(x) := \left( \sqrt{|x_{1}|} + \sqrt{|x_{2}|} \right)^{2} \end{equation*} tanımlansın. Bu fonksiyonun $\mathbb{R}^{2}$ üzerinde bir norm tanımlayıp tanımlamadığını nasıl anlarız? Genel olarak bu tip sorgularda norm olmanın aksiyomlarından üçgen eşitsizliği hariç diğerleri kolayca ispatlanırken üçgen eşitsizliği ispatlanması en zor kademeyi teşkil eder. Kreyszig burada konveks analizden alternatif bir rota öneriyor. Ama öncelikle konvekslikten ne kastettiğimizi tanımlayalım.

Tanım: $X$ bir lineer uzay olsun. $A \subset X$ olacak şekilde \begin{equation*} x,y \in A \ \Rightarrow \ M := \left\{ z \in X \ | \ z = \alpha x + (1-\alpha)y, \ \alpha \in [0,1] \right\} \subset A \end{equation*} önermesi doğru ise $A$ konveks bir kümedir.

Bu temel tanımda $M$, başı $x$ ucu $y$ olan bir doğru parçası. Sözel olarak ifade edildiğinde verilen bir kümeden herhangi iki nokta alıp bunları bir doğru parçası oluşturacak şekilde birleştiriyoruz. Doğru parçasının tamamı bahsi geçen kümede kalıyorsa o zaman o kümenin konveks olduğunu söylüyoruz. Örneğin çember, elips, kare, küp ve küre konveks kümeler. Hilal, yıldız ve amip konveks kümeler değil. İkinci bir tanımımız daha var. O da kapalı birim topun tanımı. Bu da geometrik bir kavramı genelleştiriyor.

Tanım: Normlu bir lineer uzayda $\| x \| \leq 1$ eşitsizliğini sağlayan tüm $x$ vektörlerinin oluşturduğu kümeye kapalı birim top denir ve $B_{1}(0)$ ile gösterilir.

Geleneksel geometride "top" denilen objeler konveks. Kreyszig bu noktada basit bir önermeyle yol yapıyor. O da şu: Kapalı birim top gerçekten de konveks bir küme. İspatlamak için $x,y\in B_{1}(0)$ ve $\alpha \in [0,1]$ alalım. $z = \alpha x + (1-\alpha)y$ olsun. O zaman \begin{eqnarray}\nonumber \|z\| &=& \| \alpha x + (1-\alpha)y \| \\ \nonumber &\leq& \| \alpha x \| + \| (1-\alpha)y \| \\ \nonumber &=& |\alpha| \| x \| + |1-\alpha| \|y\| \\ \nonumber &=& \alpha \|x\| + (1-\alpha) \|y\| \\ \nonumber &\leq& \alpha + 1 - \alpha \\ \nonumber &=& 1 \end{eqnarray} olur. Son basamakta $x$ ve $y$ vektörlerinin kapalı birim top içinde olduklarını kullandık.

Gelelim norm olmaya aday $\varphi$ fonksiyonuna. $\varphi(x) \leq 1$ ile tanımlanan kapalı birim top içinde $x=(1,0)$ ve $y=(0,1)$ noktalarını alalım. $\alpha = 1/2$ olsun. O zaman $z = \alpha x + (1-\alpha)y = (1/2,1/2)$ olur. Ama $\varphi(z) = 2 > 1$ olduğundan bu nokta kapalı birim top içinde değildir. Demek ki $\varphi$ tarafından üretilen kapalı top konveks bir küme değilmiş. O zaman $\varphi$, $\mathbb{R}^{2}$ üzerinde bir norm tanımlamaz.