Siklotomik polinomlarla çözülen bir geometri problemi

Soru: Birim çember üzerinde birbirine uzaklığı eşit $n$ nokta seçilsin ve daha sonra bu noktalardan biri sabit tutulup diğer $n-1$ noktaya doğru parçaları çizilsin. Doğru parçalarının uzunlukları çarpımı $n$ olur. İspatlayınız.

Bu problemi Bak ve Newman'ın beraber kaleme aldığı Kompleks Analiz kitabının ilk faslında gördüm. Çözümüne beraber bakalım. Birim çember üzerinde birbirine uzaklığı eşit $n$ nokta denildiğinde aklımıza ilk gelmesi gereken konu 1'in $n.$ dereceden kökleridir. Bu kökler

$$\begin{equation*} z^{n}-1=0 \end{equation*}$$ denklemini sağlar. Bu denklemin köklerinden bir tanesi ve en bariz olanı $1$'dir. Diğerlerini de $\zeta_{j} := \exp(2\pi i j / n)$ formülüyle ifade edebiliriz. Burada $i:=\sqrt{-1}$ ve $j \in \{0,\ldots,n-1\}$. $\zeta_{j}^{n}=1$ olduğundan bu niceliklerin 1'in $n.$ dereceden kökü olduğu barizdir.

Şimdi elimizdeki cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

$$\begin{equation*} z^{n}-1 = (z-1) \varphi_{n}(z) \ \ \text{ve burada} \ \ \varphi_{n}(z) := z^{n-1} + z^{n-2} + \cdots + z + 1. \end{equation*}$$ Çarpanlara ayırma işlemi sırasında zuhur eden $\varphi_{n}$ polinomlarına cebir literatüründe siklotomik polinomlar denir. Cebirin temel teoremi uyarınca siklotomik polinomları 1'in $n$. dereceden kökleri cinsinden hemen çarpanlarına ayırabiliriz. $$\begin{equation*} \varphi_{n}(z) = (z-\zeta_{1}) \cdots (z - \zeta_{n-1}) \end{equation*}$$

Gelelim problemin çözümüne. Genelliği kaybetmeden birim çember üzerinde aldığımız ilk nokta $\zeta_{0}=(1,0)$ noktası olsun. Bu noktadan herhangi bir $\zeta_{j}$ noktasına çizilen doğru parçasının uzunluğu $|\zeta_{0}-\zeta_{j}|=|1-\zeta_{j}|$ olur. Bu uzunlukların çarpımı ise

$$\begin{equation*} |(1-\zeta_{1}) \cdots (1-\zeta_{n-1})| = |\varphi_{n}(1)| = n \end{equation*}$$ kolayca hesaplanır.

Ödev: $|\zeta_{j+1}-\zeta_{j}|$ uzunluğunu hesaplayarak düzgün $n$-genin kenar uzunluğunu $n$ cinsinden ifade ediniz.