Satrançta hamle kimdeyse avantaj da ondadır. Büyük ustaların oyunlarında kimi zaman bir hamle kaybedenlerin oyundan çekildiği dahi görülür. Öte yandan, nadiren de olsa, hamle sırası kimdeyse o oyuncunun kesinlikle partiyi kaybettiği bazı oyun sonu durumları da vardır. Bunlara literatürde zugzwang denir. Bugünkü postada basit bir çekiliş probleminde hiç zugzwang olmadığını göstereceğiz. Çalışacağımız çekiliş problemi aşağıda.
Soru: Alp ve Burcu içinde n adet kırmızı ve m adet siyah top bulunan bir torbadan sırayla top çekiyorlar. Kırmızı topu ilk çeken oyunu kazanıyor ve eğer siyah top çekilmişse o zaman top tekrar torbaya konuyor. Oyuna Alp başladığına göre Alp'in çekilişi kazanma ihtimali nedir?
Kurguya göre k∈Z+ olmak üzere Alp birinci, üçüncü, beşinci ve genel olarak (2k−1). çekilişleri yaparken Burcu da ikinci, dördüncü, altıncı ve genel olarak 2k. çekilişleri yapmaktadır. A2k+1 ilk 2k çekilişte peşpeşe siyah top çekilirken (2k+1). çekilişte kırmızı top çekildiği durumları temsil etsin. Bu durumlarda Alp çekilişi kazanmaktadır. P(A1)=nn+m, P(A3)=(mn+m)2nn+m ve genel olarak P(A2k+1)=(mn+m)2knn+m olur. Bütün bu ihtimalleri topladığımızda Alp'in çekilişi kazanma ihtimalini de hesaplamış oluruz.
P(Alp):=∞∑k=0P(A2k+1)=nn+m∞∑k=0(mn+m)2k=nn+m∞∑k=0(m2(n+m)2)k=nn+m11−m2(n+m)2=n+mn+2mAlp'in kazanma ihtimali için P(Alp)=n+mn+2m>n2+mn+2m=12
İşaret: Çekilişin anlamlı olabilmesi için n≪m olmalıdır. Bu asimptotikte P(Alp)∼1/2 olduğundan çekiliş nisbeten daha adil olmaktadır.
Ödev: n=3, m=7 olsun ama çekilen top torbaya konulmasın. Bu durumda Alp'in kazanma ihtimalini hesaplayınız.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder