Kızımın vektör cebri ödevinden Cauchy-Schwarz'a

Ne yalan söyleyeyim liseye yeni başlayan kızımın matematik ve fizik ödevlerindeki bazı soruları çok seviyorum. Dün akşam bana gösterdiği vektör cebri ile ilgili sorulardan birisini biraz soyutlayıp genelleştirince yeni (yani yeni derken benim daha önceden bilmediğim anlamında) bir Cauchy-Schwarz ispatına da ulaştım. O soruyu burada paylaşalım daha sonra da uzun ispatı beraber yapalım.

Soru:${\mathcal V}$ karmaşık bir iç çarpım uzayı, $a,b$ ve $x$ ise bu uzayda yer alan vektörler olsun. Uzayda tanımlı iç çarpımı $\langle a | b \rangle$ ile, bu iç çarpımın ürettiği normu da $\|a\| := \sqrt{\langle a | a \rangle}$ ile gösterelim. Normu minimum olacak şekilde $a$ vektörüne öyle bir $x$ ekleyiniz ki $a+x$ ile $b$ aynı doğrultuda olsunlar.

Çözüm: $\alpha \in \mathbb{C}$ olmak üzere bizden $a+x = \alpha b$ denklemini sağlayan tüm $x$ vektörlerinden normu en küçük olanını bulmamız isteniyor. $x = \alpha b - a$ olduğundan optimize etmek istediğimiz normu (daha doğrusu onun karesini) kolayca hesaplayabiliriz. $$\begin{eqnarray} \nonumber \|x\|^{2} &=& \|\alpha b - a\|^{2} = \langle \alpha b - a | \alpha b - a \rangle \\ \nonumber &=& |\alpha|^{2} \|b\|^{2} + \|a\|^{2} - \alpha \langle a | b \rangle - \overline{\alpha} \langle b | a \rangle \end{eqnarray}$$ Burada $\overline{\alpha}$ ile $\alpha$ skalerinin karmaşık eşleniği temsil edilmektedir.

$\alpha = \varrho e^{i \varphi}$ ile bu sayıyı kutuplu koordinatlarda temsil edelim ve $\varrho \gt 0$ olsun. O zaman $$\begin{eqnarray} \nonumber \|x\|^{2} &=& \varrho^{2} \|b\|^{2} + \|a\|^{2} - \varrho \left( e^{i\varphi}\langle a | b \rangle + e^{-i\varphi}\langle b | a \rangle \right) \\ \nonumber &=& \varrho^{2} \|b\|^{2} + \|a\|^{2} - 2\varrho \Re\left[ e^{i\varphi}\langle a | b \rangle \right] \\ \nonumber &=& \varrho^{2} \|b\|^{2} + \|a\|^{2} - \varrho \cos \varphi (\langle a | b \rangle + \langle b | a \rangle) - i\varrho \sin \varphi (\langle a | b \rangle - \langle b | a \rangle) \end{eqnarray}$$ olur. Burada $\Re[z]$, $z$ karmaşık sayısının gerçel kısmını temsil etmektedir ve bu kısım her zaman $(z+\overline{z})/2$ ile hesaplanabilir. Benzer şekilde $(z-\overline{z})/2i$ de aynı sayının sanal kısmını verir ve $\Im[z]$ ile gösterilir.

Normu $\varrho$ ve $\varphi$ cinsinden ifade ettik. Şimdi optimize edelim. $$\begin{eqnarray}\nonumber 0 &=& \frac{\partial \|x\|^{2}}{\partial \varphi} = \sin \varphi (\langle a | b \rangle + \langle b | a \rangle) - i \cos \varphi (\langle a | b \rangle - \langle b | a \rangle) \\ \nonumber 0 &=& \frac{\partial \|x\|^{2}}{\partial \varrho} = 2 \varrho \|b\|^{2} - \cos \varphi (\langle a | b \rangle + \langle b | a \rangle) - i \sin \varphi (\langle a | b \rangle - \langle b | a \rangle) \end{eqnarray}$$ Bu optimizasyon denklemlerine her zaman trigonometrik Pisagor teoremini ekleyebiliriz. $$\begin{equation*} \sin^{2} \varphi + \cos^{2}\varphi = 1 \end{equation*}$$ İlk optimizasyon denklemi ile trigonometrik Pisagor teoremi beraber çözüldüklerinde $\cos \varphi$ ve $\sin \varphi$ kolayca bulunur. $$\begin{equation*} \cos \varphi = \frac{\langle a | b \rangle + \langle b | a \rangle}{2 |\langle a | b \rangle|} \ \ \ \text{ve} \ \ \ \sin \varphi = i \frac{\langle a | b \rangle - \langle b | a \rangle}{2 |\langle a | b \rangle|} . \end{equation*}$$ Bu sonuçları $\varrho$ için verdiğimiz ikinci optimizasyon denkleminde kullandığımızda $$\begin{equation*} \varrho = \frac{|\langle a | b \rangle|}{\|b\|^{2}} \end{equation*}$$ bulunur ve optimizasyon hesaplamaları da böylece biter.

En küçük norm değerini veren $\varrho$ ve $\varphi$ niceliklerini (ya da $\alpha$ niceliğini) bulduk. Bunları $\|x\|^{2}$ için türettiğimiz denklemde kullanarak artık aradığımız minimal normu verebiliriz. $$\begin{equation*} \boxed{ \min \|x\|^{2} = \|a\|^{2} - \frac{|\langle a | b \rangle|^{2}}{\|b\|^{2}} } \end{equation*}$$

Ödev: Bu minimal norma tekabül eden $x$ vektörünü hesaplayınız.

İşaret: Minimal de olsa bir sayının karesi ya pozitiftir ya da sıfır. O zaman $\min \|x\|^{2} \geq 0$ eşitsizliğini yeniden düzenleyip her iki tarafın kökünü aldığımızda Cauchy-Schwarz eşitsizliğine ulaşıyoruz ki Wow! yani. $$\begin{equation*} |\langle a | b \rangle| \leq \|a\| \|b\| \end{equation*}$$

Daha önce bu blogda John von Neumann ve Paul Halmos'un Cauchy-Schwarz ispatlarına yer vermiştik. Bu da bendenizin Cauchy-Schwarz ispatı olsun. Kullandığımız yöntemin karmaşıklığı olarak von Neumann ispatını andırdığımız söylenebilir.