Derece skalasında üçün katı olan açıların trigonometrik fonksiyonları

Problem 4: Derece biriminde üç ve üçün tam katı olan açıların sinüs ve kosinüslerini tam sayılarla toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök almayı kullanarak hesaplayınız.

Problemi çözmeden önce $0^{\rm o}$, $30^{\rm o}$, $45^{\rm o}$, $60^{\rm o}$ ve $90^{\rm o}$ gibi özel açıların trigonometrik fonksiyonlarını eşkenar ve ikizkenar dik üçgenlerden hesaplamayı bildiğimizi varsayıyoruz.

Daha az tanınan bir üçgen ise yandaki şekilde gösterilen ve tepe açısı $36^{\rm o}$ olan $\triangle ABC$ ikizkenar üçgenidir. Şekilde siyah renkle gösterilen açılar $72^{\rm o}$ iken kırmızı renkle gösterilen açılar $36^{\rm o}$'dir. $DC$ doğru parçası $\angle ACB$'nin açıortayı olduğundan, $\triangle ABC \sim \triangle CBD$ açı-açı-açı benzerliği vardır. Bu benzerlikten faydalanarak $36^{\rm o}$'nin trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini bulmaya çalışalım. $|AD|=|DC|=|BC|=:a$ ve $|BD| =: b$ uzunluklarını tanımlarsak, $|AB|=|AC|=a+b$ olur. Benzerlikten dolayı

$$\begin{equation*} \frac{b}{a}=\frac{a}{a+b} \end{equation*}$$ denklemi geçerlidir. Bu denklem yeniden düzenlendiğinde aşağıdaki ikinci mertebeden denklem elde edilir. $$\begin{equation*} b^{2}+ab-a^{2}=0 \end{equation*}$$ Denklemin çözümü bize $b$ uzunluğunu $a$ cinsinden ifade etme olanağı sağlayacaktır. $$\begin{equation*} b=a\frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{equation*}$$ Şimdi $\triangle BCD$ üçgeninde kosinüs teoremini uygulayacak olursak $$\begin{equation*} b^{2}=2a^{2}-2a^{2}\cos 36^{\rm o} \ \Rightarrow \ \cos 36^{\rm o} = 1- \frac{b^{2}}{2a^{2}} \end{equation*}$$ sonucuna ulaşırız. Daha önce bulduğumuz oran yerine konulduğunda, $\cos 36^{\rm o}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ değeri hesaplanılabilir. Sinüsün değerini hesaplamak artık kolay: $\sin 36^{\rm o}=\sqrt{1 - \cos ^{2} 36^{o}}=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}$.

$6^{\rm o}=36^{\rm o}-30^{\rm o}$ olduğunu gözleyelim. O zaman trigonometrik fonksiyonların toplam formüllerini kullanarak

$$\begin{equation*} \sin 6^{\rm o} = \sin 36^{\rm o}\cos 30^{\rm o} - \cos 36^{\rm o} \sin 30 ^{\rm o} = \sqrt{\frac{15-3\sqrt{5}}{32}}-\frac{1+\sqrt{5}}{8} \end{equation*}$$ ve $$\begin{equation*} \cos 6^{\rm o} = \cos 36^{\rm o} \cos 30^{\rm o} + \sin 36^{\rm o} \sin 30 ^{\rm o} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8} - \sqrt{\frac{5- \sqrt{5}}{32}} \end{equation*}$$ sonuçları bulunacaktır. Amacımıza neredeyse ulaştık. $3^{\rm o}$'lik açının da sinüs ve kosinüsünü hesaplarsak, $n \in {\mathbf N}$ olmak üzere $3n^{\rm o}$'lik açılarında trigonometrik fonksiyonlarını hesaplayabileceğiz. Bu amaçla $\cos (2x) = 2 \cos^{2} x - 1 = 1 - 2\sin^{2}x$ formülünde $x=3^{\rm o}$ koyalım. $$\begin{eqnarray}\nonumber \cos 3^{\rm o} &=& \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 6^{\rm o}} = \sqrt{\frac{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}}{16} - \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{128}}} \\ \nonumber \sin 3^{\rm o} &=& \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 6^{\rm o}}=\sqrt{\frac{8 - \sqrt{3} - \sqrt{15}}{16} + \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{128}}} \end{eqnarray}$$

Artık indüksiyona başlayabiliriz. $n \geq 2$ için, $\sin(3(n-1)^{\rm o})$ ve $\cos (3(n-1)^{o})$ biliniyorsa, o zaman

$$\begin{eqnarray}\nonumber \sin (3n^{\rm o}) &=& \sin (3(n-1)^{\rm o})\cos(3^{\rm o}) + \cos (3(n-1)^{\rm o}) \sin (3^{\rm o}) \\ \nonumber \cos (3n^{\rm o}) &=& \cos (3(n-1)^{\rm o})\cos(3^{\rm o}) - \sin (3(n-1)^{\rm o}) \sin (3^{\rm o}) \end{eqnarray}$$ formüllerinden $3^{\rm o}$'nin tam katı olan bütün açıların, sinüs ve kosinüsleri tamsayıları, dört aritmetik işlemi ve kök almayı kullanarak hesaplanılabilir.

İşaret: Burada bulduğumuz sonucun daha kuvvetlisi Öklit'in cetvel ve pergel çizimlerinde de vardır: Derece biriminde tamsayı olan bir açının, cetvel ve pergel ile çizilebilmesi için o açının üçe bölünebilmesi yeterlidir.