Soruyu çözmek için analitik geometriden biraz faydalanacağız ama önce bütün parabollerin tek terimli sade bir denklem halinde ifade edilebileceğini gösterelim.
Lemma: En genel haliyle $y=ax^{2}+bx+c$ denklemi ile verilen bütün paraboller, sadece kaydırma izometrisi kullanılarak $Y=AX^{2}$ formuna getirilebilirler.
İspat: Öncelikle $x$ değerini $x=:X-\frac{b}{2a}$ olacak şekilde kaydıralım. O zaman
\begin{equation*}
y=a\left(X^{2}-\frac{b}{a}X+\frac{b^{2}}{4a^{2}}\right) + b \left( X - \frac{b}{2a}\right) + c = aX^{2} + c - \frac{b^{2}}{4a}
\end{equation*}
sonucu çıkar. Şimdi de $y=:Y+c-\frac{b^{2}}{4a}$ kaydırmasını uygularsak, parabolümüz $Y=aX^{2}$ formuna girer. QED
Kaydırma dönüşümü fiziksel objelerde bir deformasyona sebep olmadığı için, genelliği bozmadan parabolik aynanın denkleminin $y=ax^{2}$ olduğunu varsayalım. Bu aynanın simetri eksenine paralel, yandaki şekilde görüldüğü gibi $AB$ ışını gelsin. Işın $B$ noktasından Snell kanununa göre yansıyacaktır ve $BK$ doğrusunu izlerken $E$ noktasında aynaya tekrar çarpacaktır. O zaman $\alpha := \angle ABN = \angle NBE$ (kırmızı, içi boş) ve $\beta := \angle ABC = \angle DBE = \angle DBX$ (içi koyu siyah) tanımlarsak, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$, $BN$ parabole $B$ noktasında normal veya dik, $CD$ ise teğet olurlar. Yansımanın geometrisini bulmak için $\gamma := \angle BDO$ (gri) tanımlayalım. Temel analizden parabole $(x_{0},y_{0})$ noktasında çekilen teğetin eğimi $\tan \gamma = 2ax_{0}$ olacaktır. Yansıyan ışının $x$ ekseniyle yaptığı açıya $\kappa$ dersek, $\triangle DBK$ üçgeninden $\kappa = \gamma + \beta$ olduğu görülür. Benzer şekilde, $\triangle BDX$ dik üçgeninden $\gamma = \beta + \frac{\pi}{2}$ olduğu gözlenirse, $\kappa = \gamma + \gamma - \frac{\pi}{2}=2\gamma - \frac{\pi}{2}$ bulunur. $BK$ doğrusunun eğimini bulmak için aşağıdaki trigonometri jimnastiğini yapmamız gerekiyor. ($BK$ doğrusunu bulmaktaki amacımız, yansıyan ışının $y$ eksenini kestiği $F$ noktasının parabolün odağı olduğunu göstermektir.)
\begin{equation*}
\tan \kappa = \tan \left( 2\gamma - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\sin \left( 2\gamma - \frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left( 2\gamma - \frac{\pi}{2}\right)}=-\frac{\cos 2\gamma}{\sin 2 \gamma}=-\frac{1}{\tan 2\gamma} = \frac{\tan ^{2}\gamma - 1}{2 \tan \gamma}=\frac{4a^{2}x_{0}^{2}-1}{4ax_{0}}
\end{equation*}
Analitik düzlemdeki denklemi $y= (\tan \kappa ) x + n$ olan $BK$ doğrusunun kesme noktasını bulmak için bu doğrunun $B=(x_{0},ax_{0}^{2})$ noktasından geçtiği bilgisini kullanalım.
\begin{equation*}
ax_{0}^{2} = \frac{4a^{2}x_{0}^{2}-1}{4ax_{0}}x_{0} + n \ \Rightarrow \ n=\frac{1}{4a}
\end{equation*}
Kesme noktası aynı zamanda $F = (0,n)$ noktasının da konumunu vermektedir. Bu konum $AB$ ışınından bağımsızdır ve sadece parabolün eğriliğini tayin eden $a$ parametresiyle hesaplanılabilir. O zaman parabolün simetri eksenine paralel gelen bütün ışınların, ayna tarafından $F = (0,1/4a)$ odak noktasında toplanacağını ispatlamış oluyoruz.
İşaret: $F$ noktasından çok fazla foton geçtiği için, bu noktada termal enerji aniden yükselecektir. Efsaneye göre, Sicilya kuşatması esnasında (MÖ 214-212) Arşimet parabolik bir ayna yapmış ve bu ayna ile Roma donanmasının gemilerini yakmıştır.
Alıştırma: $E$ noktasına gelen $BE$ ışınının parabolik ayna tarafından tekrar simetri eksenine paralel yansıtılacağını gösteriniz.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder