Parabolik bir aynada ışınların odaklanması

Problem 5: Parabolik bir aynanın simetri eksenine paralel gelen ışınlar, bu aynanın odağından geçerler. İspatlayınız.

Soruyu çözmek için analitik geometriden biraz faydalanacağız ama önce bütün parabollerin tek terimli sade bir denklem halinde ifade edilebileceğini gösterelim.
Lemma: En genel haliyle $y=ax^{2}+bx+c$ denklemi ile verilen bütün paraboller, sadece kaydırma izometrisi kullanılarak $Y=AX^{2}$ formuna getirilebilirler.
İspat: Öncelikle $x$ değerini $x=:X-\frac{b}{2a}$ olacak şekilde kaydıralım. O zaman

$$\begin{equation*} y=a\left(X^{2}-\frac{b}{a}X+\frac{b^{2}}{4a^{2}}\right) + b \left( X - \frac{b}{2a}\right) + c = aX^{2} + c - \frac{b^{2}}{4a} \end{equation*}$$ sonucu çıkar. Şimdi de $y=:Y+c-\frac{b^{2}}{4a}$ kaydırmasını uygularsak, parabolümüz $Y=aX^{2}$ formuna girer. QED

Kaydırma dönüşümü fiziksel objelerde bir deformasyona sebep olmadığı için, genelliği bozmadan parabolik aynanın denkleminin $y=ax^{2}$ olduğunu varsayalım. Bu aynanın simetri eksenine paralel, yandaki şekilde görüldüğü gibi $AB$ ışını gelsin. Işın $B$ noktasından Snell kanununa göre yansıyacaktır ve $BK$ doğrusunu izlerken $E$ noktasında aynaya tekrar çarpacaktır. O zaman $\alpha := \angle ABN = \angle NBE$ (kırmızı, içi boş) ve $\beta := \angle ABC = \angle DBE = \angle DBX$ (içi koyu siyah) tanımlarsak, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$, $BN$ parabole $B$ noktasında normal veya dik, $CD$ ise teğet olurlar. Yansımanın geometrisini bulmak için $\gamma := \angle BDO$ (gri) tanımlayalım. Temel analizden parabole $(x_{0},y_{0})$ noktasında çekilen teğetin eğimi $\tan \gamma = 2ax_{0}$ olacaktır. Yansıyan ışının $x$ ekseniyle yaptığı açıya $\kappa$ dersek, $\triangle DBK$ üçgeninden $\kappa = \gamma + \beta$ olduğu görülür. Benzer şekilde, $\triangle BDX$ dik üçgeninden $\gamma = \beta + \frac{\pi}{2}$ olduğu gözlenirse, $\kappa = \gamma + \gamma - \frac{\pi}{2}=2\gamma - \frac{\pi}{2}$ bulunur. $BK$ doğrusunun eğimini bulmak için aşağıdaki trigonometri jimnastiğini yapmamız gerekiyor. ($BK$ doğrusunu bulmaktaki amacımız, yansıyan ışının $y$ eksenini kestiği $F$ noktasının parabolün odağı olduğunu göstermektir.)

$$\begin{equation*} \tan \kappa = \tan \left( 2\gamma - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\sin \left( 2\gamma - \frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left( 2\gamma - \frac{\pi}{2}\right)}=-\frac{\cos 2\gamma}{\sin 2 \gamma}=-\frac{1}{\tan 2\gamma} = \frac{\tan ^{2}\gamma - 1}{2 \tan \gamma}=\frac{4a^{2}x_{0}^{2}-1}{4ax_{0}} \end{equation*}$$ Analitik düzlemdeki denklemi $y= (\tan \kappa ) x + n$ olan $BK$ doğrusunun kesme noktasını bulmak için bu doğrunun $B=(x_{0},ax_{0}^{2})$ noktasından geçtiği bilgisini kullanalım. $$\begin{equation*} ax_{0}^{2} = \frac{4a^{2}x_{0}^{2}-1}{4ax_{0}}x_{0} + n \ \Rightarrow \ n=\frac{1}{4a} \end{equation*}$$ Kesme noktası aynı zamanda $F = (0,n)$ noktasının da konumunu vermektedir. Bu konum $AB$ ışınından bağımsızdır ve sadece parabolün eğriliğini tayin eden $a$ parametresiyle hesaplanılabilir. O zaman parabolün simetri eksenine paralel gelen bütün ışınların, ayna tarafından $F = (0,1/4a)$ odak noktasında toplanacağını ispatlamış oluyoruz.

İşaret: $F$ noktasından çok fazla foton geçtiği için, bu noktada termal enerji aniden yükselecektir. Efsaneye göre, Sicilya kuşatması esnasında (MÖ 214-212) Arşimet parabolik bir ayna yapmış ve bu ayna ile Roma donanmasının gemilerini yakmıştır.

Alıştırma: $E$ noktasına gelen $BE$ ışınının parabolik ayna tarafından tekrar simetri eksenine paralel yansıtılacağını gösteriniz.