Moleküler hidrojen katyonunda hareketin üçüncü integrali

Moleküler hidrojen katyonu, H$_{2}^{+}$, tasarlanabilecek ve deneysel olarak tespit edilebilecek en basit moleküldür. Bu molekülde çekirdeklerin uzayın belli noktalarında sabitlendikleri varsayılırsa (adyabatik kestirme veya Born Oppenheimer kestirmesi) o zaman sadece elektronun iki merkezli Coulomb potansiyeli altında hareketi söz konusudur. Çekirdeklerin de hareketli oldukları probleme üç cisim problemi (three body motion) denir ki, bu problem Newton'dan beri analitik yöntemlerle çözülememiştir. Coulomb kuvveti ile Newton'un genel çekim kanunları aynı olduğundan burada irdelediğimiz problem aynı zamanda üç cisim probleminin yaklaşık çözümlerinde de kullanılmak istenmiştir. Dolayısıyla gravitasyon literatüründe bu problem Euler problemi olarak da anılır.

Molekülün bağ uzunluğuna $2c$ diyelim ve genelliği bozmadan protonları yandaki şekilde olduğu gibi $A:=(0,0,-c)$ ve $B:=(0,0,c)$ noktalarında konuçlandıralım. Elektronun konumu $E:=(x,y,z)$ noktası ile verilsin ve konum vektörü $OE =: {\mathbf r}$ olsun. $AE=:{\mathbf r}_{A}$ ve $BE=:{\mathbf r}_{B}$ tanımladığımızda, $\theta _{A}$ niceliğini $z$ ekseni ile ${\mathbf r}_{A}$ vektörü arasında kalan açı olarak tanımlayabiliriz. Benzer biçimde $\theta _{B}$ açısını da tanımlamak mümkündür. Şekilde bu açılar koyu siyah ve koyu kırmızı renklerle gösterilmiştir.

Sistemin toplam enerjisinin, $h$, korunacağını biliyoruz, çünkü bu problemde zamana bağlı bir kuvvet yoktur. Benzer şekilde elektronun açısal momentum vektörünün $z$ bileşeni de, $L_{z}$, korunur, çünkü sistemin potansiyel enerjisi $z$ ekseni etrafında dönme simetrisine sahiptir. Aynı durum protonlar sabitlendiği için açısal momentumun $x$ ve $y$ bileşenleri için doğru değildir. $h$ ve $L_{z}$ değerlerinin korunduğunu görmek, temel mekanik eğitimi almış herkes için kolay. Ama Euler'den yaklaşık 200 yıl sonra bu hareketin üçüncü bir integrali Erikson ve Hill (doi: 10.1103/PhysRev.75.29) tarafından bulundu ki, bunu görmek o kadar da kolay değil!

$$\begin{equation*}\Omega := {\mathbf L}_{A} \cdot {\mathbf L}_{B} + 2me^{2}c^{2}(\cos \theta _{A} - \cos \theta _{B})\end{equation*}$$ Burada ${\mathbf L}_{A}$ ve ${\mathbf L}_{B}$ elektronun sırasıyla $A$ ve $B$ noktalarına göre ölçülen açısal momentumu, $m$ elektronun kütlesi, $e$ ise yüküdür. Adı geçen yazarlar üç sayfalık makalelerinde $\Omega$ niceliğinin klasik mekanikte korunduğunu göstermenin çok basit olduğunu yazıyorlar ve o yüzden de ispatını ihmal etmişler!

Biz bu ifadenin hareketin bir integrali olduğunu göstermek için önce ${\mathbf c} := (0,0,c)$ tanımlayalım. O zaman ${\mathbf r}_{A} = {\mathbf r} + {\mathbf c}$ ve ${\mathbf r}_{B} = {\mathbf r} - {\mathbf c}$ olduğu görülür. Şimdi

$$\begin{equation*}{\mathbf L}_{A} :={\mathbf r}_{A} \times {\mathbf p} = ({\mathbf r} + {\mathbf c})\times {\mathbf p} = {\mathbf r} \times {\mathbf p} + {\mathbf c} \times {\mathbf p} = {\mathbf L} + {\mathbf c} \times {\mathbf p}\end{equation*}$$ olacaktır. Burada ${\mathbf p}$ elektronun momentumu, ${\mathbf L}$ ise orijine göre ölçülen açısal momentumudur. Tamamen benzer bir alıştırmayla ${\mathbf L}_{B}={\mathbf L} - {\mathbf c} \times {\mathbf p}$ yazabiliriz. Bu iki niceliğin çarpımı bizim için önemlidir. $$\begin{equation*}{\mathbf L}_{A} \cdot {\mathbf L}_{B} = {\mathbf L} \cdot {\mathbf L} - ({\mathbf c} \times {\mathbf p}) \cdot ({\mathbf c} \times {\mathbf p})\end{equation*}$$ Korunum ispatında zamana göre türev alacağımız için $$\begin{equation*}\frac{\rm d}{{\rm d}t}({\mathbf L}_{A} \cdot {\mathbf L}_{B}) = 2 {\mathbf L} \cdot \frac{{\rm d}{\mathbf L}}{{\rm d}t} - 2({\mathbf c} \times {\mathbf p}) \cdot ({\mathbf c} \times \frac{{\rm d}{\mathbf p}}{{\rm d}t})\end{equation*}$$ türevi bize gereklidir. Newton'ın ikinci hareket kanununa göre $$\begin{equation*}{\mathbf F}_{\rm net} = \frac{{\rm d}{\mathbf p}}{{\rm d}t}\end{equation*}$$ olduğundan $$\begin{equation*}\frac{{\rm d}{\mathbf L}}{{\rm d}t}= \dot{\mathbf r} \times {\mathbf p} + {\mathbf r} \times \dot{\mathbf p}= \frac{1}{m} {\mathbf p} \times {\mathbf p} + {\mathbf r} \times {\mathbf F}_{\rm net} = {\mathbf r} \times {\mathbf F}_{\rm net}\end{equation*}$$ bulunur. Yukarıda bir vektörün kendisiyle olan iç çarpımının sıfır vektörüne eşit olduğu bilgisini kullandık ve Newton'ı takip ederek zamana göre türevi tepeye konan bir nokta ile gösterdik. Son olarak Coulomb kanununu da kullanarak net kuvveti verebiliriz. $$\begin{equation*}{\mathbf F}_{\rm net} = -\frac{e^{2}}{r_{A}^{3}}{\mathbf r}_{A} - \frac{e^{2}}{r_{B}^{3}}{\mathbf r}_{B}\end{equation*}$$ Burada $e$ elektronun yükü olup, hesaplamaları kolaylaştırmak için Coulomb sabitinin bir olduğu birimlerde çalışılmaktadır. ${\mathbf r}\times {\mathbf r}_{A}={\mathbf r} \times {\mathbf c}=-{\mathbf r} \times {\mathbf r}_{B}$ olduğunu gözlersek $$\begin{equation*}{\mathbf r}\times {\mathbf F}_{\rm net} = e^{2} \left( \frac{1}{r_{A}^{3}} - \frac{1}{r_{B}^{3}} \right) {\mathbf c} \times {\mathbf r}\end{equation*}$$ elde edilir. Tamamen benzer yöntemlerle $$\begin{equation*}{\mathbf c} \times {\mathbf F}_{\rm net} = -e^{2} \left( \frac{1}{r_{A}^{3}} + \frac{1}{r_{B}^{3}} \right) {\mathbf c} \times {\mathbf r}\end{equation*}$$ bulunacaktır. Şimdiye kadar elde ettiğimiz sonuçları toparlarsak $$\begin{eqnarray}\nonumber \frac{\rm d}{{\rm d}t}({\mathbf L}_{A} \cdot {\mathbf L}_{B}) &=& 2e^{2}\left( \frac{1}{r_{A}^{3}} - \frac{1}{r_{B}^{3}} \right)({\mathbf r} \times {\mathbf p}) \cdot ({\mathbf c} \times {\mathbf r}) + 2e^{2}\left( \frac{1}{r_{A}^{3}} + \frac{1}{r_{B}^{3}} \right)({\mathbf c} \times {\mathbf p}) \cdot ({\mathbf c} \times {\mathbf r}) \\ \nonumber &=&\frac{2e^{2}}{r_{A}^{3}} ({\mathbf r}_{A} \times {\mathbf p}) \cdot ({\mathbf c} \times {\mathbf r}) - \frac{2e^{2}}{r_{B}^{3}} ({\mathbf r}_{B} \times {\mathbf p}) \cdot ({\mathbf c} \times {\mathbf r}) \end{eqnarray}$$ denklemine ulaşırız.

$\Omega$ niceliğinin ikinci kısmı bize $\cos \theta _{A}$ ve $\cos \theta _{B}$ fonksiyonlarını vermektedir. İç çarpım kullanılarak bu açıların trigonometrik değerleri verilebilir.

$$\begin{equation*}\cos \theta _{A} = \frac{{\mathbf c} \cdot {\mathbf r}_{A}}{cr_{A}}\end{equation*}$$ Yukarıda ve bu paragraftaki bütün formüllerde $A$ yerine $B$ yazılarak, $\cos \theta _{B}$ için de geçerli olan sonuçlara ulaşılır. Şimdi $$\begin{equation*}\frac{{\rm d}\cos \theta _{A}}{{\rm d} t} = \frac{{\mathbf c} \cdot \dot{{\mathbf r}}_{A}}{cr_{A}}- \frac{{\mathbf c} \cdot {\mathbf r}_{A}}{cr_{A}^{2}}\dot{r}_{A} = \frac{{\mathbf c} \cdot {\mathbf p}}{mcr_{A}}- \frac{{\mathbf c} \cdot {\mathbf r}_{A}}{cr_{A}^{2}}\dot{r}_{A}\end{equation*}$$ elde ederiz. Ayrıca $r_{A} := \sqrt{{\mathbf r}_{A} \cdot {\mathbf r}_{A}}$ olduğundan, $\dot{r}_{A} = r_{A}^{-1} {\mathbf r}_{A} \cdot \dot{\mathbf r}_{A}=(mr_{A}^{-1}) {\mathbf r}_{A} \cdot {\mathbf p}$ olur ve dolayısıyla $$\begin{equation*}\frac{{\rm d}\cos \theta _{A}}{{\rm d} t} = \frac{{\mathbf c} \cdot {\mathbf p}}{mcr_{A}}- \frac{({\mathbf c} \cdot {\mathbf r}_{A})({\mathbf r}_{A} \cdot {\mathbf p})}{mcr_{A}^{3}}\end{equation*}$$ elde edilir. Yukarıdaki ifadede paydaları eşitlemek için birinci terimin payını ve paydasını ${\mathbf r}_{A} \cdot {\mathbf r}_{A}=r_{A}^{2}$ ile çarparsak $$\begin{equation*}\frac{{\rm d}\cos \theta _{A}}{{\rm d} t} = \frac{({\mathbf r}_{A} \cdot {\mathbf r}_{A})({\mathbf c} \cdot {\mathbf p})}{mcr_{A}^{3}}- \frac{({\mathbf c} \cdot {\mathbf r}_{A})({\mathbf r}_{A} \cdot {\mathbf p})}{mcr_{A}^{3}}\end{equation*}$$ sonucuna ulaşırız. İspatı bitirmemize çok az kaldı. Sırada belki de bütün ispatın en anahtar noktası var.
Lemma: ${\mathbf A},{\mathbf B},{\mathbf C}$ ve ${\mathbf D}$ herhangi dört vektör olsun. O zaman
$$\begin{equation*}({\mathbf A} \times {\mathbf B}) \cdot ({\mathbf C} \times {\mathbf D}) = ({\mathbf A}\cdot {\mathbf C})({\mathbf B}\cdot {\mathbf D}) - ({\mathbf A}\cdot {\mathbf D})({\mathbf B}\cdot {\mathbf C}).\end{equation*}$$ İspat: Ödev.
İspatsız yer verdiğimiz vektörel çarpıma ait bu özellik kullanıldığında aşağıdaki ifadeyi elde ederiz. $$\begin{equation*}\frac{{\rm d}\cos \theta _{A}}{{\rm d} t} = \frac{({\mathbf r}_{A} \times {\mathbf c})\cdot ({\mathbf r}_{A} \times {\mathbf p})}{mcr_{A}^{3}}\end{equation*}$$

Şimdiye kadar elde ettiğimiz sonuçlar bir araya getirilirse

$$\begin{equation*}\frac{{\rm d}\Omega}{{\rm d}t}= \frac{{\rm d}({\mathbf L}_{A} \cdot {\mathbf L}_{B})}{{\rm d}t} + 2mce^{2}\left(\frac{{\rm d}\cos \theta _{A}}{{\rm d} t} - \frac{{\rm d}\cos \theta _{B}}{{\rm d} t} \right) = 0\end{equation*}$$ olduğu ve $\Omega$ niceliğinin korunduğu gösterilmiş olur.