Biri diğerini kapsayan iki haritadaki sabit nokta

Problem 2: Dikdörtgen şeklinde ve biri diğerini kapsayan (dolayısıyla farklı ölçekli) iki haritalardan küçük olanı, büyüğün üzerine rasgele bir biçimde konulmuş olsun. Bu haritalarda aynı konumu gösteren ve çakışık bir nokta vardır. İspatlayınız.

Büyük haritayı kütle merkezi orijinle çakışacak ve uzun kenarlar $x-$eksenine paralel olacak şekilde analitik düzleme yerleştirelim. O zaman küçük haritayı da aynı şekilde analitik düzleme yerleştirmek için büyük harita üzerindeki her bir noktayı daraltma/genleşme (dilatation, inbisat) dönüşümüne tabi tutmamız gerekiyor. Düzlemdeki bir $(x,y)$ noktası için genleşme dönüşümü

$$\begin{equation*} {\cal D}_{\kappa}(x,y) := (\kappa x, \kappa y) \end{equation*}$$ denklemiyle tanımlanmaktadır. Pozitif değerli $\kappa$ parametresi bizim problemimizde $\kappa \in (0,1)$ aralığında seçilmelidir ve küçük harita ile büyük haritanın ölçekleri oranıdır. ${\cal D}_{\kappa}$ dönüşümü ile küçük haritayı elde ettik ama bu harita rasgele konulduğundan yönelimi de orijinden geçen $z-$ekseni etrafında bir dönme dönüşümü ile tespit edilmelidir. Bir noktayı saat yönünün tersine $\theta$ açısı kadar döndürmek için $$\begin{equation*} {\cal R}_{\theta}(x,y) := (\cos \theta x - \sin \theta y, \sin \theta x + \cos \theta y) \end{equation*}$$ denklemiyle tanımlanan dönme dönüşümünü uyguluyoruz. Genleşme ve dönme dönüşümleri orijinin konumunu değiştirmezler. Küçük haritanın rasgele konumunu elde etmek için merkezini (ve diğer bütün noktalarını) öteleme dönüşümü ile kaydırmamız gerekiyor. Kaydırma vektörü $\vec{a}$ ise, öteleme dönüşümü $$\begin{equation*} {\cal T}_{\vec{a}}(x,y):=(x+a_{x},y+a_{y}) \end{equation*}$$ denklemi ile tanımlanır. Şekilde dıştaki dikdörtgen büyük haritayı temsil etmektedir. Büyük harita önce genleşme ile içerideki daha küçük (sürekli çizgili) haritaya dönüşür. Ardından dönme dönüşümüyle gri ve kesikli çizgili ikinci harita elde edilir. Son olarak, kesikli çizgili harita kaydırılırsa kırmızı çizgili ve rasgele konulmuş küçük harita elde edilir.

Aradığımız çakışık nokta

$$\begin{equation*} {\cal T}_{\vec{a}}{\cal R}_{\theta}{\cal D}_{\kappa} (x,y) = (x,y) \end{equation*}$$ denkleminin çözümüdür. Bu üç doğrusal dönüşümü ardarda uyguladığımızda birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklem elde edilir. $$\begin{eqnarray}\nonumber x &=& \kappa \cos \theta x - \kappa \sin \theta y +a_{x} \\ \nonumber y &=& \kappa \sin \theta x + \kappa \cos \theta y + a_{y} \end{eqnarray}$$ Ortaöğrenim seviyesindeki bu denklemler çözüldüğünde aradığımız sabit noktanın koordinatlarını bulmuş oluruz. $$\begin{eqnarray}\nonumber x &=& -\frac{a_{x}(\kappa \cos \theta -1)+a_{y}\kappa \sin \theta}{1+\kappa ^{2} -2\kappa \cos \theta} \\ \nonumber y &=& \frac{a_{x}\kappa \sin \theta - a_{y}(\kappa \cos \theta -1)}{1+\kappa ^{2} -2\kappa \cos \theta} \end{eqnarray}$$

İşaret: $\cos \eta := -(\kappa \cos \theta -1)/\sqrt{1+\kappa ^{2} - 2\kappa \cos \theta}$ ve $\sin \eta := \kappa \sin \theta / \sqrt{1+\kappa ^{2} - 2\kappa \cos \theta}$ denklemleriyle $\eta \in [0,2\pi)$ açısını tanımlayalım. O zaman bulduğumuz sabit noktanın $\vec {a}$ vektöründen bir dönme ve genleşme dönüşümü ile elde edildiğini gözleyiniz.

$$\begin{equation*} (x,y) = {\cal D}_{\mu} {\cal R}_{\eta} \vec{a} \end{equation*}$$ Buradaki genleşme parametresi $\mu := 1/\sqrt{1+\kappa ^{2} - 2\kappa \cos \theta}$ denklemiyle tanımlanmıştır.

İşaret: Dönme ve öteleme dönüşümlerine izometri denir. İzometrik dönüşümler, uygulandıkları cisimlerdeki noktalar arası mesafelerin hepsini korurlar.

İşaret: Kinematikte Chaseles'ın teoremi olarak bilinen bir önerme şöyledir: Katı bir cisimin en genel hareketi, bir dönme ve onu takip eden bir öteleme ile elde edilebilir.

İşaret: Matematikte, tıpkı bu problemde olduğu gibi, ilk bakışta bulunması çok zor görünen durumların varlığına dair başka ifadeler de vardır. Mesela şöyle: Bir ormandaki ağaçların sayısı o ormandaki en fazla yaprak barındıran ağacın yapraklarının sayısından fazla ise, o zaman o ormanda yapraklarının sayısı birbirine eşit en az iki ağaç vardır. Ya da: Müteveffa veya hay beni Adem ile benatı Havva içünde, kaydı hayatınca tek aded musafaha eylemiş ibadullahın adedi çifttir. Birinci önermenin ipsatı basit, sadece biraz düşünmek gerekiyor. İkincisi ise graf teorisinden.