Düzgün onüçgenin trigonometrisi

Daha önce bu blogda düzgün onyedigenin trigonotmetrisini Casey'nin A Treatise on Plane Trigonometry adlı kitabından bir algoritma eşliğinde çalışmıştık. Benzer bir çalışmanın düzgün onüçgen için nasıl yapılacağını alıştırmalar şeklinde yine Casey'nin kitabından (sayfa 64) aktaracağım. Takip edilen basamaklar hemen hemen düzgün onyedigen için yaptıklarımızla aynı. Bir çemberi merkezinden birbirine eşit 13 parçaya dilimlediğimizde tepe açısı $2\pi/13$ olan açılar ortaya çıkacaktır. Biz bu postada $\alpha := \pi /13$ açısının trigonometrisine bakacağız. Alıştırmanın basamakları yan sütundadır.

Alıştırmaların son basamğından da görüleceği üzere $\cos(\pi /13)$ için üretilen cebirsel denklem kuartik yani dördüncü dereceden. O zaman bu denklem analitik yöntemlerle (mesela Ferrari-Cardano metoduyla) çözülebilir. Kuartik denklemlerin bir sakıncası genelde çözümleri için ara basamakta resolvent cubic diye tabir edilen üçüncü dereceden denklemlere ihtiyaç duyulmasıdır. (Kübik denklemlerin çözümünü daha önce bu blogda çalıştık.) Bu ise çoğu zaman karmaşık sayılara başvurmayı mecburi kılar. Düzgün onyedigeni eğer şimdi çalıştığımız yöntemle çalışsaydık, yani Chebyshev polinomlarının $T_{9}(z)=T_{8}(z)$ eşitliğinin köklerini soruştursaydık, o zaman karşımıza sekizinci dereceden bir denklem çıkacaktı. Tabii ki en genel haliyle sekizinci dereceden cebirsel denklemler çözülemez. Ama bizim orada uyguladığımız algoritma bu sekizinci dereceden denklemi üç defa kuadratik formülünü uygulayarak çözmüştü.

1. $n$ pozitif bir tamsayı olmak üzere $\theta := \pi /(2n+1)$ tanımlanıyor. $$\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n-1} \cos((2k+1)\theta) = \frac{1}{2} \end{equation*}$$ olduğunu gösteriniz.
2. $\cos \alpha+\cos 3\alpha+\cos 9\alpha$ ve $\cos 5\alpha+\cos 7\alpha+\cos 11\alpha$ niceliklerinin $$\begin{equation*} x^{2} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = 0 \end{equation*}$$ denkleminin kökleri olduğunu gösteriniz.
3. $\cos((k+1)\theta) = 2\cos(\theta) \cos(k\theta) - \cos((k-1)\theta)$ olduğunu gösteriniz. Bu aynı zamanda Chebyshev polinomları için de geçerli olan yineleme bağıntısıdır.
4. Çalıştığımız açı $\cos(9 \alpha)=-\cos(4\alpha)$ denklemini sağlar. Bunu köklerden birisinde yerine koyarak $z:=2\cos(\alpha)$ tanımıyla $$\begin{equation*} z^{4}-z^{3}-4z^{2}+2z+\frac{5+\sqrt{13}}{2}=0 \end{equation*}$$ olduğunu gösteriniz.