Astronomik uygulamalar için elips

Kepler kanunlarını veya bu kanunların hem bilim hem de hristiyanlık tarihindeki etkisini burada anlatmaya gerek görmüyorum. Güneş sistemindeki gezegenlerin hareketine dair olan bu kanunlardan ilkine göre gezegen odaklarından birisinde güneşin bulunduğu bir elips üzerinde hareket eder. Bu özel konumdan dolayı, astronomide güneş-gezegen dinamiği çalışılırken güneş (yani odaklardan birisi) orijinle çakışık olarak ele alınır. Bu genellikle bizim yabancısı olduğumuz bir konfigürasyondur, çünkü analitik geometride elipsin kütle merkezini orijine oturtmak daha kolaydır. O zaman bizim geometrici olarak vazifemiz Kepler kanunlarına uygun bir elips denklemi vermektir.

İşe elipsin tanımından başlayacağız: Adına odaklar denilen iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan düzlemdeki bütün noktaların yerine elips denir. Kuşkusuz elipsin bundan başka tanımları da var. Ama tanımlardan birisini seçip, başlamak gerekiyor. Aynı zamanda mekanik olarak elips çizimi için en uygun tanım da budur.

Şimdi genelliği kaybetmeden odakları $F_{1}:=(-f,0)$ ve $F_{2}:=(f,0)$ noktalarına yerleştirelim. Elips $x$ eksenini $(a,0)$ noktasında kessin. O zaman, elipsin tanımı uygulandığında

$$\begin{equation*} a - f + a + f = 2a =: K \ ({\rm bir \ sabit}) \end{equation*}$$ olması gerektiği görülür. Devamla elipsin $y$ eksenini $(0,b)$ noktasında kestiğini kullanırsak, o zaman da yine elipsin tanımı gereği $$\begin{equation*} 2\sqrt{b^{2}+f^{2}} = K = 2a \end{equation*}$$ olur. Her iki tarafın karesi alınıp bu denklem yeniden düzenlendiğinde odak uzaklığını ifade edebiliyoruz. $$\begin{equation*} f = \sqrt{a^{2}-b^{2}} \end{equation*}$$ Son olarak herhangi bir nokta için de elipsin tanımını kullanalım. $$\begin{equation*} \sqrt{(x-f)^{2}+y^{2}} + \sqrt{(x+f)^{2}+y^{2}} = 2a \end{equation*}$$ Her iki tarafın karesi alınıp sadeleştirmelerden sonra aşağıdaki sonuca ulaşıyoruz. $$\begin{equation*} x^{2}+f^{2}+y^{2} + \sqrt{\{(x-f)^{2}+y^{2}\}\{(x+f)^{2}+y^{2}\}} = 2a^{2} \end{equation*}$$ Bu denklemde köklü ifade tek başına bırakılıp, her iki tarafın karesi bir daha alınırsa, o zaman bazı sadeleşmelerden sonra elips için aşağıdaki -liseden alışık olduğumuz- denkleme ulaşıyoruz. $$\begin{equation*} \bbox[5px,border:3px solid black]{b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}b^{2}=0} \end{equation*}$$

Şimdi şekilde görüldüğü gibi orijini odaklardan birisine mesela $F_{1}$ noktasına kaydıralım. Bu kaydırmayı elipsin denkleminde $x \to x-f$ koyarak ifade edebiliriz: $b^{2}(x-f)^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$ denklemini açıp sadeleştirmeleri ve gerekli yeniden düzenlemeleri yaptığımızda aşağıdaki sonuca ulaşıyoruz.

$$\begin{equation*} x^{2} - b^{2} - 2fx + (a/b)^{2}y^{2} = 0 \end{equation*}$$ Şimdi elipsle ilgili bir katsayıyı tanımlamanın zamanı geldi. Bir elipsin dışmerkezlilik katsayısı (hariç an'il-merkeziyyet, eccentricity) $\epsilon := \tfrac{f}{a} = \sqrt{1 - \tfrac{b^{2}}{a^{2}}}$ denklemiyle tanımlanıyor. $f>0 \Rightarrow a>b$ gerektirdiğinden, $\epsilon \in (0,1)$ olur. $\epsilon=0$ ise elips bir çemberdir. O zaman şöyle diyebiliriz. $\epsilon$ elipsin çemberden sapmasını ölçer. Dışmerkezlilik katsayısını kullanıp denklemlerden $b$ ve $f$ niceliklerini elediğimizde çalışmamız gerekli elips denklemi şöyle olur. $$\begin{equation*} x^{2} - (1-\epsilon^{2})a^{2} - 2\epsilon a x + \frac{1}{1-\epsilon^{2}}y^{2} = 0 \end{equation*}$$

Ne yazık ki astronomide bu da yetmiyor! Çünkü genel çekim kanununda güneş ile gezegen arasındaki mesafe $r := \sqrt{x^{2}+y^{2}} \geq 0$ kullanılıyor ve kutuplu koordinatlarda denklemleri ifade etmek problemin simetrisine de uyacağı için daha bir önem kazanıyor. O zaman $x=r\cos\phi$ ve $y = r\sin \phi$ dönüşümlerini uyguladığımızda elipsin kutuplu koordinatlardaki denklemi için bazı işlemlerden sonra $r^{2} - \{\epsilon r \cos \phi + (1-\epsilon^{2})a^{2}\}^{2}=0$ denklemine ulaşıyoruz. Bu denklemi çarpanlarına ayırıp $r$ için çözdüğümüzde Kepler ve diğer astronomların kullandıkları elips denklemine ulaşıyoruz.

$$\begin{equation*} \bbox[5px,border:3px solid black]{r = \frac{(1-\epsilon^{2})a}{1 - \epsilon \cos \phi}} \end{equation*}$$

Güneşe en yakın mesafe perihelion $\phi = \pi$ durumunda ölçülür ve $(1-\epsilon)a$ kadardır. En uzak mesafe ise aphelion $\phi=0$ durumundadır ve değeri $(1+\epsilon)a$ kadardır. Aphelion ve perihelion ölçülerek gezegenin yörüngesi için $a$ (yarı majör eksen) ve $\epsilon$ değerleri kolayca tayin edilebilirler.