IMO 1964/3: Kenar uzunlukları a,b,c olan ABC üçgenine bir iç teğet çember çiziliyor. Üçgenin kenarlarına paralel olacak şekilde bu çembere teğetler çekiliyor. Bu teğetlerden her biri ABC üçgeninden bir üçgen keserler. Bu kesilen üçgenlere de iç teğet çemberler çiziliyor. Dört çemberin toplam alanını a,b,c cinsinden bulunuz.

Şimdiki olimpiyat sorularına bakınca gerçekten de son derece kolay bir soru bu. ABC üçgeni, soruda geçen dört çember ve paraleller şekilde gösteriliyor. Şimdi AH⊥BC olacak şekilde, A köşesinden BC tabanına bir dikme indirelim. İç teğet çemberin merkezinden kenarlara çizilen doğru parçaları da kenarlara diktir. O zaman AH∥WX olur. r:=|IX| ve ha:=|AH| tanımları ve üçgenin alanından hareketle rha=aa+b+c diyebiliriz. APQ üçgeninin iç teğet çemberinin yarı çapına rA diyelim. (Benzer şekilde rB ve rC uzunlukları da tanımlanabilir.) △ABC∼△APQ kullanıldığında rAr=ha−2rha benzerlik oranını da yazabiliyoruz. Bu iki denklem beraber çözüldüğünde bize rA=r−a+b+ca+b+c
eşitliğini verecektir. Diğer bir ifadeyle rA değeri, r cinsinden ifade edilmiş olur. Tamamen benzer yöntemlerle
rB=ra−b+ca+b+c ve rC=ra+b−ca+b+c
sonuçlarına da ulaşabiliriz. Aradığımız toplam alanı yukarıdaki yarı çap ilişkileri ile sadece r cinsinden ifade etme imkanı doğdu.
S:=π(r2+r2A+r2B+r2C)=4π(a2+b2+c2)r2(a+b+c)2
Soruyu bitirmek için daha önce bu blogda yer alan Kenarları verilen bir üçgene ait unsurların uzunlukları
başlıklı postadan iç teğet çemberin yarı çapını kullanıyoruz.
S=π(a2+b2+c2)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(a+b+c)3
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder