Nostaljik bir uluslararası olimpiyat sorusu

IMO 1964/3: Kenar uzunlukları $a,b,c$ olan $ABC$ üçgenine bir iç teğet çember çiziliyor. Üçgenin kenarlarına paralel olacak şekilde bu çembere teğetler çekiliyor. Bu teğetlerden her biri $ABC$ üçgeninden bir üçgen keserler. Bu kesilen üçgenlere de iç teğet çemberler çiziliyor. Dört çemberin toplam alanını $a,b,c$ cinsinden bulunuz.

Şimdiki olimpiyat sorularına bakınca gerçekten de son derece kolay bir soru bu. $ABC$ üçgeni, soruda geçen dört çember ve paraleller şekilde gösteriliyor. Şimdi $AH \perp BC$ olacak şekilde, $A$ köşesinden $BC$ tabanına bir dikme indirelim. İç teğet çemberin merkezinden kenarlara çizilen doğru parçaları da kenarlara diktir. O zaman $AH \parallel WX$ olur. $r := |IX|$ ve $h_{a}:=|AH|$ tanımları ve üçgenin alanından hareketle

$$\begin{equation*} \frac{r}{h_{a}} = \frac{a}{a+b+c} \end{equation*}$$ diyebiliriz. $APQ$ üçgeninin iç teğet çemberinin yarı çapına $r_{A}$ diyelim. (Benzer şekilde $r_{B}$ ve $r_{C}$ uzunlukları da tanımlanabilir.) $\triangle ABC \sim \triangle APQ$ kullanıldığında $$\begin{equation*} \frac{r_{A}}{r} = \frac{h_{a}-2r}{h_{a}} \end{equation*}$$ benzerlik oranını da yazabiliyoruz. Bu iki denklem beraber çözüldüğünde bize $$\begin{equation*} r_{A} = r \frac{-a+b+c}{a+b+c} \end{equation*}$$

eşitliğini verecektir. Diğer bir ifadeyle $r_{A}$ değeri, $r$ cinsinden ifade edilmiş olur. Tamamen benzer yöntemlerle

$$\begin{equation*} r_{B} = r \frac{a-b+c}{a+b+c} \ \ \ {\rm ve} \ \ \ r_{C} = r \frac{a+b-c}{a+b+c} \end{equation*}$$ sonuçlarına da ulaşabiliriz. Aradığımız toplam alanı yukarıdaki yarı çap ilişkileri ile sadece $r$ cinsinden ifade etme imkanı doğdu. $$\begin{equation*} S:=\pi (r^{2}+r_{A}^{2}+r_{B}^{2}+r_{C}^{2}) = \frac{4\pi(a^{2}+b^{2}+c^{2})r^{2}}{(a+b+c)^{2}} \end{equation*}$$ Soruyu bitirmek için daha önce bu blogda yer alan Kenarları verilen bir üçgene ait unsurların uzunlukları başlıklı postadan iç teğet çemberin yarı çapını kullanıyoruz. $$\begin{equation*} S = \frac{\pi (a^{2}+b^{2}+c^{2})(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{(a+b+c)^{3}} \end{equation*}$$