Aynı köşeye ait iç açı ortayı, kenar ortayı ve yüksekliği verilen bir üçgenin kenar uzunluklarını bulmak - 1

Daha önce bu blogda ters üçgen problemlerinden bir tanesini çalışmıştık, üç yükseklik veriliyor ve kenarların uzunlukları isteniyordu. Bugün de başka bir ters üçgen problemini çalışacağız. Bir üçgenin aynı köşesine ait iç açı ortay, kenar ortay ve yükseklik veriliyor. Bu üçgenin kenar uzunluklarını hesaplayınız.

Cebirsel denklemler

Sürekli kullandığımız üzere bu blogda kenar uzunlukları verilen bir üçgene ait unsurların uzunluklarını hesaplamayı çalışmıştık. Şimdi aynı soruyu tersinden ele almamız isteniyor. İlkin, genelliği kaybetmeden, $ABC$ üçgeninin $A$ köşesine ait sırasıyla kenar ortay, iç açı ortay ve yüksekliklerin uzunluklarını daha önce yaptığımız çalışmadan buraya getirelim. \begin{eqnarray} &&m = \frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}} \\ &&l = \frac{1}{b+c}\sqrt{bc(a+b+c)(-a+b+c)} \\ &&h = \frac{1}{2a}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \end{eqnarray} Bu denklem sisteminde $a,b,c$ bilinmeyenler ve $m,l,h$ ise bilinenlerdir. Amacımız bu denklem sistemini cebirsel yöntemlerle çalışmak. O zaman bu denklemleri köklü ifadelerden temizlekle işe başlayalım. Çok basit manipulasyonlar sonunda aşağıdaki sisteme ulaşıyoruz. \begin{eqnarray} &&4m^{2} = 2b^{2}+2c^{2}-a^{2} \label{ko} \\ &&l^{2}(b+c)^{2} = bc \left( (b+c)^{2} - a^{2}\right) \label{ao} \\ &&4h^{2}a^{2} = \left( (b+c)^{2} - a^{2}\right) \left( a^{2} - (b-c)^{2}\right) \label{yuk} \end{eqnarray} Bu sistem dördüncü dereceden terimler içeriyor ve lineer cebirin imkanları kullanılarak çözülemez. Öte yandan her üç denklemde de $a^{2}$ ifadesinin olduğuna, daha doğrusu $a$ bilinmeyeninin sadece bu formuyla denklemlerde yer aldığına dikkat edelim. O zaman ilk denklemden $a^{2} = 2b^{2}+2c^{2}-4m^{2}$ ifadesini çekip, bunu diğer iki denklemde kullandığımızda sistemimizi iki bilinmeyenli iki denkleme indirgemiş olacağız. \begin{eqnarray} &&b^{4}+c^{4}-2b^{2}c^{2}-8(m^{2}-h^{2})b^{2}-8(m^{2}-h^{2})c^{2}+16m^{2}(m^{2}-h^{2})=0 \label{bir}\\ &&b^{3}c+bc^{3}-2b^{2}c^{2}+l^{2}b^{2}+l^{2}c^{2}+(2l^{2}-4m^{2})bc = 0 \label{iki} \end{eqnarray} Bu sefer şansımız yaver gitmedi. Her ne kadar çalışılması gerekli sistemin değişken sayısını üçten ikiye indirgemiş olsak da, her iki denklemdeki $bc$ ve $b^{2}c^{2}$ çapraz terimler (cross terms) daha fazla bilinmeyen elememize imkan sunmuyorlar.

Sorunun kuruluşu gereği denklemlerimiz üç parametreye bağlı. Ama (\ref{bir}) ve (\ref{iki}) nolu denklemlerden bu parametrelerin $m^{2}-h^{2}$, $l^{2}$ ve $m^{2}$ şeklinde kendilerini gösterdiğini gözleyiniz. Acaba parametre sayısını üçten ikiye indirebilir miyiz? Bu maksatla öncelikle $m=h$ durumunda (\ref{bir}) ve (\ref{iki}) nolu denklemlerin sadece bariz olan $b=c$ çözümünü verdiklerini gözlüyoruz. Diğer bir ifadeyle $m=h(=l)$ ise, o zaman problem çözülemiyor! Problemin çözülebilir olduğu parametre uzayında ise, daha önce yaptığımız çalışmalar uyarınca, $m>h$ olmalıdır. O zaman genelliği kaybetmeden $0< d^{2} := m^{2}-h^{2}$ tanımlayalım ve denklem sistemimizdeki bütün uzunlukları $d$ biriminde ölçelim. $b =:yd$, $c =: zd$, $m =:Md$ ve $l=:Ld$ tanımlarıyla (\ref{bir}) ve (\ref{iki}) nolu denklemler şöyle olur. \begin{eqnarray} &&y^{4}+z^{4}-2y^{2}z^{2}-8y^{2}-8z^{2}+16M^{2}=0 \label{uc}\\ &&y^{3}z+yz^{3}-2y^{2}z^{2}+L^{2}y^{2}+L^{2}z^{2}+(2L^{2}-4M^{2})yz = 0 \label{dort} \end{eqnarray} Bu denklem sisteminin sadece iki parametreye bağlı olduğunu gözleyiniz.

İkinci yeni değişkenler

Yukarıdaki denklem sistemini cebirsel geometrideki Gröbner bazlarını kullanarak çözmek mümkün tabi, ama böylesine ileri dereceden bir yöntem için yapmamız gereken ön hazırlık çok fazla. Ben bu problemi değişken sayısını arttırarak çalışmayı deneyeceğim. Şimdi genelliği kaybetmeden $b>c \iff y>z$ olduğunu varsayalım. O zaman aşağıdaki nicelikler pozitiftir. \begin{eqnarray} \alpha &:=& y^{2}+z^{2} \\ \beta &:=& y^{2}-z^{2} \\ \gamma &:=& yz \end{eqnarray} Bu tanımlarla \begin{eqnarray} &&y = \sqrt{\frac{\alpha+\beta}{2}} \label{yee} \\ &&z = \sqrt{\frac{\alpha-\beta}{2}} \label{zee} \\ &&yz = \gamma = \sqrt{\frac{\alpha^{2}-\beta^{2}}{4}} \label{gamma1} \end{eqnarray} olduğu barizdir. Şimdi (\ref{uc}) nolu denklemi yeni değişkenler cinsinden ifade edelim. \begin{equation} \beta^{2} - 8 \alpha + 16M^{2} = 0 \end{equation} Bu denklem sayesinde $\beta$ niceliğini $\alpha$ cinsinden ifade etmiş oluyoruz: \begin{equation} \beta = \sqrt{8\alpha-16M^{2}} . \label{beta1} \end{equation} Benzer işlemleri (\ref{dort}) nolu denklem için de yapmamız gerekiyor. \begin{equation} \gamma (\alpha - 2\gamma) + L^{2}\alpha + (2L^{2}-4M^{2})\gamma = 0 \end{equation} Bu denklem $\gamma$ niceliğinin kuvvetlerine göre sıralandığında bize aşağıdaki denklemi verecektir. \begin{equation} 2\gamma^{2} + (4M^{2}-2L^{2}-\alpha) \gamma - L^{2} \alpha = 0 \end{equation} Kuadratik formülü kullanılarak bu denklem çözülebilir. \begin{equation} \gamma = \frac{-(4M^{2}-2L^{2}-\alpha) + \sqrt{(4M^{2}-2L^{2}-\alpha)^{2}+8L^{2}\alpha}}{4} \label{gamma2} \end{equation} (Okur bu denklemde neden diskriminantın önünde $+$ işaretini seçtiğimizi izah etmelidir.) Ama (\ref{gamma1}) ve (\ref{beta1}) nolu denklemler beraber kullanılırsa, $\gamma$ ile $\alpha$ arasında ikinci bir ilişki daha bulunur: \begin{equation} \gamma = \frac{1}{2} \sqrt{\alpha^{2}-8\alpha + 16M^{2}}. \label{gamma3} \end{equation} Elimizde $\gamma$ niceliğini $\alpha$ cinsinden veren iki denklem var. Bunları birbirlerine eşitlediğimizde çözüldüğünde $\alpha$ niceliğini veren bir denklem elde edebiliriz. \begin{equation} \frac{1}{2} \sqrt{\alpha^{2}-8\alpha + 16M^{2}} = \frac{-(4M^{2}-2L^{2}-\alpha) + \sqrt{(4M^{2}-2L^{2}-\alpha)^{2}+8L^{2}\alpha}}{4} \end{equation} Kesirleri temizlemek için her iki tarafı 4 ile çarpacağız. Kökleri ise iki aşamada temizleyeceğiz. Önce her iki tarafın karesini alalım. \begin{equation} 4(\alpha^{2}-8\alpha + 16M^{2}) = 2(4M^{2}-2L^{2}-\alpha)^{2} + 8L^{2}\alpha -2(4M^{2}-2L^{2}-\alpha)\sqrt{(4M^{2}-2L^{2}-\alpha)^{2}+8L^{2}\alpha} \end{equation} Daha sonra köklü terimi yalnız bırakacak şekilde eşitliği yeniden düzenleyelim. (Bu aşamada Maxima gibi bir bilgisayar cebir sistemi (computer algebra system) kullanmak hiç fena olmaz.) Her iki tarafın karesi alındığında köklü ifadeler tamamıyla temizlenmiş olacaktır ve çıkan denklem $\alpha$ niceliğine göre kübiktir. \begin{equation*} \bbox[5px,border:3px solid black]{ (M^{2}-L^{2}-1)\alpha^{3} + (2L^{2}M^{2}-8M^{2}+8L^{2}+8) \alpha^{2} + (16M^{6}-16L^{2}M^{4}-16M^{4}-16L^{2}M^{2}+4L^{4})\alpha + 32L^{2}M^{6}-8L^{4}M^{4} = 0} \end{equation*}

Bundan sonra yapılması gerekenler -eğer bir bilgisayar cebir sisteminiz varsa- basit: Kutu içindeki kübik denklemi çözüp $\alpha$ bulunacak. Daha sonra $\beta$ (\ref{beta1}) nolu denklemden hesaplanacak. Böylece (\ref{yee}) ve (\ref{zee}) nolu denklemler kanalıyla $y$ ve $z$ hesaplanılacak. $y$ ve $z$ bulundumu $b$, $c$ ve nihayet $a$ niceliklerinin hesaplanılması artık son derece kolaylaşmış oluyor.

Kutu içindeki kübik denklemin kök tasnifini de başka zaman yapalım.