Neden suyun kaldırma kuvveti var?

Antik Yunan kültürünün ve dahi insanlık tarihinin en nadide dahilerinden Arşimet'i (MÖ 287 — 212) bilmeyenimiz yoktur. Efsanede hazretin suyun kaldırma kuvvetini keşfettiğinde, hamamdan çıplak bir vaziyette Evreka! Evreka! (yani Buldum! Buldum!) diye bağırarak çıktığı rivayet olunur. Ortaokuldan beri bize öğretirler şu vebatançarpıdesıvı formülünü de, hiç kimse izah etmez neden böyle bir kuvvet var diye! İzaha ihtiyacı mı var? Evet efendim, var. Çünkü fizikçiler bize doğada sadece dört temel kuvvet olduğunu söylüyor: genel çekim, elektromanyetik, zayıf çekirdek ve güçlü çekirdek. Şimdi bu listede suyun kaldırma kuvveti yok. O zaman bizim ne yapıp edip suyun kaldırma kuvvetini buradaki kuvvetler cinsinden ifade etmemiz lazım. Konunun en genel haliyle ispatı için akışkanlar mekaniği çerçevesinde çok değişkenli vektör analizindeki Stokes teoremi gibi önermelere ihtiyacımız var. Burada o kadar derinlere inmeyeceğiz ve daha basit bir konfigurasyon olan suya (ya da sıvıya) tamamen batmış bir küpü inceleyeceğiz. Hatta o kadar basitleştireceğiz ki problemi, küpün alt yüzeyinin orientasyonunu da yere tamamen paralel -daha doğrusu çekim ivmesine dik- kabul edeceğiz. Şimdi küpe etki eden kuvvetlere bir bakalım. Öncelikle şekilde yeşil renkli vektörle gösterildiği gibi çekim kuvveti var. Bu kuvvet sayesinde küpün bir ağırlığı oluyor. Bu ağırlığın formülü \begin{equation*} {\mathbf W} = m{\mathbf g} \end{equation*} şeklindedir. Burada $m$ küpün kütlesi, $g \approx 9,81$ m/s2 ise dünya yüzeyindeki yerçekimi ivmesidir. Küpe etki eden diğer kuvvetler su basıncından kaynaklanacaktır. Ama burada dikkat etmemiz gereken bir husus var: Küpün bize göre sol yüzeyine belli bir seviyede etki eden sıvı basıncının tamamen aynısı sağ yüzeyine de etki ettiği için sol ve sağ yüzeylere etki eden basınçlar birbirlerini nötralize ederler. Tamamen aynı argüman küpün ön ve arka yüzeyleri için de öne sürülebilir. O zaman geriye sadece küpün üst ve alt yüzeyleri kalıyor. Üst ve alt yüzeylere etki eden basınçlar sırasıyla $p_{1} = \rho g h$ ve $p_{2} = \rho g (h+a)$ ile verilir. Burada $\rho$ sıvının yoğunluğu, $h$ küpün üst yüzeyinin sıvı yüzeyine olan uzaklığı ve $a$ küpün kenar uzunluğudur. Aşağıdaki basıncın daha büyük olduğunu gözleyiniz. Aşağı yönü pozitif alırsak küpe etki eden net kuvvet şöyle verilir. \begin{equation*} F_{\rm net} = mg + p_{1}a^{2} - p_{2}a^{2} = mg - \rho g a^{3} = gV(d - \rho) \end{equation*}

Burada $V=a^{3}$ küpün hacmi, $d := m/V$ ise küpün yoğunluğudur. O zaman $d>\rho$ ise küp aşağı doğru hareket eder (yani batar), öte yandan $d<\rho$ ise küp yukarı doğru hareket eder (yani yüzer.) $d = \rho$ durumunda ise deneye başlandığı andaki hızı neyse o hızı korur: Askıdaysa askıda kalır, batıyorsa batmaya, yüzeye çıkıyorsa da yüzeye çıkmaya devam eder. Hangi durum geçerli olursa olsun, sıvının uyguladığı kaldırma kuvveti $gV\rho$ kadardır. Bu formül küpün ne kadar derine battığından bağımsızdır! İşin kinematiğine geldiğimizde ivme vektörünü hesaplamamız gerekiyor. Hareketin ikinci kanunu gereği $F_{\rm net} = ma = gV(d-\rho)$ ya da \begin{equation*} a = g \left( 1 - \frac{\rho}{d} \right) \end{equation*} olur. (Maalesef küpün kenarı $a$ ile, hareketin ivmesi $a$ aynı sembolle gösterildi.) Bu formülde küpün ne hacmi var, ne de kütlesi! O zaman rahatlıkla şunu söyleyebiliriz. Sıvıya batan küp ister kolloid boyutunda mikroskopik, isterse de denizaltı boyutunda makroskopik bir cisim olsun, aynı kinematiği tecrübe edecektir. Toparladığımızda, suyun kaldırma kuvvetinin aslında genel çekim kanunu ve cisimlerin geometrilerinin bir sonucu olduğunu söyleyebiliriz.

Ödev: Zırhlı savaş gemileri kalın metal alaşımlardan yapılıyorlar. Bu alaşımların yoğunluğu deniz suyundan bir kaç kat daha fazla. Neden savaş gemileri batmıyor? Açıklayınız.