Cosinus teoreminin en yalın ispatı

Cosinus teoremi kuşkusuz tüm trigonometrinin en güçlü önermelerinden birisi. Fiziğin ve geometrinin tüm düzeylerinde bu temel ve güçlü önerme yaygın bir şekilde kullanılıyor. İspatı da genellikle Pisagor teoremine dayanılarak yapılıyor. Kurgusal olarak daha estetik bir ispat ise Pisagor teoremini kullanmadan cosinus teoremini ispatlamak ki bu kısa postanın da amacı budur. Hatta Pisagor teoremi bu yapacağımız ispatta cosinus teoreminin basit bir uygulaması olarak ortaya çıkmaktadır.

Kolaylık olması için çalışmamızı dar açılı bir $ABC$ üçgeninde yapacağız. $a := |BC|$, $b := |ac|$ ve $c:=|AB|$ ile üçgenin kenar uzunluklarını; $\alpha := \angle BAC$, $\beta := \angle ABC$ ve $\gamma := \angle ACB$ ile de üçgenin (dar) iç açılarını tanımlayalım. Üçgenin $A$ köşesinden $BC$ kenarına inen dikme, bu kenarı, $H_{A}$ noktasında kessin. Benzer şekilde kalan iki dikmenin ayakları için $H_{B}$ ve $H_{C}$ noktaları da tanımlanabilir. İspatın geri kalanını takip etmek için bu aşamada okur eline kağıt kalemi alıp, şu paragrafta bahsettiğimiz basit şekli çizmelidir.

Aynı yüksekliği paylaşan $ABH_{A}$ ve $ACH_{A}$ dik üçgenlerinde cosinus fonksiyonunun (ki kendisi dik üçgenlerdeki bir kenar-açı-kenar benzerlik oranından başka bir şey değildir) tanımından faydalanarak aşağıdaki denklemi rahatça yazabiliriz.

$$\begin{equation*} a = c \cos \beta + b \cos \gamma \end{equation*}$$ Tamamen benzer alıştırmalarla $b$ ve $c$ kenarları için de aşağıdaki denklemler türetilebilir. $$\begin{equation*} b = c \cos \alpha + a \cos \gamma \ \ \ {\rm ve} \ \ \ c = b \cos \alpha + a \cos \beta \end{equation*}$$

Elimizde üç tane denklem var. Bu denklemlerdeki kenar uzunluklarını bilinenler, cosinus ifadelerini de bilenmeyenler gibi düşünüp, örneğin $\cos \alpha$ bilinmeyenini basit bir lineer cebir denklem sistemi alıştırmasıyla çözdüğümüzde

$$\begin{equation*} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \alpha \end{equation*}$$ eşitliği karşımıza çıkar ki bizim de zaten göstermemiz gereken şey buydu.

İşaret: $\angle BAC$ dik açı ise, o zaman $\cos \alpha = 0$ olur ve cosinus teoremi uyarınca $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ eşitliğine ulaşırız. Ama bu Pisagor teoreminden başka bir şey değildir!

Ödev: $ABC$ üçgeninde bir iç açının geniş açı olması durumunda da cosinus teoreminin doğru olduğunu gösteriniz.