Bu postanın başlığındaki soruyu sosyal medyada gördüm ve çözümünü yaptıktan sonra muhtelif varyasyonlarını da kendim geliştirdim. Çözüm en temel düzeyde trigonometrik formülleri kullanmaktan başka bir şey gerektirmiyor ama ihtimaliyat ile trigonometriyi birleştirerek bir sentez yapmak.. sorunun cazibesi burada. Öncelikle soruyu kabule şayan bir dille ifade edelim ve ardından çözümünü verelim.
Tepe açısı $\tfrac{\pi}{3}$ radyandan küçük bir $ABC$ ikizkenar üçgeninde taban uzunluğu $a=|BC|$, ikiz kenarların uzunluğu ise $b=|AB|=|AC|$ olsun. Bu üçgen içinde rasgele bir $Q$ noktası alalım. $|QA| < |QC|$ ihtimali nedir? Diğer bir deyişle $Q$ noktasının $A$'ya $C$'den daha yakın olma ihtimalini hesaplayınız.
Şekile bakalım ve bariz bir gözlemde bulunalım: $AC$ doğru parçasını tam ortadan ikiye bölen dikme $DE$ üzerinde alınan tüm noktalar $A$ ve $C$ köşelerine eşit uzaklıktadır. (Tepe açısı $\tfrac{\pi}{3}$ radyandan küçük olduğundan $D$ noktasının $AB$ üzerinde olduğunu söyleyebiliriz.) Buradan yola çıkarak $DE$ doğrusunun kuzeyinde yer alan tüm noktaların $A$ noktasına $C$'den daha yakın olacağını söyleyebiliriz. O zaman $ADE$ üçgeninde yer alan tüm noktalar $A$ noktasına $C$ noktasından daha yakındır. Rasgele aldığımız bir noktanın $ADE$ üçgeni içinde olması peşinde olduğumuz eşitsizliği peşinen sağlar.
Bu noktada pek söylenmeyen bir varsayımdan bahsedeceğiz. Fizik literatüründe equal a priori hypothesis olarak bir varsayıma göre bir sistemin tanım kümesinde yer alan tüm durumları seçme ihtimalimiz eşittir. Ancak bu varsayıma tabi olduğumuz takdirde elimizdeki problemi çözebiliriz. Aksi takdirde problemi çözmek için yeterli veri yoktur ve soruyu hazırlayanların bize üçgen üzerindeki noktaları seçme ihtimaline dair bir ihtimal yoğunluğu vermesi gerekir. Örneğin nokta seçme işini güneyden kuzeye esen bir rüzgarlı havada yukarıdan bir mürekkep damlatmak suretiyle yapabiliriz. Bu $ADE$ üçgeni içinde nokta seçmeyi daha muhtemel kılar. Bu tip durumları dışlıyoruz...
Üçgen içindeki tüm noktaları eşit ihtimalle seçtiğimizi kabullendiğimiz zaman aradığımız ihtimal $ADE$ üçgeniyle $ABC$ üçgeninin alanlarının oranlarından ibarettir. (Neden?) Üçgenin tepe açısına $\alpha$ diyelim. Sinus teoremini uygulayarak çözümü verebiliriz. \begin{equation} p = \frac{S(\triangle ADE)}{S(\triangle ABC)} = \frac{\tfrac{1}{2} |AD||AE| \sin \alpha}{ \tfrac{1}{2}|AB||AC| \sin \alpha} = \frac{|AD||AE|}{|AB||AC|} = \frac{\tfrac{b}{2\cos \alpha} \tfrac{b}{2}}{b^{2}} = \frac{1}{4 \cos \alpha} \end{equation} Bu aşamada $\kappa := a/b$ oranını tanımlayalım. Ama cosinus teoremine göre $a^{2} = 2b^{2}-2b^{2}\cos \alpha$ ya da $\cos \alpha = 1 - \kappa^{2}/2$ olduğundan aradığımız ihtimal \begin{equation} \boxed{p = \frac{1}{4-2\kappa^{2}}} \end{equation} olur.
Ödev
Güzel bir soru gördüğümüzde onu genelleştirmek ve varyasyonları üzerinde uğraşmak en doğal tepkimizdir. İşte size uğraşın diye iki örnek:
- Aynı soruyu tepe açısının $\tfrac{\pi}{3}$ radyandan büyük olduğu durum için çözünüz.
- Rasgele seçtiğimiz $Q$ noktasının $A$ noktasına $B$ ya da $C$ noktalarından daha yakın olma ihtimalini tepe açısının her iki durumu için de inceleyiniz.
