Çukur küresel aynalar asal eksenlerine paralel gelen ışınları odaklamaz!

Şekilde gösterildiği gibi çukur küresel bir ayna alalım. Bu aynanın asal eksenine paralel gelen $AE$ ışını ayna yüzeyinden optik yansıma kanununa göre $E$ noktasından yansıyıp $EF$ ışınını oluştursun. $AE$ ışını ile aynanın asal ekseni arasındaki mesafe $|EH|=h$, aynanın yarıçapı ise $|OE| = r$ olsun. Orta öğretimde hatta yüksek öğretimde optik derslerinde böylesi bir konstrüksiyonda $AE$ ışının yansıdıktan sonra aynanın $F$ odak noktasından geçtiği ve bu odak noktasının aynanın merkezine uzaklığının $|OF| = f = r/2$ olduğu öğretilir. Bu postada amacımız bunun yanlış olduğunu göstermek.

Düzlem olmayan aynalarda yansıma, sanki ışının ayna yüzeyine çarptığı noktadan geçen teğet ayna yüzeyinde gerçekleşiyormuş gibi yapılır. Yansıma kanunu uygulayacağız ve bu amaçla şekildeki çembere $E$ noktasından bir teğet çekiyoruz. Çemberlerde yarıçap ile teğet her zaman birbirlerine diktir. O zaman $OE$ aynı zamanda teğet ayna için bir normal görevi görür. Yansıma kanunu ve temel geometrik argümanlar uyarınca $\angle AEO = \angle FEO = \angle EOF =: \alpha$ olur. Problemin parametreleri cinsinden bu açının trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini hesaplayabiliriz. $$\begin{equation*} \sin \alpha = \frac{h}{r} \ \ \ {\rm ve} \ \ \ \cos \alpha = \frac{\sqrt{r^{2}-h^{2}}}{r} \end{equation*}$$

Şimdi $\triangle EFO$ ikizkenar olduğundan cosinus teoremi uyarınca $r^{2} = 2f^{2} - 2f^{2} \cos (\angle EFO)$ ya da yeniden düzenleme ile $$\begin{equation*} f^{2} = \frac{1}{2} \frac{r^{2}}{1-\cos (\angle EFO)} \end{equation*}$$ sonucu elde edilir. Ama $\angle EFO = \pi - 2 \alpha$ olduğundan $\cos (\angle EFO) = - \cos(2\alpha) = 1 - 2\cos^{2} \alpha$ bulunur. Önceki bulgularla beraber bu sonucu kullandığımızda $$\begin{equation*} \boxed{ f = \frac{r}{2} \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{h^{2}}{r^{2}}}} } \end{equation*}$$ eşitliğine ulaşır ve analizimizi tamamlarız.

Kutu içindeki formül eğer $h \ll r$ ise, o zaman $f \approx r/2$ kabul edebileceğimizi söylüyor. Diğer bir deyişle çukur küresel ayna ancak yaklaşık olarak odaklama yapabilir. Odaklamanın iyi olması için $r$ çok büyük seçilmelidir. Ancak burada bir sorun var. $r$ çok büyük seçilir ise, o zaman odak noktası da aynanın tepe noktasından epey uzak bir noktaya düşer. Bu ise küçük bir laboratuvarda ya da bir optik spektroskopi cihazında fizibilite sorunları çıkarır. Öte yandan daha önce yerölçüsünde izah ettiğimiz gibi, paraboloid bir ayna simetri eksenine paralel gelen ışınları bir noktada mükemmel bir biçimde odaklar. Tuhaftır ki çukur küresel aynaların yaklaşık odaklama özelliklerini, şu yukarıda yaptığımız üç satırlık trigonometrik analizi vermeye dahi yüksünerek anlatan ve sanki bu aynalar tam odaklama yapabilirmiş gibi öğrencileri yanlış yönlendiren orta öğretim fizik ders kitapları (bak: sayfa 157-159) paraboloid aynalardan hiç bahsetmezler.

Bernard Shaw piyeslerinin birisinde, seyirciye hitap eden Tanrı Ra'ya Ey siz ite kaka okutulanlar! dedirtir. Adamın bir bildiği varmış...