Kirişler dörtgeninde Heron formülü ve çevrel çemberin yarıçapı

BU POSTAYI PDF FORMATINDA İNDİRMEK İÇİN TIKLA!

Şekilde $ABCD$ kirişler dörtgeni olmak üzere bu dörtgenin kenar uzunlukları $a:=|AB|$, $b:=|BC|$, $c:=|CD|$ ve $d:=|DA|$ veriliyor. Bu postada amacımız verilenler cinsinden dörtgenin alanını ve çevrel çemberin yarıçapını ifade etmek. Soruya ilk olarak Mustafa Kemal Bey'in twitter hesabından paylaştığı bir formülde rastladım. Daha sonra takipçilerinden birisi verilen yarıçap formülünün tarihçesine dair bir bilgi de paylaşmış. Anladığım kadarıyla kirişler dörtgeninin yarıçapına ait formül Avrupa'da 18. yy, Hindistan'da ise 14. yy'da biliniyormuş.

Önce kirişler dörtgeninde Heron formülünü ispatlayacağız. Şekile referansla $e:=|AC|$ uzunluğunu ve $\varphi:= m(\angle ABC)$ açısını tanımlayalım. Kirişler dörtgeninde çalıştığımız için $m(\angle ADC) = \pi - \varphi$ olacaktır. İki tane bilinmeyenimiz var. Bu iki bilinmeyen için $ABC$ ve $ACD$ üçgenlerinde cosinus teoremini uygulayarak $e$ uzunluğunu yok edecek ve $\cos \varphi$ değerini verilenler cinsinden yazacağız. $\cos (\pi - \varphi) = - \cos \varphi$ olduğunu hatırlatıyoruz.

$$\begin{eqnarray}\nonumber e^{2} &=& a^{2} + b^{2} - 2ab \cos \varphi \\ \nonumber &=& c^{2} + d^{2} + 2cd \cos \varphi \end{eqnarray}$$

Bu denklemlerden $\cos \varphi$ değeri verilenler cinsinden ifade edildiğinde $$\begin{equation*} \cos \varphi = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)} \end{equation*}$$ eşitliğine ulaşıyoruz. Alan formülünü ispatlamak için sinus teoremini bu iki üçgende uygulacağız. Ancak bunun için $\sin \varphi$ değerine ihtiyacımız var. Pisagor teoremini kullanalım ama cebirsel terim bataklığında boğulmamak için biraz kurnazlık yapmamız gerekecek. $$\begin{eqnarray}\nonumber \sin \varphi &=& \sqrt{1-\cos^{2}\varphi} = \sqrt{(1-\cos \varphi)(1+\cos \varphi)} \\ \nonumber &=& \sqrt{\left(1 - \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}\right) \left(1 + \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}\right)} \\ \nonumber &=&\frac{1}{2(ab+cd)} \sqrt{(2ab-a^{2}-b^{2}+2cd+c^{2}+d^{2})(2ab+a^{2}+b^{2}+2cd-c^{2}-d^{2})} \\ \nonumber &=&\frac{1}{2(ab+cd)} \sqrt{[(c+d)^{2}-(a-b)^{2}][(a+b)-(c-d)^{2}]} \\ \nonumber &=& \frac{1}{2(ab+cd)} \sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)} \end{eqnarray}$$ Çalışmamızın zor kısmı bitti! Bundan sonra bu formülün meyvelerini toplayacağız.

Sinus teoremini kullanarak kirişler dörtgeninin alanını hesaplayacağız. $\sin (\pi - \varphi) = \sin \varphi$ özdeşliğini hatırlayalım. O zaman $$\begin{eqnarray} \nonumber S(ABCD) &=& S(\triangle ABC) + S(\triangle ACD) \\ \nonumber &=& \frac{1}{2} ab \sin \varphi + \frac{1}{2}cd \sin \varphi \\ \nonumber &=& \frac{1}{4} \sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)} \end{eqnarray}$$ bulunur.

İşaret ve ikaz: Yerölçüsünde yıllar önce yayınladığımız bir postada Heron formülü de dahil olmak üzere kenarları verilen bir üçgene ait tüm unsurların ölçüsünü kenarlar cinsinden ifade etmiştik. Orada üçgenler için verdiğimiz Heron formülü ile burada kirişler dörtgeni için ispatladığımız Heron formülü birbirlerinin tam analoğu. Ancak bir fark var! Üçgen için verilen Heron formülü tüm üçgenlere uygulanabilirken kirişler dörtgeninde türettiğimiz Heron formülü tüm dörtgenlere uygulanamaz. Hatta genel bir dörtgenin alanı sadece kenar uzunlukları kullanılarak bulunamaz; açı değerlerine de ihtiyaç vardır. (Neden?) Okur bu ikazı unutarak burada verilen alan formülünü rastgele bir dörtgene uygularsa büyük bir ihtimalle yanlış sonuçlara varacaktır.

Ödev: Kirişler beşgeni için de Heron formülüne benzer bir alan formülü türetilebilir mi?

Çevrel çemberin yarıçapını da hesaplayarak postayı bitirelim. Kirişler dörtgeninin çevrel çemberi aynı zamanda $ABC$ üçgeninin de çevrel çemberidir. O zaman sinus teoreminden $R = \frac{e}{2 \sin \varphi}$ formülü ile bu uzunluğu hesaplayabiliriz. Okur şimdiye kadar yaptıklarımızdan bir alıştırma olarak aşağıdaki formülü kolayca türetebilir. $$\begin{equation*} e = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}} \end{equation*}$$ Nihayet tüm bulgularımızı birleştirerek yarıçap formülünü gerekli sadeleştirmelerden sonra verebiliriz. $$\begin{equation*} R = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}} \end{equation*}$$

İşaret: Gerek yarıçap gerekse alan için türettiğimiz formüllerin permütasyon simetrisini sağlaması lazım. Bu bizim için bir çeşit tutarlılık testidir ve permütasyon simetrisini sağlamayan bir sonucun doğru olma ihtimali yoktur. (Neden?) Her iki formülün de $(a,b,c,d)$ dörtlüsünün tüm permütasyonlarında yine aynı formda kaldıklarını gözleyiniz.