Salisesi salisesine analog saatlerde özel açı ilişkileri

Bu postada analog saatlerdeki bazı açı ilişkilerini gözleyecek ve periyodik uzayda bir optimizasyon yapacağız.

ÖN BİLGİ: Analog bir saatte 6-12 düşey hattı ile saat yönünde akrep $\alpha$, yelkovan $\beta$ açısı yapsın. Yelkovan saatte $2\pi$ radyanlık açıyı süpürürken aynı açıyı akrep 12 saatte süpürmektedir. Zamanı saniye biriminde ölçüp bu açıları zamanın bir fonksiyonu olarak ifade ettiğimizde $$\beta(t) = \frac{\pi t}{1800}, \ \ \ \alpha(t) = \frac{\pi t}{21600}, \ \ \ \beta(t)=12\alpha(t)$$ ilişkilerini gözlüyoruz. (Hatırlatma: 1 saatte 3600 saniye var.)

SORU 1: Akreple yelkovan arasındaki açı günün hangi saatlerinde 180 derece olur?

ÇÖZÜM: $t >0$ için $\beta(t)>\alpha(t)$ olduğundan $n \in \mathbb{N}$ olmak üzere $\beta(t) - \alpha(t) = (2n+1)\pi$ denklemini sağlayan $t$ değerlerinde akreple yelkovan 180 derecelik açı yapar. (Aralarındaki açının 0 derece olması isteniyorsa o zaman $\beta(t)-\alpha(t) = 2n\pi$ seçilmelidir.) Burada zamanın sıfır noktası analog saatte tam 12:00 olarak seçilmiştir ve bu seçim tamamen keyfidir. Açıların zaman cinsinden tanımları yerlerine konduğunda, aradığımız zaman değerleri saniye biriminde $$t_{n} = (2n+1)\frac{21600}{11}$$ olur. Burada $n \in \{ 0,1,\ldots,10\}$. Örneğin $n=2$ için $t_{2}=\tfrac{5}{11} \times 21600=\tfrac{108000}{11}$ s çıkar. Bu saniye hasılasını alışık olduğumuz saat, dakika, saniye ve salise formatında ifade etmek için $x_{n},y_{n},z_{n},w_{n} \in \mathbb{N}$ ve $0 \leq \rho_{n} \lt \tfrac{1}{60}$ olmak üzere $$t_{n} = x_{n} \times 60^{2} + y_{n} \times 60 + z_{n} + \frac{w_{n}}{60} + \rho_{n}$$ temel aritmetik alıştırmasını yapmamız gerekiyor. Bu anaokulu düzeyindeki alıştırmanın basamaklarını açık açık göstermeyeceğim. Sonuçları bir tablo ile özetleyelim.

$n$	$t_{n}$	$x_{n}:y_{n}:z_{n}:w_{n}$
$0$	$\frac{21600}{11}$	$00:32:43:38$
$1$	$\frac{64800}{11}$	$01:38:10:55$
$2$	$\frac{108000}{11}$	$02:43:38:11$
$3$	$\frac{151200}{11}$	$03:49:05:27$
$4$	$\frac{194400}{11}$	$04:54:32:44$
$5$	$21600$	$06:00:00:00$
$6$	$\frac{280800}{11}$	$07:05:27:16$
$7$	$\frac{324000}{11}$	$08:10:54:33$
$8$	$\frac{367200}{11}$	$09:16:21:49$
$9$	$\frac{410400}{11}$	$10:21:49:05$
$10$	$\frac{453600}{11}$	$11:27:16:22$

İŞARET 1: Saat $05:00:00:00$ ile $05:59:59:59$ arasında akrep ile yelkovan asla 180 derecelik açı ilişkisine gelmez. Bu saat dilimi bahsi geçen açı ilişkisinin gerçekleşmediği tek saat dilimidir.

İŞARET 2: Saat $06:00$ hariç bu tabloda verilen değerler ne kadar hassas olursa olsun hala kestirmedir, kesin değildir. Zira salise altı $\rho_{n}$ artığı bir istisna haricinde sıfır olmaz.

ÖDEV 1: Aynı alıştırmayı akrep ile yelkovan arasında sıfır derecenin olduğu saatler için tekrarlayınız.

ÖDEV 2: Akreple yelkovan arasındaki açının radyan biriminde $\Delta \varphi$ kadar artması için saniye biriminde ne kadar zaman geçmelidir?

CEVAP: $\Delta t = \tfrac{21600}{11} \tfrac{\Delta \varphi}{\pi}$

Bu sorular hazırlık niteliğindeydi. Şimdi biraz daha zor bir soruyu inceleyelim.

SORU 2: Analog bir saatte yelkovan akrepten iki kat daha uzundur. Bu iki kolun uçları ilk defa günün hangi saatinde birbirlerinden azami hızda uzaklaşır? (Bilkent Üniversitesi 1989 yılı calculus dersi vize sınav sorusu.)

ÇÖZÜM: Akrep kolunun uzunluğu $r$ olsun. Karteziyen koordinatları $x$ ekseni saat 9-3 hattı, $y$ eksenini de saat 6-12 hattı ile tanımlayalım. Akrep ve yelkovanın konum vektörleri sırasıyla $\mathbf{a}$ ve $\mathbf{y}$ olsun. O zaman bu tanımlar gereği $$\begin{eqnarray}\nonumber \mathbf{a}(t) &=& r \left( \sin \alpha (t) \mathbf{i} + \cos \alpha(t) \mathbf{j} \right) \\ \nonumber \mathbf{y}(t) &=& 2r \left( \sin 12\alpha (t) \mathbf{i} + \cos 12\alpha(t) \mathbf{j} \right) \end{eqnarray}$$ olmalıdır. Saatin iki kolu arasındaki mesafeyi Pisagor teoreminden $\varrho (t) := \|\mathbf{y}(t) - \mathbf{a}(t)\|$ ile hesaplayabiliriz. Daha açıkça ifade edildiğinde $$\varrho(t) = r\sqrt{(2\sin 12\alpha(t) - \sin \alpha (t))^{2} + (2\cos 12\alpha(t) - \cos \alpha (t))^{2}} = r \sqrt{5 - 4 \cos 11 \alpha(t)}$$ olur. Burada temel trigonometrik özdeşliklerden faydalanılmıştır. Kolların birbirlerinden uzaklaşma (veya birbirlerine yaklaşma) hızı $$\dot{\varrho}(t) = 22r\dot{\alpha} \frac{\sin 11 \alpha(t)}{\sqrt{5 - 4 \cos 11 \alpha(t)}}$$ bulunur. $\dot{\alpha}$ sabit olduğundan hesaplamaları etkilemeyecektir. Soru bizden hızın azami değerinin yakalandığını anı istiyor. O yüzden ivmeyi de hesaplamamız lazım. $$\ddot{\varrho}(t) = \frac{242r\dot{\alpha}^{2}}{(5-4\cos11\alpha(t))^{3/2}} \left( 5 \cos 11\alpha (t) - 4\cos^{2}11\alpha(t) - 2\sin^{2}11\alpha(t) \right)$$ Optimizasyonda $\ddot{\varrho}(t) = 0$ denklemini çözmek için parantezi sıfırlamamız yeterli. Temel trigonometrik özdeşlikler kullanıldığında aşağıdaki kuadratik denklemle karşılaşıyoruz. $$2\cos^{2} 11 \alpha (t) - 5 \cos 11 \alpha (t) + 2 = 0$$ Kuadratik denklemin kökleri $\tfrac{1}{2}$ ve $2$. Cosinus fonksiyonunun değer aralığı düşünüldüğünde $11 \alpha (t) = \tfrac{\pi}{3}$ ya da $t = \tfrac{7200}{11}$ s çıkar. Bu değer saat:dakika:saniye:salise formatına çevrildiğinde yaklaşık olarak $00:10:54:33$ anında saatin iki kolunun azami hızla birbirlerinden uzaklaştıkları görülür.