Processing math: 100%

28 Eylül 2023 Perşembe

Salisesi salisesine analog saatlerde özel açı ilişkileri

Bu postada analog saatlerdeki bazı açı ilişkilerini gözleyecek ve periyodik uzayda bir optimizasyon yapacağız.

ÖN BİLGİ: Analog bir saatte 6-12 düşey hattı ile saat yönünde akrep α, yelkovan β açısı yapsın. Yelkovan saatte 2π radyanlık açıyı süpürürken aynı açıyı akrep 12 saatte süpürmektedir. Zamanı saniye biriminde ölçüp bu açıları zamanın bir fonksiyonu olarak ifade ettiğimizde β(t)=πt1800,   α(t)=πt21600,   β(t)=12α(t)

ilişkilerini gözlüyoruz. (Hatırlatma: 1 saatte 3600 saniye var.)

SORU 1: Akreple yelkovan arasındaki açı günün hangi saatlerinde 180 derece olur?

ÇÖZÜM: t>0 için β(t)>α(t) olduğundan nN olmak üzere β(t)α(t)=(2n+1)π denklemini sağlayan t değerlerinde akreple yelkovan 180 derecelik açı yapar. (Aralarındaki açının 0 derece olması isteniyorsa o zaman β(t)α(t)=2nπ seçilmelidir.) Burada zamanın sıfır noktası analog saatte tam 12:00 olarak seçilmiştir ve bu seçim tamamen keyfidir. Açıların zaman cinsinden tanımları yerlerine konduğunda, aradığımız zaman değerleri saniye biriminde tn=(2n+1)2160011

olur. Burada n{0,1,,10}. Örneğin n=2 için t2=511×21600=10800011 s çıkar. Bu saniye hasılasını alışık olduğumuz saat, dakika, saniye ve salise formatında ifade etmek için xn,yn,zn,wnN ve 0ρn<160 olmak üzere tn=xn×602+yn×60+zn+wn60+ρn
temel aritmetik alıştırmasını yapmamız gerekiyor. Bu anaokulu düzeyindeki alıştırmanın basamaklarını açık açık göstermeyeceğim. Sonuçları bir tablo ile özetleyelim.

n tn xn:yn:zn:wn
0 2160011 00:32:43:38
1 6480011 01:38:10:55
2 10800011 02:43:38:11
3 15120011 03:49:05:27
4 19440011 04:54:32:44
5 21600 06:00:00:00
6 28080011 07:05:27:16
7 32400011 08:10:54:33
8 36720011 09:16:21:49
9 41040011 10:21:49:05
10 45360011 11:27:16:22

İŞARET 1: Saat 05:00:00:00 ile 05:59:59:59 arasında akrep ile yelkovan asla 180 derecelik açı ilişkisine gelmez. Bu saat dilimi bahsi geçen açı ilişkisinin gerçekleşmediği tek saat dilimidir.

İŞARET 2: Saat 06:00 hariç bu tabloda verilen değerler ne kadar hassas olursa olsun hala kestirmedir, kesin değildir. Zira salise altı ρn artığı bir istisna haricinde sıfır olmaz.

ÖDEV 1: Aynı alıştırmayı akrep ile yelkovan arasında sıfır derecenin olduğu saatler için tekrarlayınız.

ÖDEV 2: Akreple yelkovan arasındaki açının radyan biriminde Δφ kadar artması için saniye biriminde ne kadar zaman geçmelidir?

CEVAP: Δt=2160011Δφπ

Bu sorular hazırlık niteliğindeydi. Şimdi biraz daha zor bir soruyu inceleyelim.

SORU 2: Analog bir saatte yelkovan akrepten iki kat daha uzundur. Bu iki kolun uçları ilk defa günün hangi saatinde birbirlerinden azami hızda uzaklaşır? (Bilkent Üniversitesi 1989 yılı calculus dersi vize sınav sorusu.)

ÇÖZÜM: Akrep kolunun uzunluğu r olsun. Karteziyen koordinatları x ekseni saat 9-3 hattı, y eksenini de saat 6-12 hattı ile tanımlayalım. Akrep ve yelkovanın konum vektörleri sırasıyla a ve y olsun. O zaman bu tanımlar gereği a(t)=r(sinα(t)i+cosα(t)j)y(t)=2r(sin12α(t)i+cos12α(t)j)

olmalıdır. Saatin iki kolu arasındaki mesafeyi Pisagor teoreminden ϱ(t):=y(t)a(t) ile hesaplayabiliriz. Daha açıkça ifade edildiğinde ϱ(t)=r(2sin12α(t)sinα(t))2+(2cos12α(t)cosα(t))2=r54cos11α(t)
olur. Burada temel trigonometrik özdeşliklerden faydalanılmıştır. Kolların birbirlerinden uzaklaşma (veya birbirlerine yaklaşma) hızı ˙ϱ(t)=22r˙αsin11α(t)54cos11α(t)
bulunur. ˙α sabit olduğundan hesaplamaları etkilemeyecektir. Soru bizden hızın azami değerinin yakalandığını anı istiyor. O yüzden ivmeyi de hesaplamamız lazım. ¨ϱ(t)=242r˙α2(54cos11α(t))3/2(5cos11α(t)4cos211α(t)2sin211α(t))
Optimizasyonda ¨ϱ(t)=0 denklemini çözmek için parantezi sıfırlamamız yeterli. Temel trigonometrik özdeşlikler kullanıldığında aşağıdaki kuadratik denklemle karşılaşıyoruz. 2cos211α(t)5cos11α(t)+2=0
Kuadratik denklemin kökleri 12 ve 2. Cosinus fonksiyonunun değer aralığı düşünüldüğünde 11α(t)=π3 ya da t=720011 s çıkar. Bu değer saat:dakika:saniye:salise formatına çevrildiğinde yaklaşık olarak 00:10:54:33 anında saatin iki kolunun azami hızla birbirlerinden uzaklaştıkları görülür.

1 yorum:

  1. Şimdi farkettim. Açıları radyan değil de derece biriminde ölçersek Ödev 2'nin cevabı 12011Δφ oluyor. Daha sade bir katsayı en azından...

    YanıtlaSil