Bu postada analog saatlerdeki bazı açı ilişkilerini gözleyecek ve periyodik uzayda bir optimizasyon yapacağız.
ÖN BİLGİ: Analog bir saatte 6-12 düşey hattı ile saat yönünde akrep α, yelkovan β açısı yapsın. Yelkovan saatte 2π radyanlık açıyı süpürürken aynı açıyı akrep 12 saatte süpürmektedir. Zamanı saniye biriminde ölçüp bu açıları zamanın bir fonksiyonu olarak ifade ettiğimizde β(t)=πt1800, α(t)=πt21600, β(t)=12α(t)
SORU 1: Akreple yelkovan arasındaki açı günün hangi saatlerinde 180 derece olur?
ÇÖZÜM: t>0 için β(t)>α(t) olduğundan n∈N olmak üzere β(t)−α(t)=(2n+1)π denklemini sağlayan t değerlerinde akreple yelkovan 180 derecelik açı yapar. (Aralarındaki açının 0 derece olması isteniyorsa o zaman β(t)−α(t)=2nπ seçilmelidir.) Burada zamanın sıfır noktası analog saatte tam 12:00 olarak seçilmiştir ve bu seçim tamamen keyfidir. Açıların zaman cinsinden tanımları yerlerine konduğunda, aradığımız zaman değerleri saniye biriminde tn=(2n+1)2160011
n | tn | xn:yn:zn:wn |
---|---|---|
0 | 2160011 | 00:32:43:38 |
1 | 6480011 | 01:38:10:55 |
2 | 10800011 | 02:43:38:11 |
3 | 15120011 | 03:49:05:27 |
4 | 19440011 | 04:54:32:44 |
5 | 21600 | 06:00:00:00 |
6 | 28080011 | 07:05:27:16 |
7 | 32400011 | 08:10:54:33 |
8 | 36720011 | 09:16:21:49 |
9 | 41040011 | 10:21:49:05 |
10 | 45360011 | 11:27:16:22 |
İŞARET 1: Saat 05:00:00:00 ile 05:59:59:59 arasında akrep ile yelkovan asla 180 derecelik açı ilişkisine gelmez. Bu saat dilimi bahsi geçen açı ilişkisinin gerçekleşmediği tek saat dilimidir.
İŞARET 2: Saat 06:00 hariç bu tabloda verilen değerler ne kadar hassas olursa olsun hala kestirmedir, kesin değildir. Zira salise altı ρn artığı bir istisna haricinde sıfır olmaz.
ÖDEV 1: Aynı alıştırmayı akrep ile yelkovan arasında sıfır derecenin olduğu saatler için tekrarlayınız.
ÖDEV 2: Akreple yelkovan arasındaki açının radyan biriminde Δφ kadar artması için saniye biriminde ne kadar zaman geçmelidir?
CEVAP: Δt=2160011Δφπ
Bu sorular hazırlık niteliğindeydi. Şimdi biraz daha zor bir soruyu inceleyelim.
SORU 2: Analog bir saatte yelkovan akrepten iki kat daha uzundur. Bu iki kolun uçları ilk defa günün hangi saatinde birbirlerinden azami hızda uzaklaşır? (Bilkent Üniversitesi 1989 yılı calculus dersi vize sınav sorusu.)
ÇÖZÜM: Akrep kolunun uzunluğu r olsun. Karteziyen koordinatları x ekseni saat 9-3 hattı, y eksenini de saat 6-12 hattı ile tanımlayalım. Akrep ve yelkovanın konum vektörleri sırasıyla a ve y olsun. O zaman bu tanımlar gereği a(t)=r(sinα(t)i+cosα(t)j)y(t)=2r(sin12α(t)i+cos12α(t)j)
Şimdi farkettim. Açıları radyan değil de derece biriminde ölçersek Ödev 2'nin cevabı 12011Δφ oluyor. Daha sade bir katsayı en azından...
YanıtlaSil