Aşkın bir fonksiyonun türevi ve grafiği

Aşağıdaki soru 1996 yılında Bilkent Üniversitesi, Calculus dersi vize imtihanında çıkmış. Sorunun Okan Tekman Hoca tarafından hazırlandığı tahmin ediliyor.

SORU: $x^{y}+y^{x}=3$ ise $y^{\prime}(1)$ nedir?

ÇÖZÜM: Bu denklem $y=f(x)$ formunda bir çözüm yapmamıza imkan tanımıyor. O yüzden önce denklemi çözüp daha sonra türevi almak gibi beyhude bir gayeye ümit bağlamadan doğrudan türev alacağız. Türev alabilmek için aşkın denklemi üstel fonksiyonu yardımıyla manupulasyonu daha zahmetsiz bir forma sokuyoruz.

$$\exp(y\log x) + \exp(x\log y) = 3$$ Bunu yazdıktan sonra gerisi zincir kuralını kullanarak türev alma becerimize kalıyor. $$0 = \left(y^{\prime} \log x + \frac{y}{x}\right) x^{y} + \left(\log y + \frac{xy^{\prime}}{y}\right) y^{x}$$ Bu denklem $y^{\prime}$ için lineer ve kolayca çözülebilir: $$y^{\prime}(x) = - \frac{yx^{y-1}+y^{x}\log y}{xy^{x-1}+x^{y}\log x}.$$ "Hah, şimdi bulduk türevi!" demek için erken zira $y^{\prime}(1)$ aynı zamanda $y(1)$ değerine de bağlı. Bu yüzden aşkın denklemde $x=1$ koyup $1^{\infty}$ belirsizliği çıkmaması için de dua edip $y(1)$ değerini bulmamız gerekiyor. Şimdi, $3=1^{y}+y^{1}=1+y$ eşitliğinden $y(1)=2$ çıkar. Bunu türevde yerine koyduğumuzda cevap $y^{\prime}(1) = -2-2\log 2$ çıkmaktadır.

---

Sorunun çözümü aslında bu kadar ama biz sineğin yağını çıkarmaya devam edeceğiz. İlkin 3 gibi nisbeten keyfi bir değer yerine $a > 1$ olmak üzere elimizdeki aşkın denklemi

$$x^{y} + y^{x} = a$$ şeklinde modifiye ediyoruz. Vize sorusunun çözümünde bulduğumuz türev ifadesi hala geçerliliğini koruyor. Türev ifadesindeki logaritmalarda arıza çıkmaması için sadece birinci kadranda işlemlerimizi yapalım. Aşağıdaki alıştırmaları çözünüz.

1. Sıralı $(u,v)$ çifti çalıştığımız aşkın denklemi çözsün. O zaman $(v,u)$ çifti de bir çözümdür. İspatlayınız.
2. $y(x)$ fonksiyonunun grafiğinin birinci kadranda $y=x$ doğrusuna göre simetrik olduğunu gösteriniz.
3. Özel değerler: $(1,a-1)$ ve $(a-1,1)$ çiftleri her zaman birer çözümdür.
4. Özel değerler: $y(x)$ eğrisi birinci kadranda $y=x$ doğrusunu $x=y=W_{0}(a/2)$ noktasında keser. Burada Lambert-$W$ fonksiyonu $W(z)\exp(W(z))=z$ denkleminin birinci kadrandaki çözümü şeklinde tanımlanmaktadır.
5. Özel değerler: $y(x)$ eğrisi birinci kadranda $y=x$ doğrusunu dik keser.
6. Sıralı $(u,v)$ çifti çalıştığımız aşkın denklemi çözsün. O zaman $y^{\prime}(u) y^{\prime}(v) = 1$ olur.
7. Tüm $x>0$ için $y^{\prime}(x) \lt 0$.
8. $x \to \infty$ asimptotiğinde $y \sim \tfrac{\log a}{\log x}$ kestirmesi geçerlidir ve $\lim_{x\to \infty} y(x) = 0$ olur.
9. $x \to 0$ asimptotiğinde $y \sim a^{\tfrac{1}{x}}$ kestirmesi geçerlidir ve $\lim_{x\to 0} y(x) = \infty$ olur.

$a=3$ için $y(x)$ fonksiyonunun grafiği ve asimptotik kestirmeler aşağıdadır. $y(x)$ fonksiyonunu Raphson-Newton yineleme algoritmasıyla sayısal olarak çözdük. (Hatırlatma: doğal logaritma fonksiyonunu bu blogda daima log ile gösteriyoruz.)