Carl Bender'ın derlediği iki kar küreme problemi

Aralık ayının sonlarındayız. Calculus ve adi diferansiyel denklemler finallerinin eli kulağında. Herkese final sınavlarında başarılar ve yıl başında bol kar yağışı diliyorum. Bu günlerin anlam ve önemini havi, aşağıdaki soruları Bender ve Orszag'ın yazdığı İleri Matematiksel Metodlar kitabının birinci faslında gördüm. Çözümüyle beraber Yerölçüsü Blogu'nda paylaşmak istedim. Erbabı, Bender'a asimptotik analiz ve bilhassa perturbasyon teorisi literatüründen, rahmetli Orszag'a ise spektral yöntemlerdeki çalışmalarından aşinadır.

R. P. Agnew'ın Kar Küreme Problemi: Günlerden bir gün, yoğun ama sabit hızda bir kar yağışı başlamış. Öğlen 12:00'de çalışmaya başlayan bir kar küreme ekibi çalışmalarının ilk saatinde 2 km, ikinci saatinde ise 1 km yol temizleyebilmiş. Buna göre kar yağışı ne zaman başlamıştır? (İpucu: Kar küreme makinesinin hızı, kar yüksekliği ile ters orantılıdır.)

Çözüm: Zamanı saat biriminde ölçelim. Zamanın sıfır noktası öğlen saat 12:00 olarak tespit edilsin. Kar yağışı $\tau \lt 0$ anında başlamış olsun. Kar sabit hızda yağdığına göre, kar yüksekliği ile zaman arasında anlık olarak $h(t) = \alpha (t-\tau)$ şeklinde bir ilişki olmalıdır. Burada $\alpha \gt 0$ olmak üzere bir orantı sabitidir. Kar küreme makinesinin hızı kar yüksekliği ile ters orantılı olduğuna göre $t \gt 0$ için aşağıdaki adi diferansiyel denklem geçerli olur.

$$\frac{dx(t)}{dt} = \frac{\beta}{\alpha} \frac{1}{t - \tau} = \frac{\kappa}{t-\tau}$$ Burada $\beta \gt 0$ kar yüksekliği ile kar küreme makinesinin hızı arasında bir (ters) orantı sabiti olup, $0 \lt \kappa := \beta / \alpha$ olarak tanımlanmıştır. $x(0)=0$ başlangıç şartına tabi $x(t)$ fonksiyonu ise kar küreme makinesinin konumunu veriyor. Zannedersem tarif edilebilecek en basit adi diferansiyel denklem şablonuna ait olan bu denklemin çözümü Calculus'un temel teoremiyle kolayca yapılabilir. Sonuç aşağıdadır. $$x(t) - x(0) = x(t) = \kappa \left( \log(t-\tau) - \log(-\tau) \right)$$

Şimdi soruda verilenleri kullanalım. Çalışmanın ilk saatinde 2 km, ikinci saatinde 1 km yol alınmış. Yani $x(1)-x(0) = 2$ km ve $x(2)-x(1)=1$ km alınacak. (Anlamlı sayılar jandarması, lütfen otur oturduğun yerde!) Veyahut

$$\begin{eqnarray}\nonumber 2 &=& \kappa \left( \log(1-\tau) - \log(-\tau) \right), \\ \nonumber 1 &=& \kappa \left( \log(2-\tau) - \log(1-\tau)\right), \end{eqnarray}$$ olur. $\kappa$ orantı sabitini elemek için bu iki denklem taraf tarafa bölünür ve yeniden düzenlenirse aşağıdaki aşkın (transcendental) denkleme ulaşılır. $$2\log(2-\tau) - 3\log(1-\tau) + \log(-\tau) = 0$$ Bu denklem aşkın gibi gözüküyor ancak her iki tarafın üstelini aldığımızda onu cebirsel hale getirmek mümkün. $$1 = \frac{(2-\tau)^{2}(-\tau)}{(1-\tau)^{3}} = \frac{-\tau^{3}+4\tau^{2}-4\tau}{1-3\tau+3\tau^{2}-\tau^{3}}$$ Gerekli sadeleştirmelerden sonra denklemin kübik değil kuadratik olduğu görülür. $$\tau^{2} - \tau - 1 = 0$$ Bu denklemin negatif kökünü aldığımızda $$\tau = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0,6180 \ \text{saat} \ \ \ \text{ya da } \ \ \tau\approx -37,08 \ \text{dakika}$$ bulunur. Buna göre kar yağışı saat 11:23 sularında başlamıştır.

---

Yukarıdaki orijinal problemin çözümü nisbeten basitti. Riyazi ve fenni bilimlerdeki her fikri genelleştirmek ve bir kadame daha zorlaştırmak geleneği uyarınca, Bender ve Orszag bu problemin daha karmaşık bir versiyonuna da yer vermiş.

M. S. Klamkin'in Büyük Kar Küreme Konvoyu: (ZOR) Yevmen min-el-eyyam, yine yoğun ama sabit hızda bir kar yağışı başlamıştı. Özdeş üç kar küreme makinesini kullanan üç ekip, aynı noktadan başlayarak, aynı yolu, aynı istikamette temizlemek amacıyla saat 12:00, 13:00 ve 14:00'te harekete geçti. Bu konvoydaki üç ekip de tek bir noktada tekrar karşılaştıklarına göre kar yağışı saat kaçta başlamıştır?

Çözüm: Bir önceki sorunun çözümünde olduğu gibi zamanı yine saat biriminde ölçecek ve zamanın sıfır noktasını saat 12:00 olarak alacağız. Kar yağışı $\tau \lt 0$ anında başlasın. Sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü ekibin kat ettiği yollar $x(t)$, $y(t)$ ve $z(t)$ fonksiyonları ile verilsin. Bu fonksiyonların başlangıç şartları $x(0)=y(1)=z(2)=0$ şeklindedir. Çözümün nihayetinde bizden $T \gt 2$ olmak üzere $x(T)=y(T)=z(T)$ denklemini çözüp $\tau$ değerini bulmamız bekleniyor. Birimsiz niceliklere geçerek sağda solda $\kappa$ niceliğini yazmak yerine $\xi := x / \kappa$, $\eta := y/\kappa$ ve $\zeta := z / \kappa$ ile notasyonu bir kademe daha sadeleştirebiliriz.

İlk ekibin yol fonksiyonu için hareket denklemini ve çözümünü aslında yukarıda verdik. Burada sonucu birimsiz niceliklerde yeniden üretmekle yetineceğiz.

$$\frac{d \xi (t)}{dt} = \frac{1}{t-\tau} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \xi(t) = \log \left( \frac{t-\tau}{-\tau} \right) \ \ \ \text{ve} \ \ \ t = t_{1}(\xi) := -\tau \left( e^{\xi} - 1\right).$$

İkinci ekibin kürediği yol için benzer bir hareket denklemi geçerli ancak ilk ekip yolu onlardan önce temizlediği için, $\eta$ noktasında yolda yeniden biriken kar toplamda $t-\tau$ değil de $t - t_{1}(\eta)$ kadar sürede birikmiş olmalıdır. Bu da çözülmesi gereken hareket denklemini aşağıdaki forma kor.

$$\frac{d\eta (t)}{dt} = \frac{1}{t-t_{1}(\eta)} = \frac{1}{t-\tau+\tau e^{\eta}}$$ $(t-\tau)/\tau =: s$ tanımıyla yeni değişkenlerde bu denklem Lambert-$W$ fonksiyonunun türevine dönüşür. Ama daha kolayı var: $t=t_{2}(\eta)$ tanımıyla bu denklem lineer hale gelerek Leibniz'in integral faktörü tekniğiyle kolayca çözülür. $$\frac{dt}{d\eta} = t - \tau + \tau e^{\eta} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{dt}{d\eta} - t = - \tau + \tau e^{\eta} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{d}{d\eta} \left( t e^{-\eta} \right) = -\tau e^{-\eta} + \tau$$ $t_{2}(0)=1$ başlangıç şartı kullanılarak bu toplam diferansiyelin integrali rahatça alınır. Sonuç aşağıdaki gibidir. $$t = t_{2}(\eta) = \tau + \left( 1 - \tau + \tau \eta \right) e^{\eta}$$

Ara Yorum: Problemin kurucu denklemleri (constitutive equations) göz önüne alındığında birinci ekiple ikinci ekip arasında nitel olarak net bir fark oluşuyor. İlk ekibin önünde hep kar var ve hatta kar kalınlığı giderek artıyor. Bu da ilk ekibin giderek yavaşlamasına neden oluyor. Ancak ikinci ekip, ilk ekibin daha önceden temizlediği yolu tekrar temizlediği için ilk ekibe yetişene kadar kar kalınlığı yol boyunca giderek azalıyor. Dolayısıyla ikinci ekip hızlanarak ilerliyor. Hatta ilk ekibe yetiştiği anda önündeki kar kalınlığı teorik olarak sıfırlandığı için $\dot{\eta}$ denkleminde bir tekillik (singularite, sıfır payda) oluşuyor. Bu singulariteye sonlu zamanda erişiliyor. Öte yandan bizim çözdüğümüz diferansiyel denklemde singularite $dt_{2}/d \eta = 0$ anlamına gelmektedir. Tekilliğin $t^{\star} = t_{2}(\eta^{\star})$ zamanında yakalandığını varsaydığımızda yaptığımız analizin $t_{2} \in (1,t^{\star})$ için geçerli olduğu hatırdan çıkarılmamalıdır.

Şimdi singularitenin tanımından $t^{\star} = -\tau e^{\eta^{\star}} + \tau$ olduğu görülür. Ayrıca bu değer $t_{2}(\eta^{\star})$ değerine eşitlenirse o zaman

$$t^{\star} = -\tau e^{-1/\tau} + \tau \ \ \ \text{ve} \ \ \ \eta^{\star} = -\frac{1}{\tau}$$ ara sonuçlarına ulaşılır. Bu aşamada cingözlük edip $t^{\star} = t_{1}(\eta^{\star})$ denklemini çözerek $\tau$ değerine ulaşabileceğinizi sanıyorsanız boşuna denemeyin. $a=a$ şablonunda bir totolojiyle karşılaşıyorsunuz. Çare yok. Mecbur üçüncü ekip için de benzer bir analiz yapmak durumundayız.

Üçüncü ekip $\zeta(2) = 0$ başlangıç şartına tabi olarak yola koyulacak ve $\zeta$ konumuna $t$ zamanında eriştiğinde önündeki kar kalınlığının akümülasyonu için geçmesi gereken zaman $t-t_{2}(\zeta)$ kadar olacak. O zaman çözmemiz gereken hareket denklemi aşağıdaki gibidir.

$$\frac{d \zeta (t)}{dt} = \frac{1}{t-t_{2}(\zeta)} = \frac{1}{t-\tau-(1-\tau+\tau \zeta)e^{\zeta}}$$ Bu denklemi çözmek için kendimizi boş yere parelememizin bir manası yok zira $t=t_{3}(\zeta)$ fonksiyonu için geçerli olan diferansiyel denklem de lineer ve integral faktörünü çok kolayca bularak bir toplam diferansiyele ulaşabiliyoruz. $$\frac{dt}{d\zeta} = t-\tau-(1-\tau+\tau \zeta)e^{\zeta} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{dt}{d\zeta} - t = -\tau-(1-\tau+\tau \zeta)e^{\zeta} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{d}{d\zeta} \left( t e^{-\zeta} \right) = -\tau e^{-\zeta} - 1 + \tau - \tau \zeta$$ Calculus'un temel teoremini kullanarak integral alırken dikkat etmemiz gereken yegane püf nokta $t(0)=t_{3}(0)=2$ olduğudur. İntegralin sonucu aşağıdaki gibidir. $$t = t_{3}(\zeta) = \tau + \left( 2 - \tau - (1-\tau)\zeta - \frac{\tau}{2}\zeta^{2} \right) e^{\zeta}$$ Allah'tan başka bir ekip yok da işler büsbütün zıvanadan çıkmıyor.

Nihayet çözüme ulaşacağız! Daha önceden yazdığımız singularite argümanı üçüncü ekip ikinci ekibi yakaladığı anda da geçerli. Ancak bizden istenen üçüncü ekibin ikinci ekibi yakalamasıyla ikinci ekibin ilk ekibi yakalamasının aynı konum ve zamanda gerçekleşmesi. Yani $t^{\star} = t_{3}(\eta^{\star})$ denklemini çözmemiz gerekiyor. $t^{\star}$ ve $\eta^{\star}$ için yukarıda verdiğimiz ifadeleri yerine koyduğumuzda neredeyse her şey birbirini götürüyor ve şaşırtıcı derece kolay birinci dereceden bir cebirsel denklemle $\tau = -1/2$ sonucuna ulaşıyoruz. (Lütfen deneyiniz.) Dakika biriminde bu değer -30 dakika olduğundan kar yağışı tam olarak saat 11:30'da başlamıştır. Ekipler $t^{\star} = \tfrac{1}{2} ( e^{2}-1) \approx 3,1945$ saat sonra ortak tekilliğe ulaşırlar. Geleneksel ifadesiyle bu 15:12 sularına tekabül eder.