Kübik bir polinomda birbirinin negatifi iki kök olup olmadığı nasıl anlaşılır?

Kök yapısını soruşturduğumuz polinom aşağıdaki denklemle verilsin. \[ p(X) = AX^{3}+BX^{2}+CX+D\] Bizden çözmemiz istenen problem şöyledir:

Soru: Kübik bir polinomun köklerinin $(\pm r, s)$ yapısında olması için katsayılar üzerindeki gerek ve yeter şart nedir? Böylesi bir polinomun köklerini hesaplayınız.

Çözüm: Bu sorunun başka cebirsel cingözlüklerle de çözümü vardır mutlaka ama biz bütün polinomlara genelleştirilebilecek ve diskriminant fonksiyonunu taklit eden bir indikatör fonksiyonla bu sorunu çözeceğiz. Hatırlanacağı üzere diskriminant çakışık kök olup olmadığının sinyalini veren ve simetrik bir fonksiyondu. Benzer şekilde birbirinin negatifi iki kök bulunduğunda sıfırlanan ve simetrik bir fonksiyon tanımlayarak işe başlayalım. \[ \Xi(r_{1},r_{2},r_{3}) := (r_{1}+r_{2})(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{3})\] Bu fonksiyonun permütasyonlar altında simetrik olduğu ve birbirinin negatifi iki kök bulunduğunda sıfır olacağı barizdir. Bu çeşit permütasyon simetrisine sahip başka temel fonksiyonlar da var: \begin{eqnarray}\nonumber \sigma_{1}(r_{1},r_{2},r_{3}) &:=& r_{1} + r_{2} + r_{3}, \\ \nonumber \sigma_{2}(r_{1},r_{2},r_{3}) &:=& r_{1}r_{2} + r_{1}r_{3} + r_{2}r_{3}, \\ \nonumber \sigma_{3}(r_{1},r_{2},r_{3}) &:=& r_{1}r_{2}r_{3}. \end{eqnarray} Literatürde bu temel simetrik fonksiyonlara Viete-Girard simetrik fonksiyonları deniyor. Muhtemelen lise matematik eğitimi sırasında bu fonksiyonları ve bunların polinomların katsayıları cinsinden ifadesini gördünüz: $\sigma_{1} = -B/A$, $\sigma_{2} = C/A$ ve $\sigma_{3} = -D/A$.

Burada ispatına yer vermeyeceğimiz bir teorem tüm simetrik fonksiyonların Viete-Girard simetrik fonksiyonları cinsinden ifade edilebileceğini söyler. Biz de öyle yapacak ve $\Xi$ fonksiyonunu $\sigma_{i}$ cinsinden yazmaya çalışacağız. \begin{eqnarray}\nonumber \Xi &=& (\sigma_{1}-r_{3})(\sigma_{1}-r_{2})(\sigma_{1}-r_{1}) \\ &=& (\sigma_{1}^{2} - \sigma_{1}(r_{2}+r_{3}) + r_{2}r_{3})(\sigma_{1}-r_{1}) \\ \nonumber &=& \sigma_{1}^{3} - \sigma_{1}^{2}r_{1} - \sigma_{1}^{2}(r_{2}+r_{3}) + \sigma_{1}r_{1}(r_{2}+r_{3}) + \sigma_{1}r_{2}r_{3} - r_{1}r_{2}r_{3} \\ \nonumber &=& \sigma_{1}^{3} - \sigma_{1}^{2}(r_{1}+r_{2}+r_{3}) + \sigma_{1}(r_{1}r_{2} + r_{1}r_{3} + r_{2}r_{3}) - \sigma_{3} \\ \nonumber &=& \sigma_{1}\sigma_{2} - \sigma_{3} \end{eqnarray} Kübik bir polinomda $A \ne 0$ olduğundan, $\Xi = 0 \iff A^{2} \Xi = 0$ olacaktır. Katsayılar cinsinden yazıldığında elimizdeki indikatör fonksiyonu aşağıdaki gibi sade bir forma indirgenir. \[ \boxed{A^{2}\Xi = AD-BC} \] Problemi çözdük! Gerek ve yeter şart kutu içindeki ifadenin sıfır olması şeklinde zuhur etti.

Problemin kalan kısmında kökleri bulmamız gerekiyor. İlkin $\sigma_{1}= r - r + s = s = -B/A$ olduğundan, köklerden ayrık olanı hemen bulunur. Dahası $\sigma_{3} = -r^{2}s=-D/A$ ya da $r=\sqrt{-D/B}=\sqrt{-C/A}$ olur ve problemin çözümü tamamlanır.

Açık konuşmak gerekirse bu problemin çözümünün daha zor ve uzun tutmasını bekliyordum. Öyle olmadı. Bir de dördüncü dereceden polinomlar için benzer problemler çıkarıp onları çözelim.

Ödev

$A \ne 0$ olmak üzere genel bir kuartik polinom verilsin. \[ f(X) = AX^{4} + BX^{3} + CX^{2} + DX + E \]

1. Kök yapısının $(\pm r, s_{1},s_ {2})$ şeklinde zuhur etmesi için gerek ve yeter şartı bulunuz. (Köklerden birisi ötekinin negatifi.)
2. Kök yapısının $(\pm r, \pm s)$ şeklinde zuhur etmesi için gerek ve yeter şartları bulunuz. (Kökler negatif çiftler halinde.)
3. Kök yapısının $(r_{1}, r_{2}, r_{3},s)$ ve $r_{1}+r_{2}+r_{3}=0$ şeklinde zuhur etmesi için gerek ve yeter şartı bulunuz. (Köklerden birisi diğer ikisinin toplamının negatifi.)

Umarım 2024 herkes için güzel geçer.