Soru: $q(X):=aX^{2}+bX+c$ ve $Q(X):=AX^{2}+BX+C$ ile iki kuadratik polinom veriliyor. Bu ikisinin ortak kökleri bulunması için katsayılar üzerindeki gerek ve yeter şartı bulunuz.
İkaz: Burada polinomların gerçel analitik düzlemde kesiştiği noktaları aramıyoruz. Örneğin $x^{2}+1$ ve $-x^{2}-1$ polinomları gerçel analitik düzlemde asla kesişmez ama tüm kökleri ortaktır.
Çözüm: Buna benzer bir problemi geçen yılın son blog postasında çözmüştük. Orada kullandığımız temel fikir aradığımız özellik sağlanınca sıfır olan ve kökler cinsinden yazılabilen simetrik bir indikatör fonksiyonu icat etmekti. Her ne kadar indikatör fonksiyon kökler cinsinden yazılsa da permütasyon simetrisinden dolayı kökleri hesaplamadan da değeri bulunabiliyordu. Bu problemi çözerken de böyle yapacağız ve adına resultant
denilen bir fonksiyon tanımlayacağız. $q$ ve $Q$ polinomlarının kökleri sırasıyla $\{r_{1},r_{2}\}$ ve $\{s_{1},s_{2}\}$ olsun. O zaman ilk defa J. J. Sylvester tarafından tanıtılan resultant fonksiyonu
\[ R(r_{1},r_{2};s_{1},s_{2}) := A^{2}a^{2}(r_{1}-s_{1})(r_{1}-s_{2})(r_{2}-s_{1})(r_{2}-s_{2}) \]
ile verilir.
İşaret: Polinomların derecesi 2 olduğundan $a \ne 0$ ve $A \ne 0$ olmalıdır. O zaman $R$ fonksiyonunun sıfır olması için gerek ve yeter şart $r_{i}=s_{j}$ biçiminde bahsi geçen polinomların en az bir ortak köke sahip olmalarıdır.
İşaret: Resultant fonksiyonu $\{r_{1},r_{2}\}$ arasındaki permütasyonlara göre simetriktir. Benzer şekilde $\{s_{1},s_{2}\}$ değişkenleri arasındaki permütasyonlara göre de simetriktir. Ancak tüm değişkenleri alıp bir permütasyon yaparsanız simetri bozulabilir.
Resultantın simetrik olması onu Viete-Girard polinomlarını kullanarak katsayılar cinsinden ifade edebileceğimiz anlamına geliyor. Cebirin temel teoremine göre $Q(X)=A(X-s_{1})(X-s_{2})$ olduğundan \[ R = a^{2} Q(r_{1})Q(r_{2})\] yazabiliriz.
İşaret: Bize resultantın değerinden ziyade işareti lazım ve işaret $Q$ polinomunun $q$ polinomunun köklerindeki işaretine bağlı. Bir polinomun işaretinin başka bir polinomun köklerindeki değerinin sorgusuna literatürde Tarski sorgusu denir ve cebirsel geometeri literatüründe bu problemin kendine özgü bir yeri vardır.
Resultant, Sylvester matrisleri ve determinantları kullanılarak etkin bir şekilde hesaplanabilir. Biz burada problemin küçüklüğünden dolayı sadece simetrik fonksiyonları kullanacağız. Hatırlatalım: $\sigma_{1} := r_{1}+r_{2} = -b/a$ ve $\sigma_{2} := r_{1}r_{2} = c/a$ ile tanımlanmaktaydı. \begin{eqnarray}\nonumber R &=& a^{2}(Ar_{1}^{2}+Br_{1}+C)(Ar_{2}^{2}+Br_{2}+C) \\ \nonumber &=& a^{2} \left(A^{2}r_{1}^{2}r_{2}^{2} + B^{2}r_{1}r_{2} + C^{2} + ABr_{1}r_{2}(r_{1}+r_{2}) + AC(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}) + BC(r_{1}+r_{2})\right) \\ \nonumber &=& a^{2}\left(A^{2} \frac{c^{2}}{a^{2}} + B^{2}\frac{c}{a} + C^{2} - AB \frac{bc}{a^{2}} + AC((r_{1}+r_{2})^{2}-2r_{1}r_{2}) - BC \frac{b}{a} \right) \\ \nonumber &=& A^{2}c^{2} + B^{2}ac + C^{2}a^{2} - ABbc + ACb^{2} - 2ACac - BCab \\ \nonumber &=& (Ac-Ca)^{2} - (Ab-Ba)(Bc-Cb) \end{eqnarray}
