van der Waals akışkanının molar kütlesi: tekil perturbasyon açılımı

$a$ ve $b$ pozitif sabitler olmak üzere basınç ($p$), sıcaklık ($T$), hacim ($V$) ve mol sayısı ($n$) nicelikleri arasında aşağıdaki ilişkinin sağlandığı akışkanlara van der Waals akışkanı denir. \begin{equation*} \left( p + \frac{n^{2}a}{V^{2}} \right) (V-nb) = nRT \end{equation*} Akışkanın molar kütlesine $M_{w}$ dersek, yoğunluğunu problemin parametreleri cinsinden $d := nM_{w}/V$ denklemiyle ifade etmemiz gerekir. İster teorik isterse sayısal çalışmalarda bilimsel problemlerde ilk işimiz birimli niceliklerden kurtulmak ve onların yerine birimsiz nicelikler uydurmaktır. Bunu yaparken de problemin bize sunduğu parametrelerden istifade ederiz. \begin{equation*} \xi := d\frac{b}{M_{w}}, \ \ \alpha := T\frac{bR}{a} \ \ {\rm ve} \ \ \varepsilon := \frac{1}{p} \frac{a}{b^{2}}. \end{equation*} Okur bir alıştırma olarak yukarıda tanımladığımız niceliklerden $\xi,\alpha$ ve $\varepsilon$'un gerçekten de birimsiz olduklarını gösterebilmelidir. $\xi$ birimsiz yoğunluk, $\alpha$ birimsiz sıcaklık ve $1/\varepsilon$ ise birimsiz basınç gibi düşünülebilirler. Birimsiz nicelikler van der Waals denklemine konulduğunda aşağıdaki cebirsel denkleme ulaşırız. \begin{equation*} \boxed{\xi - 1 + \varepsilon (\xi^{3} - \xi^{2} + \alpha \xi) = 0} \end{equation*} Eğer $\alpha$ ya da $\varepsilon$ bilinmeyen ise, bunları çözmenin son derece kolay olduğunu, öte yandan $\xi$ problemin bilinmeyeni ise, o zaman çözülmesi gereken cebirsel denklemin kübik olduğunu gözleyiniz. Daha önce yerölçüsünde kübik denklemleri çözdük. Dolayısıyla problemin cebirsel çözümü aslında bizim için aşılmış bir meseledir.

Büyüklerimiz bize analizin limit alma sanatından ibaret olduğunu söylemişlerdir. Dahası fiziksel sistemlerin bazı limitlerdeki davranışı da onların karakterlerini ortaya çıkarmakta kullanılır. Tıpkı zor şartlarda insanların gerçek karakterlerinin ortaya çıkması gibi. Örneğin $p \to 0$ limitinde gazlar idealliğe yaklaşırlar. Bu postada ise başka bir limitten, van der Waals akışkanı için $p \to \infty$ limitinden bahsedeceğiz ve $p \to \infty$ limitinde gazın molar kütlesinin ortaya çıktığını izah etmeye çalışacağız. Söz konusu limitte $\varepsilon \to 0$ olduğu barizdir.

Bir küçüklük parametresinin tanımlanabildiği ve sistemin bu küçüklük parametresinin değişik katmanlarının bir toplamı gibi düşünülebildiği problemler perturbasyon teorisi ile incelenebilir. Burada bizim küçüklük parametremizin $\varepsilon$ olduğu barizdir. Analitik olarak kutu içindeki denkleme değişik mertebelerden kestirmeler sunmak için birimsiz yoğunluğun $\varepsilon =0 $ etrafındaki Taylor serisine bakacağız. (Taylor serilerinin yakınsamama hakkı her zaman mahfuzdur.) \begin{equation*} \xi(\alpha;\varepsilon) = \xi_{0}(\alpha) + \xi_{1}(\alpha) \varepsilon + \xi_{2}(\alpha) \varepsilon^{2} + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty} \xi_{j}(\alpha) \varepsilon^{j} \end{equation*} Burada $\xi_{j}$ katsayılarının $\varepsilon$ parametresinden bağımsız olduklarını özellikle vurguluyoruz. Ama bu denklemde $\varepsilon = 0$ korsak, o zaman $\xi(\alpha;0) = \xi_{0}(\alpha)$ olduğu ortaya çıkar. Öte yandan $\varepsilon =0$ için kutu içindeki denklem $\xi -1 = 0$ formuna girer. Farkında mısınız? Çok tuhaf bir şey oldu ve bizim Taylor serisinde kendimize referans aldığımız noktada denklemin derecesi üçten bire düştü.

Küçüklük parametresinin tam olarak sıfır alındığı durumlarda eğer problem karakter değiştiriyorsa, örneğin derecesi düşüyorsa, o zaman bu tip problemlere tekil (singular) perturbasyon problemi denir. Cebirsel olarak kutu içindeki denklemin üç tane kökü var. Ama bizim perturbasyon açılımımız bunlardan sadece bir tanesine kestirme sunabiliyor. Allah'tan kestirme sunulan kök, fiziksel problemin de peşinde olduğu kök...

Anlatageldiğimiz tartışmadan $\xi_{0}(\alpha)=1$ olması gerektiği barizdir. Ayrıca -eğer perturbasyon açılımı yakınsıyor ise, o zaman- $\varepsilon \to 0$ limitinde $\xi \to 1$ olduğu da kolayca görülür. Birimsiz niceliklerden çıkıp, problemi tekrar birimli niceliklerde ifade ettiğimizde bu \begin{equation*} \lim_{p \to \infty} bd = M_{w} \end{equation*} sonucunu bize verir. Bu denklem bize verdiği sonuç yönüyle muhteşemdir. Zira yüksek basınçta preslenme ile van der Waals akışkanının sadece yoğunluğunu ölçerek onun molar kütlesini kestirebildiğimizi rahatlıkla bu denklemden çıkartabiliriz.

Daha iyi bir kestirme sunmak istediğimizde $\xi_{1}(\alpha) = \xi^{\prime}(\alpha;0)$ denkleminden faydalanacağız. Burada ve perturbasyon açılımının bütün katmanlarında türevler sadece $\varepsilon$ değişkenine göre alınmıştır. Şimdi kutu içindeki denklemde formal olarak türev alınırsa, o zaman aşağıdaki arasonuca ulaşırız. \begin{equation*} {\rm AS:} \ \ \ \xi^{\prime}(\alpha;\varepsilon) = \frac{-\xi^{3}(\alpha;\varepsilon)+\xi^{2}(\alpha;\varepsilon)-\alpha \xi(\alpha;\varepsilon)}{1+\varepsilon (3\xi^{2}(\alpha;\varepsilon)-2\xi(\alpha;\varepsilon)+\alpha)} \end{equation*} Burada $\varepsilon=0$ konulmasıyla ve daha önce bulduğumuz $\xi(\alpha;0)=1$ sonucuyla, $\xi^{\prime}(\alpha;0)=-\alpha$ türevi hesaplanılır. Dolayısıyla yüksek basınç limitinde aşağıdaki gibi daha iyi bir kestirme sunabiliriz. \begin{equation*} \xi(\alpha;\varepsilon) = 1 - \alpha \varepsilon + O(\varepsilon^{2}) \end{equation*} Bu denklem birimli nicelikler cinsinden yazılıp yeniden düzenlendiğinde yüksek basınçta bir van der Waals akışkanının \begin{equation*} d = \frac{M_{w}}{b} - \frac{M_{w}R}{b^{2}} (T/p) \end{equation*} denklemini sağladığını söyler. Malzeme mühendisi bu denkleme baktığında yoğunluğa karşı $T/p$ grafiğinin yüksek basınçta eğimi $-M_{w}R/b^{2}$ kesme noktası ise $M_{w}/b$ olan bir doğru olduğunu görür. Deneysel olarak bu grafik elde edildikten ve en küçük kareler tekniği uygulandıktan sonra kesme noktasının eğime oranı $-b/R$ olarak ortaya çıkar. Bakın $b$ sabitini tayin etmek için de bir yol bulmuş olduk. Ardından bulduğumuz $b$ sabiti ve kesme noktasıyla molar kütleye uzanabiliriz.

Birinci dereceden perturbasyon kestirmesinin de ötesine geçmek isteyen okur, önce $2! \xi_{2}(\alpha) = \xi^{\prime \prime}(\alpha;0)$ olduğunu göstermeli ve daha sonra (AS) etiketli denklemin türevini alarak \begin{equation*} \xi(\alpha;\varepsilon) = 1 - \alpha \varepsilon + \alpha (1+\alpha) \varepsilon^{2} + O(\varepsilon^{3}) \end{equation*} kestirmesine uzanmalıdır. Birimli nicelikler bu denkleme konulduğunda malzeme mühendislerine ve deneycilere nasıl ekmek çıkar, o da ayrı bir merak konusu.

Left as an exercise: the joke of scientific writing

We all have been students and we all have suffered a certain attitude called left as an exercise or Proof: Trivial. QED from textbook writers. If we are to name names, Thomas W. Hungerford, with his Algebra is number one on my list. That book is the super massive black hole of dense writing. Perhaps Geroch, Dirac or Abraham and Marsden come second. Below is an historical example, or rather a proof, that some authors leave these exercises without actually solving them. (No, I do not claim that TWH is as such.) It is about constructing a triangle whose angle-bisectors are given with ruler and compass, which has no solution other than special cases. This inverse geometric problem has been the subject of a PhD thesis by Richard Philip Baker as late as 1903 and his solution uses techniques of algebraic geometry. I reproduce page V of the thesis here. The first five paragraphs clearly state the difficulty of the problem, whereas the final one refers to the Proof: Trivial. attitude.

THE HISTORY OF THE PROBLEM

The problem of constructing a triangle when the lengths of the bisectors of the angles are given has been an outstanding problem among geometers from the time of Pascal and certainly from the time of Euler.

Brocard has summed up the literature, dealing almost entirely with special cases, of which the most extensive treatment appears to be the solution of the problem when one angle is a right angle due to Marcus Baker. This problem is of the sixth order. Among many special treatments that appear in the smaller journals the fundamental problem of determining the character of the algebraic irrationality involved is not mentioned. As a result apparently conflicting statements occur as to the order of the equation concerned, this depending on accidental choice of the parameter field.

The only paper dealing with the general case where the internal bisector formulas are used is P. Barbarin's. The case where the external formulas are to be used and the case where two of the assigned bisectors refer to the same vertex is not treated in general in any paper known to the writer.

Barbarin proved that the general internal problem could be solved by the solution of an algebraic equation of order not greater than twelve. The irreducibility and group of the equation are not discussed, and as the equation itself is not set out explicitly further reduction of the order of the problem is not precluded.

The method of attack used by Barbarin is to solve first the problem when an angle and two bisectors are given, and to use the result as a basis for attacking the general problem. The necessary sacrifice of symmetry prevents any explicit comparison with the solution given in this paper except at the cost of labor disproportionate to the result.

The problem must have an extensive domestic history in the schools: Barbarin charges that E. Catalan was among those who have proposed it as an elementary exercise, and from a Russian scholar the writer learns that it has been there extensively used in the schools as a standard set-back for ambitious young geometers.

---

R. P. Baker was a lawyer and practiced law in Texas. He later did a PhD at the University of Chicago in the field of algebraic geometry. (Another lawyer turned into scientist at the University of Chicago is Edwin Hubble, the man who discovered that our universe is expanding.) Baker is also known for producing and selling three dimensional models of geometrical objects. Some of these items are now museum pieces and displayed at various math departments in the US.

Olmaz olsun olmak ya da olmamak tercümesi veyahut umum ibadullahı tercüme mevzuunda tenvir gayretim

Kıymetdar Canavar Muhibleri Cemiyeti azalarına selam ider, Hakk Teala Hazretlerinden cümlenize afiyet ve sıhhat temenni iderim,

Muhterem Efendim, muasır ediblerin ve bahusus şuaranın kutbul aktablarından Ezra Lumis Pavund Beyefendinin Kıraatin Elifbası namlı kitabına, bu siyaseten hareketli ve hararetli günlerde nazar ettiydim. Ezra Efendi kitabında, fakirin tahkik etmeden ahzu kabul ettiği bir fikre muhalefette bulunuyor ve buyuruyordu ki: Makbul bir ehli kalem olmak içün ziyadesiyle okumak vacib değildir. Taaccüb ettim. Zira, divane bakar-perestlerin imanı taklidisi gibi umum milleti ve hatta edibleri, neredeyse zebanzed bir kelam mertebesine ref edilmiş, bu hükme gafilane teslim olmuş gördüm. Lakin, Ezra Efendinin ilmi cedeldeki kudreti fakirin fehmini dahi aciz bıraktığından tafsilatına girmekten şimdilik içtinab ediyorum.

Nicedir zihnimde bunun gibi başka bir zevali sanem vuku bulmuştu. Bendeniz esasen onu arzetmek niyetindeyim. Malumu aliniz olduğu üzere İngiliz milleti bidayette korsanlık ve eşkıyalık, ba'deha tüccarlık vasıtasıyla bir cihan devleti tesis etmiş ve akabinde lisanının ve edebiyatının beynel milel intişarına da mazhar olmuştur. İngiliz lisanının Vilyam Bleyk gibi muhayyilesi pek parlak veyahut Vilyam Şekspir gibi üslubu cilveli ve narin, kamusu ise cüsseli sanatkarlarının asarının nasıl tercüme edileceği meselesi de bizi meşgul etmektedir.

Mekteplerde muallimler salim bir tercüme içün ecnebi lisanının kelimatına aşina olmanın kafiyetinden dem vururlar. Fakir, ilmi kamusun kafi değil, belki lazım olduğunu ve müteercimin kamustan daha elzem merhalelerden geçmiş olmaklığına kanaat etmiş bulunuyorum. Bu kanaatimi de bir misalle izah edeceğim. Şöyle ki, mektep medrese görmüş umum münevverlerin malumu olduğu üzere, edebiyat ve dahi hikmet dairesinin en meşhur satırlarından birisi de Vilyam Şekspir'in Danimarka Prensi Hamlet'e söylettiği To be, or not to be: that is the question. cümlesidir. Bu cümlede zikrolunan sekiz kelime İngiliz lisanının sarf u nahv, mantık ve dahi hikmet cihetlerinden en birinci ve en elzem muktesebatları olmaları hasebiyle İngilizce talebelerine daha bidayette talim olunur. Gel gör ki hazırlık okullarından mezun evladı vatan taklitten mürekkep bir tuti veyahut terkipten mahrum bir şibhi beşer gibi, bu güzide satırı Olmak ya da olmamak: İşte bütün sorun bunda. diyerek tercüme ediyorlar. Va esefa! İnsaniyetin La uhibbul afilin! nidasının makamca zıllinde duran bu tereddüt mırıltısı böyle serkeş ve hoyrat ağızlarla salhhaneye gönderilmemelidir!

Vakıa, bazı hikmete vakıf müteercimler bu cümleye Varlık mı, yokluk mu? İşte bütün sorun bunda. diye bir Türkçe libas giydirmişler. Lakin bu libas To be, or not to be'nin cesametine muadil olmayıp, fakirin Bilkent Darül Funununda talebe iken giydiği keten pantolonların artık kendi hattı istivasına muadil olmaması gibi, bu abidei hikmetin üstünde münasebetsiz durmaktadır. Zira hükema tasarruf ettiği lisanda sabit kadem olduğu gibi hikmet de ıstılahında kıskançtır. O derece ki ibn Sina Farisidir amma felsefeye dair Kitabül Şifa'sını Arapça telif eylemiştir. Binaenaleyh Hamlet tercümesinde hikmete (felsefeye) müracaatımız elzemdir ve hükema mabeyninde makbul olan ıstılah bizi Vücud mu, adem mi? İşte bütün mesele bunda. demeye icbar eder.

Kanaatimce zahir olmuştur ki müteercime lazım olan ecnebi lisanının kamusundan ziyade, kendi lisanın hikmetine vukufiyettir.

---

2010 tarihinde bir eposta grubuna gönderdiğim bir mektup. Çok az bir değişiklikle burada tekrar paylaştım. Ezra Pound'un fotoğrafını wikipedia'dan aldım.