İki boyutta noktasal tanecikler arası esnek çarpışmanın trigonometrisi

Kütlesi $m$, hızı $+x$ yönünde $v_{\circ}$ olan bir cisim başlangıçta ilgili referans/koordinat sisteminde duran bir tanecikle esnek olarak çapışıyor. Saçılmadan sonra hareketin bir düzlem üzerinde kalacağı barizdir. (Neden?) Saçılmanın geometrisi öyle ki $m$ cismi $+x$ ekseni ile $\alpha$ açısı yapan bir $v$ hızı ile saçılırken, kütlesi $M$ olan öteki cisim ise yine aynı eksenle $\beta$ açısı yapan bir $w$ hızıyla saçılıyor. Amacımız $\alpha$ ve $\beta$ arasında trigonometrik bir bağıntı bulmak.

Saçılma ister elastik (esnek) isterse inelastik (esnek olmayan) bir biçimde gerçekleşsin, $m$ ve $M$ kütlelerinden oluşan sisteme dışarıdan bir kuvvet etki etmeyeceği için, toplam momentum vektörü korunacaktır. Hareket iki boyutta gerçekleştiği için bu bize iki tane denklem sunar. Öncelikle toplam momentumun $x$ bileşeninden başlayalım.

$$\begin{equation*} mv_{\circ} = mv \cos \alpha + Mw \cos \beta \end{equation*}$$ Bu denklemde görünüşte iki parametre var. Ama her iki tarafı $m$ ile böler ve $\kappa := M/m$ oranını tanımlarsak, o zaman denklemimizdeki parametre sayısını ikiden bire düşürmüş oluruz. $$\begin{equation*} \boxed{ v_{\circ} = v \cos \alpha + \kappa w \cos \beta } \end{equation*}$$ İkinci olarak $y$ yönündeki toplam momentum vektörünü yazalım. $$\begin{equation*} 0 = mv \sin \alpha - M w \sin \beta \end{equation*}$$ Her iki tarafı $m$ ile bölüp $\kappa$ tanımını uygularsak aşağıdaki denkleme ulaşırız. $$\begin{equation*} \boxed{0 = v \sin \alpha - \kappa w \sin \beta} \end{equation*}$$ Kutu içindeki her iki formülde de her iki tarafında karelerini alıp taraf tarafa toplama yapar ve $\sin^{2} \varphi + \cos^{2} \varphi =1$ ve $\cos (\varphi + \vartheta) = \cos \varphi \cos \vartheta - \sin \varphi \sin \vartheta$ trigonometrik özdeşliklerinden faydalanırsak o zaman aşağıdaki nisbeten daha sade ara sonuca (as1) ulaşırız. $$\begin{equation*} {\rm as1:} \ \ \ v_{\circ}^{2} = v^{2} + \kappa^{2} w^{2} + 2 \kappa v w \cos (\alpha + \beta) \end{equation*}$$

Çarpışma elastik olduğu için toplam kinetik enerji de korunacaktır. O zaman

$$\begin{equation*} \frac{m}{2}v_{\circ}^{2} = \frac{m}{2}v^{2} + \frac{M}{2}w^{2} \end{equation*}$$ denklemi geçerli olur. Yine her iki tarafı $m/2$ ile bölüp $\kappa$ tanımını uygularsak, o zaman $$\begin{equation*} \boxed{v_{\circ}^{2} = v^{2} + \kappa w^{2}} \end{equation*}$$ denklemini elde ediyoruz.

Bu noktaya değin yapageldiğimiz analizde bir şey dikkatimizi çekmeli. Problemimizin bilinmeyenleri $\alpha,\beta,v,w$ olmak üzere dört adet. Öte yandan biz kutu içindeki denklemleri, ki fiziksel prensiplerden türettik bunları, saydığımızda üç adet denklem yazabiliyoruz. Varacağımız yargı kaçınılmaz olarak iki boyutta, iki noktasal cismin elastik çarpışmasına ait problemin çözülemeyeceğidir. Problemin çözümü derken, bilinmeyenlerin tamamen bilinen nicelikler cinsinden ifade edilmesini kastediyoruz.

Şimdi (as1) etiketli denklem ile kutu içindeki üçüncü denklemi taraf tarafa çıkartır ve sonucu yeniden düzenlersek

$$\begin{equation*} \cos (\alpha + \beta) = \frac{1-\kappa}{2 \kappa} \frac{w}{v} \end{equation*}$$ bağıntısına ulaşırız. Burada eğer kütleler çok özel olarak $m=M$ şeklinde seçildiğinde, örneğin nötron-nötron çarpışması gibi, $\kappa=1$ ve $\cos (\alpha+\beta)=0$ sonucu çıkacaktır. Bu ise $\alpha + \beta = \tfrac{\pi}{2}$ olmasını gerektirir. Demek ki özdeş noktasal taneciklerin elastik çarpışmalarında saçılma açısı her zaman $90^{\circ}$ oluyormuş. Bizim pu postada amacımız bu durumu genelleştirmek.

Şimdi ikinci kutudaki denklem yeniden düzenlenirse, o zaman $w/v = \sin (\alpha ) / \kappa \sin (\beta)$ ara sonucuna ulaşılır. Bu ara sonuç $\cos (\alpha + \beta)$ için verilen denklemde yerine konursa aşağıdaki ifadeye ulaşırız.

$$\begin{equation*} \cos(\alpha + \beta) = \frac{1-\kappa}{2\kappa} \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \end{equation*}$$ Artık bu aşamadan sonra amacımız $\alpha$ ve $\beta$ arasında daha net bir ilişki türetilmek için trigonometri bilgimizi kullanmak. $$\begin{eqnarray} \nonumber \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta &=& \frac{1-\kappa}{2\kappa} \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \\ \nonumber \frac{1}{2} \cot \alpha \sin (2\beta) - \sin^{2} \beta &=& \frac{1-\kappa}{2\kappa} \\ \nonumber \cot \alpha \sin (2\beta) + \cos (2\beta) &=& \frac{2-\kappa}{2\kappa} \\ \nonumber \cos \alpha \sin (2\beta) + \sin \alpha \cos (2\beta) &=& \frac{2-\kappa}{2\kappa} \sin \alpha \\ \nonumber \sin(2\beta + \alpha) &=& \frac{2-\kappa}{2\kappa} \sin \alpha \end{eqnarray}$$ Son olarak her iki tarafa da arcsin fonksiyonunu uygularsak, saçılma açılarından birisini ötekisi cinsinden ifade etmiş olur ve çözümü tamamlarız. $$\begin{equation*} \beta = -\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{2-\kappa}{2\kappa} \sin \alpha \right) \end{equation*}$$