İntegral analiz kullanmadan koni, piramid ve düzgün dörtyüzlü için hacım hesabı

Alan ve hacim hesaplamaları geometrinin çıkış noktalarından birisidir. Küp, silindir, dikdörtgenler prizması gibi basit şekillerin hacim formülleri tanımlar kovalanarak kolayca bulunurken koni, küre, düzgün dörtyüzlü gibi şekillerin hacimlerinin hesaplanmasının genellikle integral alınarak hesaplandığından söz edilir. Koni Eski Yunanlılarca adına konik kesitler denilen parabol, hiperbol, elips ve çember gibi şekilleri içerdiği için çalışılmıştır. Dahası Arşimet, koninin hacmini kullanarak kürenin hacmini de integral kullanmadan hesaplamıştır. Biz bu postada, hiç integral kullanmadan koni ve benzeri şekillerin hacimlerini hesaplayacağız.

Koniden, koniye benzer bir kısmı tabana paralel olacak şekilde keselim. Aşağıda kalan parçaya literatürde frustum denmektedir. Frustumun yüksekliği $h_{1}$, taban alanı ise $S_{1}$ olsun. Benzer şekilde kesilen koninin yüksekliğine $h_{2}$, taban alanına ise $S_{2}$ diyelim. Taban alanların kare kökleri koni tabanlarını oluşturan yarı çapla orantılı olduğundan, üçgenlerin benzerliğinden faydalanarak

$$\begin{equation*} \sqrt{\frac{S_{2}}{S_{1}}} = \frac{h_{2}}{h_{1}+h_{2}} \end{equation*}$$ yazabiliriz. Bu denklem vasıtasıyla problemin dört parametresinden bir tanesini, mesela $h_{2}$ parametresini denklemlerden eleyebiliriz. Bundan sonra $$\begin{equation*} h_{2} = h_{1} \frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{2}}-\sqrt{S_{1}}} \end{equation*}$$ ifadesini kullanacağız. Bu postada koninin hacminin ($V$), taban alanı ($S$) ve yüksekliği ($h$) cinsinden $V = \kappa Sh$ şeklinde bir formülle verildiği varsayıp, daha sonra buradaki $\kappa$ sabitini bulacağız. Frustumun hacmi $$\begin{eqnarray}\nonumber V_{F} &=& \kappa S_{1}(h_{1}+h_{2}) - \kappa S_{2}h_{2} \\ \nonumber &=& \kappa \frac{S_{1}^{3/2}}{S_{1}^{1/2}-S_{2}^{1/2}} h_{1} - \kappa \frac{S_{2}^{3/2}}{S_{1}^{1/2}-S_{2}^{1/2}} h_{1} \\ \nonumber &=& \kappa h_{1} (S_{1}+\sqrt{S_{1}S_{2}}+S_{2}) \end{eqnarray}$$ şeklinde ifade edilebilir. Şimdi frustumda $h_{1}$ uzunluğunu çok küçülttüğümüzde, frustumun geometrisi bir silindire çok yaklaşır ve asimptotik olarak $S_{2} \to S_{1}$ ve hacim formülünde $V_{F} \to 3\kappa S_{1}h_{1}$ olur. Ama bu formülün bir silindirin hacmini verebilmesi için $\kappa = 1/3$ olmalıdır. Demek ki taban alanı $S$, yüksekliği $h$ olan bir koninin hacmi $$\begin{equation*} V = \frac{1}{3} Sh \end{equation*}$$ formülüyle veriliyormuş.

Burada yaptığımız çalışmanın piramitler ve düzgün dörtyüzlü içinde geçerli olduğunu ve ilgili cisimlerinin taban alanı ve yükseklik çarpımlarının üçte birinin onların hacmini vereceğini gözleyiniz.