Bu posta bir teoremin hipotez kısmını kontrol etmenin veya tümevarımın ilk basamağındaki genellikle çok basit ispatı yapmanın önemini hatırlatmak için yazdırılıyor. Kim mi yazdırıyor? Tecrübe. Bir problemle uzunca bir süre uğraşıp daha sonra gerçek olamayacak kadar güzel sonuçlara ulaştığımda nerede hata yaptığımı ararken bu basit basamağı atlayıp hayıflanmam bana bu postayı yazdırıyor.
$i \in \{1,\ldots,n\}$ ve $\kappa_{i} > 0$ olmak üzere \begin{equation*} D_{n}(x) := x^{n} + \kappa_{1}x^{n-1} + \kappa_{1}\kappa_{2}x^{n-2} + \cdots + (\kappa_{1}\kappa_{2} \cdots \kappa_{n}) \end{equation*} polinom dizisini tanımlayalım. Analitik kimya çalışanlar bu polinom dizisini bir yerlerden mutlaka hatırlayacaktır ama konunun kimyasal yönünün burada hiç önemi yok. Tanım gereği $x\geq 0$ ise o zaman $D_{n}(x) > 0$ olması gerektiğini gözleyiniz. Zira polinomun bütün katsayıları pozitif. Dolayısıyla $D_{n}$ polinomlarının gerçel kökleri aranacaksa bu kökler negatif olmalıdır.
Basit bir cebirsel manupulasyon ile $D_{n}$ dizisi için aşağıdaki yineleme bağıntısını kolayca elde edebiliriz. \begin{equation*} D_{n}(x) = xD_{n-1}(x) + (\kappa_{1}\kappa_{2} \cdots \kappa_{n}) \end{equation*} Sturm kök yerleştirme (root interlacing) teoremine aşina olanlar bu denklemi kullanarak ve $D_{n}-\kappa_{n}D_{n-1}$ ifadesini yeniden düzenleyerek aşağıdaki üç terimli yineleme bağıntısını da elde edebilirler. \begin{equation*} D_{n}(x) = (x+\kappa_{n})D_{n-1}(x) - \kappa_{n}xD_{n-2}(x) \end{equation*}
Şimdi aşağıdaki zımba gibi teoremi bu üç terimli yineleme bağıntısını kullanarak ispatlayabiliriz.
Önerme: Herhangi bir $j>0$ için $D_{j}(0)=0$ ise o zaman her $n>j$ için $D_{n}(0)=0$ olur.
Teoremin ispatında üç terimli yineleme bağıntısını $n=j+1$ için kullanalım. $D_{j+1}(0) = \kappa_{j+1}D_{j}(0) = 0$. Dolayısıyla tümevarım basamağı çalışıyor. Ancak teoremin hipotez kısmındaki şartı sağlayan bir $j$ yok zira her $j>0$ için $D_{j}(0)=\kappa_{1}\cdots \kappa_{j}>0$ olmaktadır.
Üzüntü ve muz kabuğu! Teoremimizin uygulanabileceği polinomlar boş küme oluşturuyor. Tümevarımın o ilk ve basit basamağı önemli. İhmal etmeyelim...
