Üç yüksekliği verilen bir üçgeni çizin

5 Haziran 2015 Cuma
Aşağıdaki alıntı eski milletvekillerinden Ahmet Selim'in 19.06.2003 tarihli köşe yazısından. Yazının başlığı Eğitim Fecaati:

Lise bir’den iki’ye geçtiğim yılın yaz tatilinde köye gitmiştim. Orada matematik hocası Hasan Bey’e rastladım. Akrabamızdı, o da tatile gelmişti. Sohbet sırasında, teşvik ettikleri için, şöyle bir soru sordu: “Üç yüksekliği verilen üçgeni çizin.” Soru ne kadar basit ve yalın. “Üç kenara” benziyor! Amcam da merakla bekliyor ve bana çok güvendiği için şıp diye cevaplandıracağımı umuyor.

Biraz bakıp düşündüm ve şu yorumu sundum: “Bu bir çizim değil, problem. Hatta özel bir problem. Önceden bir defa görmüş olsaydım, kolaydı. Şimdi mucit gibi çözmek durumundayım! Bu gece çözer, yarın sabah takdim ederim! Benzerlikten yararlanılacağı biçiminde bir sezgim var.”

Gülümsedi Hasan Hoca. “Çözülmüş sayıyorum. Yaklaşımını ölçmek için özellikle sormuştum. Tatil günü uğraşma.” dedi ama, lambanın ışığında o gece o problemi çözdüm...

Biz de bu mektupta Ahmet Selim'in -muhtemelen- cetvel (ya da düz kenar) ve pergel çizimiyle yaptığı çözümün bir benzerini cebirsel yöntemle yapacağız. Şimdi daha önce Kenarları verilen bir üçgene ait unsurların uzunlukları başlıklı gönderiden \[ h_{a} = \frac{1}{2a} \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \] formülünü hatırlayınız. Burada $a,b,c$ üçgenin kenar uzunlukları ulup, $h_{a}$ ise $A$ köşesinden $BC$ kenarına indirilen dikmenin (yüksekliğin) uzunluğudur.

Burada işimiz tersinden: $h_{a},h_{b},h_{c}$ veriliyor. Ama kenar uzunluklarını bulmamız isteniyor. Bir üçgende herhangi bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımı sabittir, çünkü bu çarpım alanın iki katını verir. O zaman $ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}$ yazabiliriz. $p:=h_{a}/h_{b}$ tanımlarsak, o zaman $b=pa$ olur. Tamamen benzer bir yöntem ve $q:=h_{a}/h_{c}$ tanımıyla da $c = qa$ olur. Burada $p$ ve $q$ oranlarının bilindiğini vurgulayalım. $b$ ve $c$ kenarlarının $p,q$ ve $a$ cinsinden ifadelerini $h_{a}$ uzunluğunu veren formüle koyduğumuzda \[ a = \frac{2h_{a}}{\sqrt{(1+p+q)(-1+p+q)(1-p+q)(1+p-q)}} \] formülüne ulaşıyoruz. Bu bize $a$ kenarının uzunluğunu hesaplama imkanı sunuyor. $b$ ve $c$ uzunlukları da artık $b=pa$ ve $c=qa$ formüllerinden bulunabilir.

Problemi cebirsel yöntemle çözünce kolay gibi göründü. Cetvel pergel çizimiyle çözümü için biraz düşünmek gerekir. Onu da daha sonra anlatalım.