18 Temmuz 2018 Çarşamba

Bütün birinci dereceden denge tepkimeleri hızla dengeye gelir

Kapalı ortamda ve sabit sıcaklıkta gerçekleşen en basit denge tepkimesini ele alalım. \begin{equation*} {\rm A} \ \rightleftharpoons \ {\rm B} \end{equation*} Gösterilen tepkimede ileri hız sabiti $\alpha > 0$, geri hız sabiti de $\beta > 0$ olsun. (Her iki hız sabitinin birimi de $1/{\rm s}$. Her nedense kimyasal kinetikte bu birim için Hz denmiyor...) A ve B maddelerinin zamana göre derişimleri ise $a(t)$ ve $b(t)$ ile verilsin. Sürekli karıştırmanın reaktör homojenliğini temin ettiğini varsayalım. Sistemin tanımını bitirmek için kütle aksiyon kanununu kullanarak hareket denklemlerini yazacağız. \begin{eqnarray} \nonumber \dot{a}(t) &=& -\alpha a(t) + \beta b(t) \\ \nonumber \dot{b}(t) &=& \alpha a(t) - \beta b(t) \end{eqnarray} Burada $\dot{x}(t)$ ile $x(t)$ fonksiyonunun zamana göre türevi gösterilmiştir. Başlangıç şartlarının en genel haliyle $a_{\rm o} := a(0) \geq 0$ ve $b_{\rm o} := b(0) \geq 0$ olduğunu belirtmekle yetineceğiz.

Dikkatli okur bu aşamada $\dot{a}(t) + \dot{b}(t) = \tfrac{d}{dt} (a(t)+b(t)) = 0$ olduğunu farketmiş olmalı. Bir niceliğin zamana göre türevinin sıfır olması, o niceliğin korunduğu veya sabit kaldığı manasına gelir. O zaman analizin temel teoremi uyarınca \begin{equation*} a(t) + b(t) = a(0) + b(0) = a_{\rm o} + b_{\rm o} =: m \geq 0 \end{equation*} yazabiliriz. Bu denklemdeki $m$ niceliğine mesela toplam kütle, ilgili denkleme de kütle dengesi diyebiliriz. Bir dinamik sistem problemini çalışırken eğer bir korunum kanunu bulunursa, bu eşitlik eldeki diferansiyel denklemlerden birisini elemekte kullanılabilir. Örneğin $b(t) = m - a(t)$ kullanılarak $a(t)$ için verilen adi diferansiyel denklem \begin{equation*} \dot{a}(t) = \beta m - ( \alpha + \beta ) a(t) \end{equation*} haline getirilebilir. $\rho := a/m$, $\kappa := \alpha / \beta$ ve $\tau := \beta t$ ile sırasıyla indirgenmiş derişim, denge sabiti ve birimsiz zaman niceliklerini tanımlayalım. Bu tanımlarla ve kütle korunumu ve pozitifliği kullanarak $\rho \in [0,1]$ olması gerektiği rahatça görülür. Bu tanımlarla $\rho$ için çözmemiz gereken hareket denklemi aşağıdaki gibi olur. \begin{equation*} \rho ^{\prime} (\tau) = 1 - (\kappa + 1) \rho (\tau) \end{equation*} Burada $\prime$ ile gösterilen türev zincir kuralı kullanılarak $\tau$ değişkenine göre alınmıştır. Problemin başlangıç şartı ise $\rho(0) = a(0)/m = a_{\rm o}/m$ ile verilecektir. İndirgenmiş niceliklerde problemin parametre sayısının $\kappa$ ve $\rho_{\rm o}$ olmak üzere ikiye düştüğünü gözleyiniz.

$\rho$ için yazdığımız adi diferansiyel denklemi çözmek için normalde Leibniz'in icat ettiği integral alma faktörü ile problemi bir tam diferansiyel haline getirmemiz gerekiyor. Ancak elimizdeki problem Leibniz tekniğinin bütün ayrıntılarını vermeden de çözülebilir. İntegral alma faktörü özü itibariyle bir diferansiyel denklemde çarpımın türevine ait $(fg)^{\prime} = f^{\prime}g+fg^{\prime}$ ifadesini ya bulmak ya da üretmekten ibarettir. Şimdi \begin{eqnarray} 1 &=& \rho^{\prime} + (\kappa+1) \rho(\tau) \\ \nonumber &=& \frac{1}{\exp((\kappa+1)\tau)} \left( \rho^{\prime} \exp((\kappa+1)\tau) + \rho(\tau) (\kappa+1)\exp((\kappa+1)\tau) \right) \\ \nonumber &=& \frac{1}{\exp((\kappa+1)\tau)} \frac{d}{d\tau} \left( \exp((\kappa+1)\tau) \rho(\tau) \right) \end{eqnarray} olduğundan $\rho$ fonksiyonu bir tam diferansiyel içine alınmış olur. Artık basitçe her iki tarafın integralini alarak matematiksel çözümü bitireceğiz. \begin{equation*} \int\limits_{0}^{\tau} \exp((\kappa+1)\sigma) d \sigma = \int\limits_{0}^{\tau} \frac{d}{d\sigma} \left( \exp((\kappa+1)\sigma) \rho(\sigma) \right) d \sigma \end{equation*} Denklemin sol tarafı için üstel fonksiyonun integralini, sağ tarafı için de analizin temel teoremini uygulayacağız. \begin{equation*} \frac{1}{\kappa + 1} \left( \exp((\kappa+1)\tau) - 1 \right) = \exp((\kappa+1)\tau) \rho(\tau) - \rho_{\rm o} \end{equation*} $\rho(\tau)$ fonksiyonunu yalnız bırakacak şekilde bu denklemi yeniden düzenleyerek matematiksel manipülasyonu noktalayacağız. \begin{equation*} \rho(\tau) = \frac{1}{\kappa + 1} + \left( \rho_{\rm o} - \frac{1}{\kappa+1} \right) \exp(-(\kappa+1)\tau) \end{equation*}

Kimyasal kinetikte bir problemin denge noktası nasıl bulunur? Cevap: üç yolla.

  1. Hareket denklemlerini sıfırlayan derişimler kütle denkliği şartına tabi olacak şekilde çözülür. Diğer bir deyişle $\dot{a} = \dot{b} = -\alpha a + \beta b = 0$ ile $a + b = m$ denklemlerinin ortak çözümü bulunur.
  2. Elimizde analitik çözümün bulunması halinde sistemin $\tau \to \infty$ limitinde dengeye geldiği varsayılarak, ki bu durumda gerçekten de öyledir, denge derişimi bulunur. \begin{equation*} \rho_{\rm d} := \lim_{\tau \to \infty} \rho (\tau) = \frac{1}{\kappa + 1} \end{equation*}
  3. Son olarak problem sanki bir termodinamik problemiymiş gibi muamele edilir ve her ikisi de birinci dereceden olan \begin{equation*} \frac{\alpha}{\beta} = \kappa = \frac{b_{\rm d}}{a_{\rm d}} \ \ \ {\rm ve} \ \ \ a_{\rm d} + b_{\rm d} = m \end{equation*} iki bilinmeyenli iki denklemin ortak çözümü bulunur.
Biz bu postada en pahalı olan ikinci yolu tercih ettik zira postanın başlığında yer alan iddiayı ancak böyle kanıtlayabilirdik.

Çalıştığımız dinamik sistemin dengeye yaklaşma hızını nitel olarak ölçmek için aşağıdaki manipülasyonu takip edin. \begin{equation*} |\rho(\tau) - \rho_{\rm d}| = |\rho_{\rm o} - \rho_{\rm d}| \exp(-(\kappa + 1) \tau) \leq \exp(-(\kappa + 1) \tau) \end{equation*} $\rho$ niceliğinin tanımı gereği $|\rho_{\rm o} - \rho_{\rm d}| \leq 1$ olduğunu gözleyiniz. Bu eşitsizlik bize sistemin denge noktasına üstel hızda yakınsadığını söylemektedir ki üstel hız mevcut analitik fonksiyonlar ile elde edebileceğimiz en hızlı davranışlardan birisini temin eder. $|\rho(\tau) - \rho_{\rm d}| \leq 1 / \log (\kappa \tau)$ gibi bir davranış bulsaydık, o zaman reaksiyonun %95 oranında dengeye gelmesi için $1 / \log (\kappa \tau) = 0,05$ ya da $\kappa \tau = \exp (1/0,05) = 485.165.195,4 \approx 5 \times 10^{8}$ olması gerekirdi.

Öte yandan dengeye gelme zamanı ise birimsiz niceliklerde $\tau _{\rm d} := (\kappa + 1)^{-1}$ ile birimli niceliklerde ise $t_{\rm d}:=(\alpha + \beta)^{-1}$ ile verilir. Örneğin başlangıçtan $3 \tau_{\rm d}$ süre sonra sistem %95 itibariyle dengeye gelmiştir. ($\exp(-3) = 0,049787$) Her iki hız sabitinin toplamının sistemin dengeye gelme zamanını belirlediğini gözleyiniz.

9 Temmuz 2018 Pazartesi

Freeman Dyson ile yapılan nehir söyleşinin tam tercümesi 9/13

  1. Oppenheimer işten çıkarılsaydı Princeton'ı terkedecektim.
    O dönemde Enstitü'nün Oppenheimer'ı işten çıkarması halinde İngiltere'ye geri dönmeye gayet net bir biçimde kararımı vermiş, hatta İngiltere'deki iş imkanlarını soruşturmuştum. Duruşmalar bittikten sonra, Oppenheimer'ın kadrosu tehlikedeyken, hem Imperial College hem de Birmingham'dan [Rudolf] Peierls ile İngiltere'de bir iş bulma hususunda temasa geçmiştim. Zira Oppenheimer'ın işten çıkarılması halinde Enstitü'de devam edemeyeceğim çok barizdi: Enstitü'de kalmam ne arzu edilirdi ne de haysiyetlice olurdu. Kesinlikle işimden istifa etmem gerekecekti. Dolayısıyla ben de bunu yapmaya hazırlıklıydım ve bunun herkesçe bilinmesini sağladım. Ancak, zannedersem Mayıs ya da Haziran gibi, mütevelli heyeti bir toplantı yaptı ve oy birliği ile Oppenheimer'ı Enstitü'de tutmaya karar verdiler ve bunu da bir bildiri ile duyurdular. Bildirinin lafzını tam hatırlamıyorum lakin mealen "Geçmişte olduğu gibi Oppenheimer'ın Enstitü'deki liderliğini devam ettireceğine dair güvenimiz tamdır." gibi bir ifadeydi. Dolayısıyla Oppenheimer görevine iade edilmişti ve benim de çalıştığım kurumu terketme sorunum böylece çözülmüştü.
  2. Les Houches'deki yaz okulu.
    O yaz Fransa'da, Les Houches'de Cécile'in kurduğu yaz okulunda ders veriyordum. Benim için mesut bir yazdı. Bu Cécile birkaç yıl önce Enstitü'de bulunmuş olan Cécile DeWitt[-Morette] ile aynı Cécile'dir. Enstitü'den ayrıldıktan sonra kendi başına tüm Avrupa için bir eğitim zemini oluşturup, büyük başarıya ulaşan Les Houches'deki yaz okulunu başlatmıştı. Gerçekten de tuttuğunu koparan bir kimseydi. O yaz altı hafta boyunca orada kaldım ve geçirdiğim süre de fevkalade keyifliydi. Ve Les Houches'te en şahane öğrenci grubuna ders verdim. İşte bu doktora (PhD) sisteminin tam zıddıdır. Bu öğrenciler Avrupa'nın dört bir yanından gelmişlerdi. Yaz okuluna büyük bir tutku ve iştiyakla altı hafta boyunca katıldılar. Sınav, notlandırma, geçme notu ve benzeri bir sorun yoktu. Sadece öğrenmek amacıyla gelmişlerdi. Benim öğretmenlik mesleğindeki idealim budur ve böyle bir ortamın yaratılması da bariz bir şekilde Cécile'in dehasının ürünüydü. Her neyse, orada harika bir yaz geçirmiştik. Yağmur hiç durmaksızın altı hafta boyunca devam etti ve öğrencilerimden birisi yakın zamanda Nobel alan Georges Charpak'tı. Hepsi de hakikaten muhteşem öğrencilerdi. Hemen hemen hepsi nihayetinde üne kavuştu.
  3. Berkeley'de Charles Kittel ile beraber yaptığım çalışma.
    1953 yazında eşyalarımı toplayıp Cornell'den ayrıldıktan sonra ve Princeton'a varmadan önce, katı hal fiziği profesörü Charles Kittel'ın daveti üzerine onun icat ettiği problemleri çözmek üzere Berkeley'de üç ay geçirdim. O da tıpkı Hans Bethe gibi muhteşem bir problem mucidiydi. Tam benim yeteneklerime uygun ve üzerine düşünebileceğim problemler buluyordu. Benim için seçtiği problemler iyi tanımlı tabiata sahip problemlerdi ve kuantum elektrodinamiği için geliştirdiğim teknikler kullanılarak muamele edilebiliyorlardı. Daha sonraları katı hal fiziğinde Green fonksiyonu yöntemleri olarak bilinen teknikleri ilk defa o zaman uygulamıştık. İlk önce metallerdeki ferromagnetik rezonansa, spin rezonansına, dair bir problem çalıştım ve iki yıl sonra tekrar oradayken bu sefer spin dalgaları üzerine büyük bir çalışma yaptım. Bu spin dalgalarının genel teorisi gurur duyduğum başlıca çalışmalarımdan birisidir. Ortaya çıkan iş her şeyin saat gibi çalıştığı ve matematiksel yönü çok güzel olan bir çalışmaydı. Her ne kadar aynı derecede önemli olmasa da, tıpkı kuantum elektrodinamiği gibi güzeldi ve benim açımdan bakıldığında eşit derecede tatmin ediciydi. Spin dalgaları sorununu çok zarif ve sistematik bir biçimde ele almıştım.
  4. Ferromagnetizm ve spin dalgası teorisi.
    Ferromagnet bit atom kümesidir ve her bir atomun güçlü bir manyetik momenti vardır. Bu manyetik momentler birbirleriyle etkileşim halindedirler. Bu yüzden birbirine komşu atomların manyetik momentleri aynı yöne bakma eğilimindedir. Birbirlerini manyetik moment vektörleri pararlel olacak şekilde çekmeyi severler. Bu düzeni seven kuvvete karşı manyetik moment vektörlerinde düzensizliği tercih eden termal dalgalanmalar (fluctuations) vardır. Sorun düzen ile düzensizlik arasında bir dengeden ibarettir. Adına Curie noktası denilen belli bir geçiş sıcaklığında ferromagnet ferromagnet olmaktan vazgeçer ve spin vektörleri rasgele yönelimler göstermeye başlar. Curie noktasının altında ise uzun menzilli düzen mevcuttur ve spin vektörlerinin tamamı hizalanmıştır. Kaba bir yaklaştırmaya göre spinlerin paralel olup malzemenin ferromagnetik özellik gösterdiği düşük sıcaklık bölgesinden bahsediyorum. Öte yandan tüm kristal boyunca hareket eden spin dalgaları da mevcuttur. Rasgele bir şekilde spinler ortalama konumları etrafında hareket ederler. Hatta düşük sıcaklıkta spinler uygun adım (coherent) dalgalar halinde ilerleme eğilimindedir. Bu da ferromagneti bir dalgalar sistemi şeklinde tanımlamanızı temin eder. Konu tıpkı elektromanyetik alanın elektromanyetik dalgalar sistemi şeklinde tarifine benzerdir. Aynı matematiksel kurguları kullanabilirsiniz. Bu, spinlerin katıdaki bir alan teorisidir ve katının kesikli yapısını ihmal edip spinleri sürekli bir akışkan gibi temsil edersiniz. Sorun bu yaklaştırmanın ne kadar iyi olduğudur. Atomlarının sonluluğuyla nasıl başa çıkabilirsiniz? En kaba kestirme tüm bu sistemi lineer bir akışkan şeklinde muamele edersiniz. Heisenberg'in icat ettiği asıl Heisenberg modeli budur. Ardından bunun bir sonraki aşamasına geçmeniz gerekir ve o da atomların sonluluğudur. Yaptığım iş lineer yaklaştırmanın ötesine geçmenizi temin eden sistematik bir analiz geliştirmekti. Böylece elinizde hesaplayabileceğiniz spin dalgaları arası etkileşimler bulunur. İlk defasında yaptığım şey de buydu. Böylece bir spin dalgasıyla ötekisi arasındaki etkileşimi hesaplayabilecektik. Her ne kadar bu etkileşim düşük sıcaklıklarda çok çok zayıf olsa da hesaplanılabilmektedir. İlginç olan mesele de kuvvet kanunuydu: etkileşim sıcaklığın kaçıncı kuvvetiyle azalmaktadır? Bulgularımıza göre sıcaklığın dördüncü kuvvetiyle azalmaktaydı. Öte yandan önceki teorilerin pek çoğu daha düşük bir kuvvet değişimi bulmuşlardı ki hepsi de yanlıştır. Zannedersem bizden önceki üç teorinin bulduğu kuvvet kanunu davranışındaki sıcaklığın kuvveti 3/2, 2 ve 5/2 idi ki hepsi de yanlıştı. Doğru olan kuvvet 4'tür. Her neyse, bu çalışmayı yapmak eğlenceliydi. Benim için hakiki haz daima problemin net olarak tanımlandığı ve zarif bir matematiğin kullanışlı olduğu çalışmalardadır. Bu çalışma da bunun iyi bir örneği olmuştur. Spin dalgası teorisi üzerinde iki ay çalıştım ve ardından notlarımı makalemi yazmak üzere Princeton'a geri getirdim. Ancak bu Berkeley'i ikinci defa ziyaret ettiğim 1955 yılındaydı. Üçüncü defa 1957 yılında yaz mevsiminde Berkeley'e gittim. O yaz Yang ve Lee parite ihlalini keşfettiler. Benim de tüm ilgim tekrar geçici bir süreliğine parçacık fiziğine kaydı. Parite ihlali çok önemliydi zira. Dolayısıyla Kittel'e "Üzgünüm fakat senin problemlerin üzerine kafa yoramam. Parite ihlali çok daha heyacan verici bir konu." dedim. Ondan sonra bir daha Berkeley'e gitmedim. Bu süreç benim için hayatımın en mesut dönemlerine tekabül eder ve yaptığımız iş de bir trendi başlatmıştır. Demek istediğim şu ki o zamandan beri katı hal fiziğinin gelişiminde başlıca eğilim bu spin dalgası yöntemini alıp, katı haldeki her türlü salınıma genelleştirmektir. Görünen o ki düşük sıcaklıklardaki her türlü uyarılmalar için aynı teknikler işe yaramaktadır. Dolayısıyla bu katı hal sistemlerinin düşük sıcaklıktaki davranışları için genelliğe haiz bir teori olmuştur.
  5. Bir boyutlu ferromagnetler.
    Bir boyutlu ferromagnetlerle nasıl ilgilendiğimi anlatmayı unuttum. O zamana değin genel kabul edilmiş dogma bir boyutta ferromagnetlerin var olmayacağıydı. Kooperatif davranış için en az iki boyuta ihtiyacınız vardı zira ferromagnetlerin standart modelleri yalnızca iki ya da daha yüksek boyutlarda iş görüyordu. İçinde yaşadığımız üç boyutta çok iyi sonuçlar vermekteydiler. Bir boyutta düzenleyici kuvvetler yeterince güçlü değildir. Bir boyutta kısa menzilli etkileşimler olduğu müddetçe uzun menzilli düzen elde edemeyeceğiniz de çok barizdi. Öte yandan bir boyutta uzun menzilli etkileşimlerin bulunması halinde ferromagnet elde edip edemeyeceğinize ilişkin soru hiç bir zaman sorulmamıştı. Dolayısıyla bu ihmal edilmiş sorun benim ilgimi çekti ve ben de uzun menzilli düzenin varlığını ispatlayabileceğim bir ferromagnet modeli buldum. Bu modelde spinler arası etkileşimin gücü uzaklıkla ters orantılı olarak değişmekteydi. Zannedersem kritik kuvvet iki spin arasındaki etkileşimin $1/d^{2}$ ile değiştiği durumdu. Burada $d$ iki spin arasındaki uzaklıktır ve kritik kuvvetten daha zayıf etkileşimlerde uzun menzilli düzen elde edilememektedir. Bahsettiğim durumda düzen-düzensizlik geçişini görmek mümkündür. Düzenli ve düzensiz olmak üzere iki faz mevcuttur. Bunu ispatlamaya muktedir olmuştum ve ispat da öyle kolay değildi. Bu da yine ilginç bir problemdi. Aslında dün bahsini ettiğim Littlewood yöntemini bu bağlamda kullanmıştım. Bu problemi bana ilk kimin tavsiye ettiğini tam hatırlamıyorum. Elliott Lieb olabilir. Bir boyutlu fizik, fiziğin kendine mahsus bir alt bölümüdür; burada neredeyse tüm problemler tam olarak çözülebildiği ve analitik yöntemler daha yüksek boyutlardaki versiyonlarına kıyasla daha çok işe yaradığından bana çok latif gelen bir sahadır. Her ne kadar gerçeklikle pek bir alakası olmasa da, ciddi matematik yapmak isteyen teorik fizikçiler için bir oyun bahçesidir adeta.
  6. Sert-küre Bose gazının temel halinin enerjisi - Elliott Lieb.
    Bu da matematiksel olarak iyi tanımlı güzel problemlerden bir başkasıdır. Elinizde sert kürelerden oluşan bir gaz vardır. Dışlanmış hacim haricinde bu küreler birbirleriyle etkileşmezler. Her bir küre komşularını belirli bir mesafeye kadar dışlar. Sorun temel halin enerjisidir. Sorabileceğiniz en basit sorulardan birisidir bu: Sıfır Kelvin'de her şeyin hareketsizliğe olabildiğince yaklaştığı bir durumda enerji nedir? Ayrıca konuyla ilgili Yang ya da Yang ve Lee tarafında ortaya atılmış çok meşhur bir konjektür de mevcuttur. Konjektür parçacık başına düşen temel halin enerjisinin $4 \pi \rho a$ ile verildiğini söyler. Uygun birimlerde $\rho$ yoğunluk, $a$ ise yarıçaptır. Herkes de bunun doğru olduğuna inanır. Aslında bu konjektür ancak geçtiğimiz yıl nihayet Elliott Lieb ve öğrencilerinden birisi tarafından ispatlanabilmiştir. Dolayısıyla ispatlanması yaklaşık elli yıl almıştır. İspat da çok güzel bir çalışmadır. Kuşkusuz Elliott Lieb bu özel sahanın usta zanaatkarıdır ve nihayetinde bu işi de başarmıştır. Kullandığı matematik hem zarif hem de zordur. O ispatı ben yapamamıştım. Enerjiye en azından doğru büyüklük mertebesinde olan bir alt limit getirmeyi başarmıştım ama bu limit doğru cevabın on ikide birine tekabül ediyordu. Dolayısıyla problemi çözmedim fakat en azından somut bir ilerleme kaydettim. Bu çetin cevizi nihayet Lieb'in kırmasından da mutluyum.
  7. Karmaşık sistemlerin enerji düzeyleri: arka-plan.
    Bu da başka birisinin problemini alıp matematiksel bir teoriye dönüştürdüğüm başka bir fasıldır. Birbiriyle güçlü bir şekilde etkileşen pek çok parçacığı ihtiva eden ağır bir çekirdeği rasgele bir matrisle modellemek ilk Wigner'in fikriydi. Bu modelde sistemin doğasını tanımlayan Hamilton operatörü bir matristen ibaretti. Sistemin çok karmaşık bir kara kutu olması haricinde -ya da bu durumda içinde pek çok şey cereyan eden ve bizim içini gözleyemediğimiz bir kara küre- sistem hakkında hiç bir şey bilmediğimizden, Hamilton operatörü hakkında mutlak bir bilgisizlik halinde olduğumuzu varsayalım. O zaman ortalama olarak nelerin doğru olduğunu söyleyebiliriz? Dolayısıyla Wigner'in sorduğu soru buydu. Belli bir sınıftaki muhtemel tüm Hamilton operatörlerinin ortalamasını aldığınızda nasıl bir davranış ortaya çıkar? Bu sorunun son derece ilginç bir soru olduğu zamanla tebarüz etmiştir. İlkin matris takımını (ensemble) çok dikkatlice tanımlamanız gerekir ki ihtimaliyatları da hatasız tanımlayabilesiniz. Ardından da ortalamaları nasıl hesaplayacağınız sorununu çözmeniz gerekir. Wigner de bunu yapmaya muktedir olmuştu. Şimdilerde adına Gauss dik ensemble'ı dediğimiz bir ensemble tanımladı. Bu ensemble özü itibariyle bir matrisle temsil edilen belli bir Hamilton operatörünün ihtimaliyatının, her bir matris elemanının bağımsız Gauss dağılımı ile toplam ihtimaliyatı bir yapma amaçlı bir normalizasyon faktörünün çarpımı olduğunu söyler. Hepsi budur. Tüm matris elemanları istatistiksel olarak bağımsızdır ve bir Gauss dağılımından çekilmiştir. Böylece iyi tanımlı bir ensemble elde edilir. Wigner matrislerin gerçel ve simetrik olması şartını koşmuştur. Bu da Hamilton operatörünün zamanı tersine çevirme (time reversal) simetrisine sahip olduğu anlamına gelir. Böylece hem iyi tanımlı sorular hem de iyi tanımlı cevaplar elde edebilirsiniz. Wigner dik Gauss ensemble'ı için, sistemin enerji seviyelerine tekabül eden matrisin özdeğerlerinin yarı dairesel bir dağılıma haiz olduğunu göstermişti. Bu da özdeğerlerinin ihtimal dağılımının $\sqrt{1-x^{2}}$ gibi davrandığını söyler. Burada $x$ enerji ile ortalama enerji arasındaki farktır. Enerjiye karşı özdeğerlerin ihtimal yoğunlukları eğrisini çizdiğinizde bir yarım daire elde edilmekteydi. Zannedersem Wigner'in 1946 civarında ispatladığı bu sonuç hiç de bariz değildi. Ardından problemi Mehta ve Godard adında iki Fransız ele aldı ve onlar çok daha fazla ilerleme katettiler. Hesaplanması çok daha zor olan (öz değerler arası) aralık dağılımı gibi diğer pek çok şeyi hesaplamaya muvaffak oldular. Bahsettiğim en yakın düzeyler arasındaki farkın istatistiksel dağılımını hesaplayabilmek için son derece zeki teknikler kullanmıştılar.
  8. Mehta'yı döngüsel ensemble konusunu çalışmak için davet edişim.
    Bu konuyla ilgilendim ve Mehta'yı buraya, Princeton'a benimle çalışmak üzere davet ettim. Mehta ve ben bu konuyla birkaç yıl iştigal ettik, bu süreçte bir seri makale yayınlayıp çok daha ileri gitmeye muvaffak olduk. Bu işbirliğinden hasıl olan en ilginç sonuç ise olası tüm ensemble'ların bir çeşit genel tasnifiydi. Wigner keyfi olarak bu ensemble'lardan birisini seçmişti ancak biz tam olarak üç adet matematiksel olarak iyi tanımlı indirgenemez (irreducible) ensemble olduğunu ispatlamıştık; bulgularımıza göre belli değişmezlik (invariance) özelliklerine sahip olası tüm matris ensemble'ları indirgenemez bileşenlerin doğrudan çarpımıydı (direct product). Bahsi geçen indirgenemez bileşenler ise bu üç tipten biriydi. Bu üç tipe de dik, üniter ve simplektik isimlerini vermiştik. Dik olanı zaman tersine çevrilme değişmezliğine (time reversal invariant) ve tam değerli spine, üniter olanı zaman tersine çevrilme değişmezliğinin olmadığı ve simplektik olanı ise zaman tersine çevrilme değişmezliği ile yarım değerli spine tekabül etmekteydi. Bu üç durumda da seviye aralık dağılımları bakımından çok farklı davranışlar söz konusuydu. Her üç durumda da en yakın komşu seviyeler arasında bir itme vardır. Dolayısıyla rasgele bir biçimde dağılım mevcut değildir. Her üç durumda da güçlü seviyeler arası itim farklıdır. Dik durumda itme en zayıftır, üniter durumda biraz daha güçlüdür ve simplektik durumda en güçlüdür. Özetlemek gerekirse bu rasgele matrisler teorisini çok daha genel bir forma geliştirmiştik ve seviyeler arası fark dağılımına ilişkin pek çok temel özelliği ispatlamıştık.
  9. Mehta'yla beraber yaptığım çalışma bugün dahi önemini koruyor.
    Aralık dağılımının yanı sıra hesaplayabileceğiniz başka bir şey daha vardır: tüm seviye sayılarının genel korelasyon fonksiyonu. Mesela verilen beş seviye arası farkla beş seviye bulma ihtimali hesaplanılabilmektedir. Bu genel korelasyon fonksiyonu için çok zarif bir formül bulmaya da muvaffak olmuştum. Formül bir Pfaff formuydu. Formül bir determinant değildi ancak determinantın kare köküydü. Pfaff formlarının matematiksel teorisini kullanarak bu seviye dağılımlarıyla ilgili her şeyi didaktif bir biçimde çıkartabiliyordunuz. Bu sahanın tek zorluğu teori için herhangi bir pratik kullanım alanı bulmaktır. Wigner orjinal olarak bu problemi nükleer fizikte kullanılmak üzere tasarlamıştır ancak tasarım mukayese edilebilecek deneysel verilerin varlığı halinde kullanışlıdır. Aslına bakılırsa ağır çekirdeklerin iyi bir istatistik çıkarmaya yetecek kadar enerji düzeyi yoktur. Örneğin en uygun durum yaklaşık iki yüz civarında iyi tanımlı düzeyleri bulunan erbiyumun bir izotopudur. Bu izotopun atomik ağırlığını şimdi unuttum. Ama iyi bir istatistiksel analiz çıkarmak için iki yüz yeterli bir sayı değildir. Dolayısıyla konu uygulama yokluğundan ölmüştür. Ancak saha yakın zamanlarda yeniden canlandı. Zira artık sanal gerçeklik, büyük bilgisayarlar sayesinde devasa sistemlerin enerji düzeylerini hesaplayabilme kapasitesine sahibiz. Artık şimdi usulüne uygun tanımlı bir sistemin milyonlarca enerji düzeyini hesaplamak çok kolay bir iştir ve bunu da oturup teorik çıkarsamalarla karşılaştırabiliriz. Dolayısıyla artık bu saha daha büyük bir endüstri haline gelmiştir. Konu karmaşık sistemlerin davranışıyla uğraşmak amaçlı bilgisayar hesaplamalarının tahrik ettiği, gerçek dünyayla alakalı olsun olmasın, pek çok kullanım alanı bulmuştur. Pür matematiksel ve bana da çok ilginç gelen uygulamalardan birisi zeta fonksiyonunun köklerine ilişkin olanıdır. Adına Riemann zeta fonksiyonu denilen bu meşhur fonksiyon matematiğin en büyük gizemlerinden birisidir. Bu fonksiyonun köklerinden bazılarının gerçel kısmı 1/2 olup, sanal kısımları ise bu doğru üzerinde gizemli bir biçimde dağılmıştır. Bell Laboratuvarları'nda çalışan bir matematikçi olan Odlyzko zeta fonksiyonunun $10^{20}$ kadar kökünü hesaplamıştır ve görünen o ki bu kökler sanki rasgele bir üniter matrisin özdeğerleriymiş gibi üniter dağılım kanununa tabidir. Bu ampirik bir olgudur: henüz tam anlaşılmamıştır ve teorik bir ispatı da bulunmamaktadır. Bu da rasgele sistemlerin fiziği ile zeta fonksiyonlarının gizemi hakkında çok ilginç bir bağlantıdır.
    SS: Ancak sizin için bu konuda çalışmak matematiğin güzelliğinin tadına varmaktı.
    Evet, yapması eğlenceliydi ve benim için uygulama daima ikincil derecede önemli olmuştur. Zeta fonksiyonu ile olan bağlantı bir şekilde benim için işin daha çok heyacan verici kısmıydı.
    SS: Belki de bu sizi geri dönüp bu probleme tekrar bakma hususunda tahrik etmiştir.
    Evet. Ayrıca geçmişte bu sahada ciddi bir miktar ilerleme de kaydedilmişti. Hugh Montgomery aslında bu üniter dağılım kanununun zayıf bir versiyonunu ispatlamıştı. Demek istediğim şu ki Fourier uzayının belli bir alt kümesinde Fourier dönüşümünü bir dağılım olarak almanız halinde o zaman üniter dağılım tamdır. Ancak ispatı tüm uzaya genelleştiremedi. Öte yandan ispatı dişe dokunur miktarda büyük bir bölgeyi kapsamaktadır. Dolayısıyla önerme neredeyse doğrudur ve matematikçiler hala konu üzerinde çalışmaktadır. Burada, Princeton'da çalışan Sarnak bu konuyla çok ilgilinen bir matematikçidir ve ben de onunla iletişimde bulunmaya devam etmekteyim.
  10. Maddenin kararlılığını ispatlayana bir şişe şampanya.
    Maddde kararlığına dair çalışmalarım bir iddianın sonucuydu. Zannedersem David Ruelle ve Michael Fisher maddenin kararlılığını ispatlayana ödül olarak bir şişe şampanya teklif etmişlerdi. Ve dolayısıyla o zaman Princeton'da Plazma Fiziği Laboratuvarı'nda bulunan Andrew Lenard da bu soruna ilgi duymuş ciddi derecede çözüm ya da ispat yolunda ilerleme kaydetmişti. Sorun şudur: Maddeden nükleer, gravitasyonel ve manyetik kuvvetleri ihmal edip rölativistik etkileri dışladığınızda geriye Coulomb kuvvetiyle etkileşen pozitif ve negatif yükler kalır ki bu maddenin en basit tarifidir. Bu sistemde $N$ pozitif ve $N$ negatif yük bulunur veyahut isterseniz farklı sayıda da bulunabilirler. Böylesi bir sistemin bağlanma enerjisi tanecik sayısının fonksiyonu olarak nedir? $N$ sayısıyla doğrusal olarak mı yoksa daha yüksek bir kuvvetiyle mi değişir? Konu tamamıyla kuantum mekaniğine dairdir. Eğer enerji $N$ ile doğrusal seyrederse o zaman madde kararlıdır. Bu, tanecik başına düşen enerjinin sabit olduğu manasına gelir. İçinde bulunuduğumuz fiziksel durum budur ve herkes de buna inanır ama o zamana değin buna dair herhangi bir matematiksel ispat verilmemiştir. Öte yandan enerjinin tanecik sayısının daha yüksek bir kuvvetiyle seyretmesi halinde, maddenin her parçası kuvvetli infilak mühimmatı gibi yüksek enerjiye sahip olacaktır. Maddi parçaları bir araya getirdiğinizde devasa bir bağlanma enerjisi elde edilecek ve dolayısıyla her şey özü itibariyle bir hidrojen bombası olacaktı. Dolayısıyla bu bizim anlayabilmemiz gereken bir sorundu. İspat da dikkat çekecek derecede zordu ancak Lenard ve ben sorun üzerinde çalıştık ve ispata muvaffak olduk. Öte yandan ispatımızda kullanılan yöntem istisnai derecede karmaşık, zor ve bir o kadar da opaktı. Lenard da ben de matematiksel manipülatörleriz; hakiki fizikçiler değiliz. Dolayısıyla sorunun fiziğini anlamamıştık sadece brüt kuvvet yoluyla kararlılığa dair bir ispat getirmiştik. Çalışmamız sonunda tebarüz eden ilginç fiziksel çıkarsama ise şudur: maddenin kararlı olabilmesi için parçacık kümelerinden en az birisinin, negatif yüklülerin veya pozitif yüklülerin, dışlama ilkesine tabi olması gerekiyordu. Gerçek dünyada ise tabii ki negatif yüklü parçacıklar, yani elektronlar dışlama ilkesine daima tabidir. Dışlama ilkesi olmasaydı, yani hem elektronlar hem de pozitif yükler boson olsalardı o zaman madde kararsız olacaktı. Burada da yine ispatlayamadığımız bir konjektüre ulaştık: tüm parçacıkların boson olması halinde enerji $N^{7/5}$ ile seyreder. Bunu da yakın zamanda yine Elliott Lieb ispatladı. Biz ancak $N^{5/3}$'ten daha güçlü olamayacağını gösterebilmiştik ancak doğru olan $N^{7/5}$ davranışını ispatlayamamıştık.
  11. Lieb ve Thirring'in benim madde kararlığı ispatımı toparlamaları.
    Bu konu üzerinde çalıştık ve bu işten sonuçta Physical Review dergisinde basılan ve hiç kimsenin okumadığı iki adet çok uzun makale hasıl oldu. İlki ve kolay olanı hem pozitif hem de negatif yüklerin dışlama ilkesine uyduğu durumu kapsıyordu.
    SS: Dışlama ilkesi iki parçacığın aynı zaman ve yerde bulunamayacağını ifade eder...
    Doğrudur. Kuşkusuz bu elektronlar için geçerlidir ancak çekirdekler için her zaman geçerli olmaz. İdeal olarak, tam değerli spinleri varsa o zaman çekirdekler Bose istatistiğini takip ederler ve dışlama ilkesine uymazlar. Her neyse, problemin çok daha zor olan versiyonu elektronların dışlama ilkesine uyup, pozitif yüklerin uymadığı durumdur. İkinci makalede bu durum için bir ispat yaptık. İspatımız ilkine kıyasla daha karmaşık ve daha opaktı. Ve nihayetinde enerjinin tanecik sayısı ile belli bir sabitin çarpımını aşmadığını ispatlamıştık. Ancak bulduğumuz sabit anlamsız derecede büyüktü. 1014 gibi bir sayıydı ve 1014, ispatın muhtelif basamaklarındaki özensiz eşitsizlik manipulasyonlarının akümülasyonundan geliyordu. Fizikle uzaktan yakından alakası yoktu. Lenard ve ben o bir şişe şampanyayı kazandık ve şampanyayı da içtik. Bundan kısa bir süre sonra Elliott Lieb ve Walter Thirring maddenin kararlılığına ilişkin fiziğe dayalı iyi bir ispat buldular; tüm işi dört sayfada bitiren ve bizim ispatımızdan sonsuz ölçüde daha kullanışlı olan bir argümanları vardı. Çalışmaları sadece bir ispatı değil, aynı zamanda bir anlayış ve idraki de netice veriyordu. Ayrıca makul bir eşitsizlik sabiti de elde etmişlerdi. Dolayısıyla Lieb-Thirring yöntemi bu iş için doğru yoldu. Zannedersem Littlewood bir keresinde "Büyük bir matematikçi yayınladığı kötü ispatların sayısından tanınır." demişti. Genelde ilk ispat kötü olur, ardından birisi gelip ispatı derler, toparlar.
    SS: Sizin yaptığınız çözümün ya da işaretin müstakbel faaliyetler için bir uyaran etkisi yaptığını söylemek doğru olur.
    Evet. Bu da iyi bir şey. Kötü bir ispat yayınlamanız halinde bu durum diğer insanları iyi bir ispat bulma yönünde tahrik eder. Burada da olan şey budur. Ancak şunu da vurgulamam gerekir ki Elliott Lieb maddenin kararlılığı üzerine yazılmış makalelerin derlendiği bir cilt kitap yayınlamıştır. Kitap tam bir hazine dairesidir. Dolayısıyla bu konuda dünyaca tanınmış uzman da odur. Çok sayıda zor teoremi ispatlamış ve hepsini bu ciltte toparlamıştır.
  12. Üç boyutlu ferromagnetlerde faz değişimleri.
    Barry Simon ve Jürg Fröhlich ile beraber çok genel koşullar altında üç boyutlu ferromagnetlerin faz dönüşümüne uğradığına ilişkin ciddi ispatlar vermek üzere bir ortak çalışma yaptım. Gerçekten de istediğimizi tam yapamadık ve asla hedefimize ulaşamadık ve ben de konuyu takip etmeyi bıraktım. Zannedersem Fröhlich o zamandan beri bu konuya dair epey iş çıkardı. Bunu kendi tarihçemin şanlı bir faslı addetmiyorum. Konu üzerine söyleyebilecek fazla bir sözüm de mevcut değildir. Uğraştığımız problemler yine pür matematikseldi ve fiziksel bir nedeni olmayan bir kısım zorluklara düçar olduk. Bana öyle geliyor ki problemi ele almak için gerekli doğru tekniklerden yoksunduk ve bu konu üzerine çok da konuşmaya değdiğini zannetmiyorum. İstisna olarak, çok kısıtlı koşullar altında bir takım ilginç sonuçları ispatlamaya muvaffak olduğumuzu söyleyebilirim ancak bu sonuçların da tabii ki çok daha genel durumlarda geçerli olması gerekirdi.
    SS: Bu konuyu açarken aslında aklımda sizin "hiyerarşik modeller" başlıklı çalışmanız vardı. Önce de Besicovitch'in problem çözme tarzınıza olan etkisinden bahsetmiştiniz. Burada da bir sistemi yapılandırma ve modellendirmede Besicovitch yaklaşımını görüyoruz.
    Evet. Elbette bu konu daha önceden bahsettiğim bir boyutlu ferromagnetlerle bağlantılıdır. Demek istediğim şu ki hiyerarşik model analitik olarak çözülebilir bir modeldir. Dolayısıyla bir boyutlu zincire kıyasla çok daha yüksek dereceden simetriye sahip etkileşimleri vardır. Hiyerarşik model de haddizatında bir boyutlu değildir. Bütün mesele hiyerarşik modeli bir boyutlu zincire tekabül ettiren bir bağıntı bulabilirsiniz ve bir boyutlu zincirdeki etkileşimler daima hiyerarşik modeldeki etkileşimlerden daha büyüktür. Bu yüzden bir kısım eşitsizlikler elde edersiniz ve bağlanma bir boyutlu zincirde hiyerarşik modele kıyasla daha güçlüdür. Evet, hiyerarşik modeli çözerek bir boyutlu zincir hakkında işe yarar bilgiler elde etmeniz mümkündür. Hiyerarşik model Besicovitch tarzındaydı; fiziksel durumu ele almada kullandığımız matematiksel bir vasıtaydı. Çok da güzel çalıştı. Kuşkusuz hiyerarşik modeli bir kere icat ettiniz mi modelin bizzat kendisini de derinlemesine çalışabilirsiniz. Çok ilginç özelliklere sahiptir. Aslında bu analitik tekniği bir boyutlu zincirle uğraşmak amacıyla icat etmiştim.
Portreler: 97: Robert Oppenheimer, 98: Cécile DeWitt-Morette, 102: Elliott Lieb, 103: Eugene Wigner, 104: Madan Lal Mehta, 106: David Ruelle, 107: Walter Thirring, 108: Barry Simon.