Fen ve matematik aşkındır

10 Şubat 2015 Salı

Doksanlı yılların başında en büyük keyfim evdeki Britannica ansiklopedilerini kitaplıktan indirmek ve sayfaları arasında dolaşmak, hatta çoğu zaman kaybolmak, daldan dala zıplamak ama mutlaka bir şeyler kapmaktı. (Sonra aynı şeyi morali bozuk, canı sıkkın, Amerikandan İngiliz olmuş modernist şair T. S. Eliot'ın da yaptığını öğrendim.) Denilebilir ki internet hayatımıza girmeden bir nevi sörf yapıyordum. Zannedersem benimkisi daha kaliteli bir sörftü. Britannica'da dört renk teoremini ve meşhur Fermat'nın son teoremini okuduğumu hatırlıyorum. Daha sonra Kepler ve Poincare konjetürlerini öğrendim. Bu teoremlerden dört renk teoremi yetmişlerde bilgisayarların desteğiyle graf teorisinin imkanları kullanılarak ispatlandı. (Özetle dört renk teoremi şunu söylüyor: "Komşu iki ülke aynı renkte olmamak şartıyla, düzlem bir haritayı boyamak için en fazla dört renk gerekir.") Ama diğer teoremlerin ispatlarına tanıklık ettim. Mesela $n>2$ için $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ denkleminin pozitif tamsayılarda çözümünün olmadığını söyleyen Fermat'nın son teoremi ben ortaokulu bitirdiğim sene ispatlandı ve Bilim Teknik Dergisi bu haberi kapakta (Ağustos 93) küçük bir kutu içinde duyurmuştu. (Ertesi ay da kapağa Salih Adem'in resmini bastılar.) Her ne kadar ilan edilen ispatta daha sonra hatalar bulunsa da, bu hatalar düzeltildi ve Mayıs 1995'te Fermat'nın son teoremi ispatlandı. İspat 150 sayfa civarındadır ve Fermat'nın zamanında bilinmeyen cebirsel geometri ve sayılar teorisine ait 20. yy'da geliştirilmiş imkanlardan faydalanılmıştır.

Fermat'nın son teoreminin ispatından on yıl sonra 2003 yılında Kepler konjektürü de ispatlandı. Aslında Kepler konjektürü herkesin bildiğini sandığı bir önermedir. (Bana inanmıyorsanız herhangi bir Genel ya da Anorganik Kimya kitabına bakın. Çoğu yazar bu önermenin ispatlanması gerektiğinden ya da ne kadar zor bir önerme olduğundan bihaberdir.) Kabaca tarif edelim. Diyelim ki elinizde bir kasa portakal var. Bunları en az hacim işgal edecek şekilde paketlemeniz gerekiyor. Nasıl yaparsınız? "Canım bu da soru mu yani?" diyebilirsiniz. "Tabii ki manavdaki gibi." Hah, işte o manavdaki gibi paketlemenin en verimli olduğunu ispatlamaya çalışan ilk kişi Kepler'dir. Kepler bunda başarısız olmuştur ve ispat 2003 yılında yine bilgisayarlar yardımıyla yapılabilmiştir.

Yine 2003 yılında Grigori Perelman adında eksantrik bir Rus matematikçi Poincare konjektürünü ispatlamayı başardı. Konjektürün kendisini tarif etmek için topoloji diline biraz vakıf olmamız gerekiyor ve bu bizim amaçlarımızın dışında. Kabaca (çok kabaca) tarif etmek gerekirse Poincare konjektürü dört boyutlu uzaydaki bir kürenin (simit gibi) delik olmadığını söylüyor. ("Bu mudur yani?!" diyebilirsiniz ama bazıları bu teoremle evrenin delik olup olmadığı arasında bir bağ kuruyorlar.) Söylemeye gerek duymuyorum. Perelman'ın da bir kaç makalede tamamladığı ispat yine epey yer tutuyor.

Dört örnek verdim. Daha da sayıyı arttırabilirim. Bu örneklerle "ispatı uzun teoremler" önermesini motive etmeye çalışıyorum. Bilmeyenlere hatırlatalım.

Kollokyal versiyon: İspatı uzun, kısa teoremler vardır.
Kantitatif versiyon: Kendi uzunluğu $n$, en kısa ispatının uzunluğu $10^{100}2^{2^{n}}$ olan teoremler vardır.
Kuşkusuz burada teoremin uzunluğu derken mantık dilinde en kısa ifade edilmiş halinin mesela bit birimindeki uzunluğunu kastediyoruz. Aynı şey ispatın, daha doğrusu en kısa ispatın, uzunluğu için de geçerli. En kısa ispatın ne kadar uzun olduğu hakkında şöyle bir fikir edinebiliriz. Astronomiyle uğraşanlar bize evrende yaklaşık $10^{80}$ tane parçacık (proton, nötron, vb) olduğunu söylüyorlar. (Bu sayı size küçük gelebilir. Değildir. İsterseniz birden başlayarak saymayı deneyin. Ya da bilgisayarınızı saydırmayı...) Şimdi evrendeki her bir parçacığın üzerine bir bitlik bilgi kodladığımızı, böyle bir şeyi yapabileceğimizi varsayalım. O zaman mesela uzunluğu $n=10$ bitlik çetin ceviz teoremlerden birisinin en kısa ispatı $2^{1024}10^{100}$ bit uzunlukta olacaktır. Ne demek istediğim anlaşılmıştır sanırım. Böyle bir teoremin ispatını yazmaya evren yetmiyor!

Galileo'dan beri doğanın dilinin matematik olduğunu söylüyoruz. (Bazı organik kimyacılar bu dilin fonksiyonel gruplar olduğu hususunda çekimser bir iddiaya sahipler.) Newton, "Doğa Felsefesinin Matematiksel Prensipleri" adlı, kısaca Principia diye bilinen, kitabıyla bu kanaati pekiştirmiştir. Matematikte aşkınlığına örnekler verdiğimiz ispatlar, fende hesaplamalar için söz konusudur. 20.yy'da kuantum mekaniğinin keşfiyle Dirac kimyanın kağıt üzerinde "bittiğini" iddia etmiştir (ve bütün kuantum kimyası kitaplarında kuyruk acısı olan kimyacılar bunu aktarırlar.) Teorik olarak evet, Schrödinger denklemi kimyanın (ve biyolojinin ve tıbbın) bütün sorunlarına "çözüm" öneriyor. Lakin bu denklemi mesela metan (${\rm CH_{4}}$) gibi aşırı derecede küçük bir sistem için -hiç bir ihmal ve kestirme yapmadan- çözmek gerektiğinde ihtiyaç duyulan hafıza yaklaşık $10^{90}$ bit kadar. Yine evreni aştık! Metan için böyleyse DNA hatta virüs için ne kadardır, onu da siz tahmin edin.

Fen ve matematiğin öğrencisi olan bizler, Sümerliler'den bu yana epey yol katettik. Ama 20. yy'da gördük ki fen ve matematiğin mızrak ucu sorunlarıyla baş etmek insan ve evreni aşan bir iş. Bir zihin sıçraması (nasılsa artık) olmadan da böyle kalacağa benziyor. Günümüzde fen ve matematiğin "bittiğini" ya da "tıkandığını" söyleyen insanların karamsarlığı zihnimizin sınırlarına dayandığımızın bir göstergesidir. Bitirirken Kepler'in "yapılabilecek bütün bilimi yaparak bilimi bitirme" niyetiyle bilimle uğraştığını hatırlatarak sizi gülümsetmeyi umuyorum.