23 Aralık 2016 Cuma

"Manavla pazarlık eden cahil ev hanımından sadece biraz daha zarif bir belagatle" yazılmıştır termodinamik kitapları

Hepimiz öğrenci olduk ve hepimiz fizikokimya veya termodinamik veya malzeme bilimi gibi dersler kanalıyla termodinamiğe öyle veya böyle maruz kaldık. Üniversite birinci sınıfta öğrenciyken genel kimya hocamın ders esnasında Termodinamiği ben anlamadım ki, siz nasıl anlayacaksınız? dediğini çok iyi hatırlıyorum. Termodinamiği anlamamada suç ne bizimdi, ne de hocamızın. Mantıksal hijyenin tamamıyla hiçe sayıldığı ve okurun aklıyla alay eden, adı ister fizikokimya olsun isterse termal fizik hiç fark etmez, papağan gibi birbirini taklit/tekrar eden sözüm ona ders kitapları burada fen eğitimine darbe vuruyordu. Aşağıda, Tuesdell'in Rasyonel Termodinamik (sayfa 61-62) adlı çalışmasından iktibas ettiğim parça, bu meyanda benim ve benim gibi hisseden pek çok tabiat felsefesi öğrencisinin hissiyatına tercüman olmaktadır. Çeviri, tüm kusurlarıyla beraber, bendenize aittir.


Son on yıl ya da daha fazla bir zamandır malzeme bilimini çalışan herkes termodinamiğin ve mekaniğin uygulamaya dökülmesi gerektiğini görmüştür. Öte yandan, şimdiye değin öğretildiği şekliyle bu iki bilim bağdaşmamaktadırlar. Başlığında sürekli ortam mekaniği veya malzeme bilimi geçen ve son dönemde yazılmış herhangi bir kitaba bakarsak, termodinamik üzerine yazılmış bir bölüme rastlarız, lakin bu bölüm aynı yazarın kaleminden çıkmış ve kitabın önceki sayfalarında yer alan mekaniğe dair diğer bölümlerle tuhaf bir tezat sergiler. Orada okur bağıntılarla, vektör ve tensör alanlarıyla, Jacobi determinantlarıyla, diferansiyel değişmezlerle, hatta belki Christoffel sembolleri ve afin bağlantılarla karşılaşır; tabii ki son elli yıldır öğretildiği haliyle gerçel analizden anlaması beklenmektedir, o ayrı. Mesela okur aşağıdaki gibi tensör formunda bulunan dinamik denklemleri anlayabilir. \begin{equation*} {\rm div} {\mathbf T} + \rho {\mathbf b} = \rho \ddot{\mathbf{x}} \ \ \ {\rm ya \ da} \ \ \ T^{km}_{\ \ \ \ \ \ ,m} + \rho b^{k} = \rho \ddot{x}^{k} . \end{equation*} Her durumda bağımlı ve bağımsız değişkenlerin ne oldukları hususunda bilgilendirilmiş, kendisine açık ve net diferansiyel denklemler ve sınır değer problemleri sunulmuş, somut problemlere uygulaması olan pek çok özel çözüm kendisine gösterilmiş ve okuduğu kitapta verilmeyen böylesi binlerce çözümün bulunduğu kalın ciltli kitaplara yönlendirilmiş ve genelde henüz çözülmemiş bazı büyük problemler kendisine iletilmiş ve bu problemlere bir çözüm getirmeye davet edilmiştir. Aynı kitabın aynı okuru termodinamik üzerine yazılmış bölüme eriştiğinde, aşağıdaki aksiyom karşısına çıkar: \begin{equation*} TdS \geq \delta Q. \end{equation*} Kendisine $dS$ ifadesinin bir [tam] diferansiyel olduğu söylenirken, $S$ fonksiyonunun hangi değişkenlere bağlı olduğu söylenmez; ve yine kendisine $\delta Q$ ifadesinin genellikle [tam] diferansiyel olmayan küçük bir nicelik olduğu söylenirken, sadece bir diferansiyelin bir başka diferansiyelden daha büyük olabileceğine değil aynı zamanda bir diferansiyelin diferansiyel olmayan başka bir şeyden de büyük olabileceğine inanması beklenmektedir. Kafasına piston, kazan, yoğunlaştırıcı (kondansör), ısı banyosu, rezervuar, ideal motor, ideal gaz, yarı statik, döngüsel, hemen hemen dengede, yalıtılmış, evren gibi bir terim mühimmatı yüklenir. Bu terimler kuşkusuz teğet düzlemi, gradyant ve tensör gibi terimlere kıyasla gündelik hayattan alışık olduğu kelimelerdir. Ne var ki önceki bölümlerde gradyant gibi kelimeleri doğru ve akıcı bir biçimde kullanmayı öğrenmişken, termodinamiğin zavallı talebesinden herhangi bir matematiksel yapıda asla kendine yer bulamayacak bu terimleri hayatının geri kalanında manavla pazarlık eden ev hanımından sadece biraz daha zarif bir belagatle savurmayı öğrenmesi beklenmektedir. Matematiksel yapıya gelince, o, hiçe sayılmıştır. Çözülecek hiç bir genel denklem yoktur, herhangi bir sınır değer ya da başlangıç değer problemi kurgulanmamış, çözüm sınıflarının karakterine ilişkin bir teorem ifade edilmemiştir. Örnekler ve alıştırmalar ise verilen fonksiyonların veya onların terslerinin kısmi türevlerini ya da integrallerini alıp, çıkan sonuçlarda sayıları yerine koymanın ötesine geçmezler. Atıfta bulunulan çalışmalara gelince, tamamen aynı muhtevayı haiz olup, belki sadece üslup ve konu sıralaması yönüyle farklılık gösterirler, ama asla kavrayış yönüyle daha geniş ya da net değildirler ve hepsi de aynı derecede matematik dışıdır. Mekanik veya elektromanyetizma veya optik veya ısı iletimi gibi teorilerde kelimenin kullanılan anlamıyla hiç bir problem çözülmez. Henüz çözülmemiş problemleri ise hak getire... Okurdan, termodinamiğin, geride yapacak bir şeyin kalmadığı, bitmiş ve aynı zamanda insanı yıpratan bir bilim olduğunu varsayması beklenir.

Sanki mekanik ile termodinamik arasındaki farkı vurgularcasına, gerçel analizin notasyonu dahi birinden ötekine geçer. Diferansiyeller türevlerin yerine geçmekle kalmaz, aynı zamanda türevler dahi \begin{equation*} \frac{\delta^{\rm rev}Q}{dV} = T \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_{P} \end{equation*} örneğinde olduğu gibi, farklı görünür! Farklılık sadece bir formaliteden ibaret değildir ($\delta^{\rm rev}$, $\partial$ ve $d$ olmak üzere üç farklı $d$ kullanımını not ediniz). Burada söz konusu olan bir mantık farklılığıdır. Bazı kitaplarda termodinamiğe dair bölümde kısmi türevler pek bir meşakkatli geometrik izahları havi iken, mekaniğe dair önceki bölümlerde kısmi türevlerin varlığını savunmak için tanıma dahi gerek duyulmamaktadır. İnterdisipliner eklektik yazarımız, muhtemelen sürekli ortam mekaniğine dair daha da eski bilimsel çalışmalardan alıp yeni sözcüklerle ifade ettiği kısımlardan sonra, eskiden okuduğu termodinamik kitabını yeniden başka kelimelerle yazarken, termodinamik kitaplarının farklı bir okuyucu kitlesi için yazıldığını unutmakta ve elastikiyeti anlattığı bölümde bir an olsun göz yummayacağı, muğlak, betimleyici ve matematiksel olmayan kelime oyunları üretmektedir.

Fark şudur ki termodinamik hiç büyümedi. Mekaniğin bazı yönleri gelişti, uygulandı, genelleştirildi ve Arşimet'ten G. D. Birkhoff'a kadar her seçkin matematikçi tarafından yeniden biçimlendirilirken, bugün dahi termodinamiği okuyan bedbaht, Kelvin'in mekanikte de kullanmayı sürdürdüğü ama hidrodinamikçilerin ve elastikiyetçilerin çoktan terk ettikleri diferansiyelleri öncelemesini takip etmede zorlanır ve Clausius'un gerçel analizi kullanırken hissettiği tedirginliğin verdiği sıkıntıya bir defa daha maruz kalmaya icbar edilir. Örneğin, zavallı okurumuzdan analizin temel teoreminin hilafına, eğer bir yol integrali sonsuz küçük adyabatların ve izotermlerin [yamalanmasıyla] kestirilirse farklı bir şey doğacağına inanması beklenmektedir.


Bu sayfadaki fotoğraf Amerikalı matematikçi Clifford A. Truesdell'e aittir ve Texas Üniversitesi, Briscoe Center for American History internet sayfasından alınmıştır. Fotoğrafın telif ve çoğaltma hakkıyla ilgili beyanda, ticari amaç gütmeden, eğitim ve araştırma amaçlarıyla kullanılabileceği ifade ediliyor.

30 Kasım 2016 Çarşamba

Cavalieri'nin teoremiyle integral analiz kullanmadan kürenin hacmi

Güneş, Ay, Dünya ve Güneş Sistemini oluşturan diğer gezegenler ve onların uydularının hemen hemen tamamı yaklaşık olarak küresel şekildedir. Bunda tabiatta iş gören dört temel kuvvetten genel çekim kuvvetinin küresel simetriye sahip olması başlıca işlevi üstlenir. İkinci temel kuvvet olan Coulomb kuvveti de küresel simetriye sahip olduğundan, bu kuvvet altında hareket eden atomlar ve atomları oluşturan yüklü tanecikler hem mikroskopik hem de makroskopik bazda küresel şekiller oluşturma eğilimindedirler. Kürenin merkezinden geçen her dönme ekseni ve her düzlem bir simetri işlemidir ve kürenin sonsuz adette simetrisi vardır. Kürenin anlattığımız bu özelliklerinin bir kısmını ve evrenin her yerinde oluşunu eski insanlar da biliyorlardı. Örneğin Pisagorcular Dünyanın küresel olduğunu biliyordu. Hatta Eratosthenes Dünyanın çevresini (ve dolayısıyla yarı çapını) ölçmek için deneyler yapmıştı. Burada yeri gelmişken belirtelim: Dünyanın küresel olduğu Antik Çağlardan beri bilim adamları arasında pek tartışma konusu olmamıştır. Üç aşağı beş yukarı hepsi Dünyanın küresel olduğu hususunda hem fikirdirler.

Kürenin hacmini ve yüzey alanını ise -integral analizi kullanmadan- ilk defa hesaplayan kişi Arşimet'tir. Kendisi bunu ömrünün en büyük başarısı addetmiş hatta ispatta kullandığı yöntemin mezar taşına yazılmasını da istemiştir. Arşimet'in Siraküza şehrinde cahil bir Romalı asker tarafından katledildiğini biliyoruz. Eski Yunan kültürünün Roma İmparatorluğu'nun savaş makinesine mağlup olmasıyla, bir zamanlar Arşimetler yetiştiren Siraküza, zaman içerisinde yetiştirdiği dahilerden dahi bihaber bir duruma düşmüştür. Antik Roma döneminin meşhur yazar ve devlet adamlarından Cicero, Arşimet'in mezarını nasıl bulduğunu aşağıdaki satırlarda anlatıyor. Konumuzla ilgili olduğu için aşağıdaki parçayı bu vesileyle Arşimet'in hatırasına saygı bağlamında burada paylaşmak istiyorum.

        Lakin Dionysius'un kendi şehri Siraküza'dan, Dionysius'tan yıllar sonra yaşamış, pek az tanınan, küçük bir adama, Arşimet'e, bir zamanlar cetveliyle üzerinde çizgiler çizdiği topraktan çağrıda bulunacağım. Sicilya'da vergi tahsilat memuru olarak vazife yaptığım dönemde [MÖ 75'te, Arşimet'in vefatından 137 yıl sonra] onun mezarının izini bulmaya muvaffak oldum. Siraküzalılar mezar hakkında bir şey bilmedikleri gibi mezarın varlığını da inkar ediyorlardı. Ama işte karşımdaydı, böğürtlen çalıları ve dikenleriyle tamamen sarılmış ve saklanmış bir halde oradaydı. Arşimet'in mezar taşının tepesine yazılmış, bir küre ve silindire atıfta bulunan, önceden duyduğum bazı basit mısraları hatırladım ve Agrigento Kapısı'nın yanında duran sayısız mezarı iyice inceledim. Nihayet, üstünde bir küre ve silindir duran ve çalılardan zar zor görünen bir sütunu farkettim. Derhal Siraküzalılar'a, ki şehrin öndegelenlerinden bazıları da o an benimle beraberdi, peşinde olduğum şeyin bu olduğuna inandığımı söyledim. Anıt mahallini temizlemek üzere oraklı adamlar gönderildi ve anıta bir yol açıldığında doğrudan anıta doğru yürüdük. Her ne kadar lahitteki her satırın takriben ikinci yarısı aşınmış bulunsa da, mısralar hala görülebiliyordu.
        Hem Yunan dünyasının en meşhur yerleşim merkezlerinden birisi hem de eski günlerinde büyük bir eğitim merkezi olan bu şehir, Arpinumlu bir adam [Cicero, kendini kastediyor.] çıkıp göstermeseydi, şimdiye kadar yetiştirdiği en büyük yurttaşının kabrinden tamamıyla bihaber kalacaktı!
Cicero, On The Good Life. (İngilizce tercümesinden Türkçe'ye yerölçüsü için çevirdim. MD)

Biz bu postada kürenin hacmini hesaplayacağız ama kullanacağımız yöntem Cavalieri teoremine dayanacak. Tıpkı Arşimet gibi yarı çapı $R$ olan bir yarım küreyi, tabanının yarı çapı ve yüksekliği $R$ olan bir silindirin içine yerleştireceğiz. Dolayısıyla silindirin tavanı ile yarım kürenin kuzey kutbu birbirlerine teğet olacaklar. Daha sonra tabanı silindirin tavanıyla çakışık, yükseliği ise yine $R$ olan bir koniyi yine aynı silindirin içine yerleştireceğiz. Cavalieri'nin teoremini uygulayabilmek için silindirin tabanına (ya da tavanına) paralel bir düzlem ile bu cisimleri keseceğiz. Düzlem ile koninin kesişimi küçük bir çember vermektedir. Küre ile silindir arasında kalan bölgeyle düzlemin kesişimi ise bir halka tasvir ediyor.

Daha fazla ilerlemeden Cavalieri'nin teoremine ispatsız yer verelim.

Teorem: (Cavalieri) Üç boyutlu uzayda iki tane katı cisim birbirine paralel iki düzlem arasında bulunsun. Bu düzlemlere paralel her düzlem, söz konusu katı cisimleri eşit kesit alanları üretecek şekilde kesiyorsa, o zaman bu iki katı cismin hacimleri eşittir.

Cavalieri'nin teoreminde bahsettiği iki paralel düzlem bizim çalışmamızda üç boyutlu resimdeki silindirin tabanını ve tavanını kapsayan düzlemlerdir. Bu düzlemlere paralel bir düzlemi yine şekilde gösterdik. Amacımız söz konusu düzlemin, koniden kestiği dairesel alan ile, yarım küre ve silindir arasında kalan bölgeden kestiği alanların eşit olduğunu ispatlamak. Üç boyutlu resimdeki düzlemi yandaki çizimde kesikli çizgilerle gösterdik. Bu çizimde silindirin tabanına ve tavanına dik ve kürenin merkezini de kapsayan bir düzlemin kestiği bölge gösterilmektedir. Şimdi, silindirin yarı çapının ve yüksekliğinin eşit olduğu dikkate alınırsa, bu silindire yerleştirilen koninin aslında ikizkenar dik üçgenin $90^{\circ}$'lik tepe açısı etrafında döndürülmesiyle elde edildiği kolayca anlaşılır. Çalıştığımız paralel düzlem silindirin tabanından $x$ yükseklikte cisimleri $A,B,C$ noktalarında kessin. Koninin kesit alanı ikizkenar dik üçgen olduğundan $|OO^{\prime}|=|CO^{\prime}|=:x$ olacaktır. Dolayısıyla düzlemin koniden kestiği dairenin alanı $S_{1} := \pi x^{2}$ kadardır.

Pisagor teoreminin basit bir uygulamasıyla $(|BC|+x)^{2}+x^{2}=R^{2}$ ya da $|BC|=\sqrt{R^{2}-x^{2}}-x$ olduğu görülür. Yine şekile referansla, paralel düzlemin silindir ile küre arasında kalan bölgeden kestiği halkanın kalınlığı $u$ için $u=R-|BC|-x$ ya da $u=R-\sqrt{R^{2}-x^{2}}$ olduğu ortaya çıkmaktadır. Bu halkanın alanı ise $S_{2}:=\pi R^{2} -\pi (R-u)^{2}$ olduğundan, $S_{2}=\pi x^{2}$ olduğu kolayca görülür. Demek ki $S_{1}=S_{2}$ imiş.

Cavalieri teoremi uyarınca silindirin içindeki koninin hacmi ile, yarım küre ile silindir arasında kalan bölgenin hacimleri aynı olmalıdır. Ama daha önce bu blogda yaptığımız çalışmalar uyarınca koninin hacmi \begin{equation*} V_{C} := \frac{1}{3} \pi R^{3} \end{equation*} olmalıdır. O zaman yarım kürenin hacmi \begin{equation*} V_{HS} := \pi R^{3} - \frac{1}{3} \pi R^{3} = \frac{2}{3} \pi R^{3} \end{equation*} bulunur. Buradan da kürenin hacmi olan $V_{S} := 2V_{HS} = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ formülüne kolayca uzanılır.

28 Kasım 2016 Pazartesi

İntegral analiz kullanmadan koni, piramid ve düzgün dörtyüzlü için hacım hesabı

Alan ve hacim hesaplamaları geometrinin çıkış noktalarından birisidir. Küp, silindir, dikdörtgenler prizması gibi basit şekillerin hacim formülleri tanımlar kovalanarak kolayca bulunurken koni, küre, düzgün dörtyüzlü gibi şekillerin hacimlerinin hesaplanmasının genellikle integral alınarak hesaplandığından söz edilir. Koni Eski Yunanlılarca adına konik kesitler denilen parabol, hiperbol, elips ve çember gibi şekilleri içerdiği için çalışılmıştır. Dahası Arşimet, koninin hacmini kullanarak kürenin hacmini de integral kullanmadan hesaplamıştır. Biz bu postada, hiç integral kullanmadan koni ve benzeri şekillerin hacimlerini hesaplayacağız.

Koniden, koniye benzer bir kısmı tabana paralel olacak şekilde keselim. Aşağıda kalan parçaya literatürde frustum denmektedir. Frustumun yüksekliği $h_{1}$, taban alanı ise $S_{1}$ olsun. Benzer şekilde kesilen koninin yüksekliğine $h_{2}$, taban alanına ise $S_{2}$ diyelim. Taban alanların kare kökleri koni tabanlarını oluşturan yarı çapla orantılı olduğundan, üçgenlerin benzerliğinden faydalanarak \begin{equation*} \sqrt{\frac{S_{2}}{S_{1}}} = \frac{h_{2}}{h_{1}+h_{2}} \end{equation*} yazabiliriz. Bu denklem vasıtasıyla problemin dört parametresinden bir tanesini, mesela $h_{2}$ parametresini denklemlerden eleyebiliriz. Bundan sonra \begin{equation*} h_{2} = h_{1} \frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{2}}-\sqrt{S_{1}}} \end{equation*} ifadesini kullanacağız. Bu postada koninin hacminin ($V$), taban alanı ($S$) ve yüksekliği ($h$) cinsinden $V = \kappa Sh$ şeklinde bir formülle verildiği varsayıp, daha sonra buradaki $\kappa$ sabitini bulacağız. Frustumun hacmi \begin{eqnarray}\nonumber V_{F} &=& \kappa S_{1}(h_{1}+h_{2}) - \kappa S_{2}h_{2} \\ \nonumber &=& \kappa \frac{S_{1}^{3/2}}{S_{1}^{1/2}-S_{2}^{1/2}} h_{1} - \kappa \frac{S_{2}^{3/2}}{S_{1}^{1/2}-S_{2}^{1/2}} h_{1} \\ \nonumber &=& \kappa h_{1} (S_{1}+\sqrt{S_{1}S_{2}}+S_{2}) \end{eqnarray} şeklinde ifade edilebilir. Şimdi frustumda $h_{1}$ uzunluğunu çok küçülttüğümüzde, frustumun geometrisi bir silindire çok yaklaşır ve asimptotik olarak $S_{2} \to S_{1}$ ve hacim formülünde $V_{F} \to 3\kappa S_{1}h_{1}$ olur. Ama bu formülün bir silindirin hacmini verebilmesi için $\kappa = 1/3$ olmalıdır. Demek ki taban alanı $S$, yüksekliği $h$ olan bir koninin hacmi \begin{equation*} V = \frac{1}{3} Sh \end{equation*} formülüyle veriliyormuş.

Burada yaptığımız çalışmanın piramitler ve düzgün dörtyüzlü içinde geçerli olduğunu ve ilgili cisimlerinin taban alanı ve yükseklik çarpımlarının üçte birinin onların hacmini vereceğini gözleyiniz.