25 Ağustos 2016 Perşembe

John von Neumann'ın Cauchy Schwarz ispatı

20. yy'ın ilk çeyreğinde fizik literatüründe eski kuantum mekaniği diye tabir edilen bir kuantum branşı vardı. Her ne kadar bu branş çerçevesinde verilen izahlara nisbeten ad hoc denilse de, Planck, Bohr, Einstein ve de Broglie gibi isimlerin öne çıktığı bu devre modern kuantum mekaniğine giden yolda önemli bir safhadır. Bu alacakaranlık çağın ardından başta Heisenberg, Schrödinger ve Dirac olmak üzere fizikçiler sadece bir iki yıl içerisinde modern kuantum mekaniğini kurdular. Heisenberg ve Dirac cebirsel, Schrödinger ise kısmi diferansiyel denklemlere dayalı bir dil kullanmayı tercih ettiler. (Bugün dahi fizik literatüründe gördüğümüz, ipe sapa gelir bir yanı olmayan matris mekaniği tabirini Heisenberg'e borçluyuz.) Iskaladıkları bir şey vardı bu fizikçilerin: Kuantum mekaniğinin temel objesi olan dalga fonksiyonu nerede (hangi uzayda) duracaktı? Bu sorunu onların çağdaşı, matematikçi John von Neumann çözdü. Hem fizik literatüründeki Dirac delta fonksiyonu gibi bilim kurgu safsatalarını ameliyat etmek ve hem de işi başından doğru bir zemine oturtmak için kuantum mekaniğini Hilbert uzaylarına oturttu.

Kaleme aldığı Mathematical Foundations of Quantum Mechanics adlı kitap bu bilimi ciddi olarak öğrenmek ve bilgisinin gramer hatalarından ari olmasını isteyen insanlar için referans değerindedir. Daktiloyla yazılan bu kitabın İngilizce tercümesinin tıpkı basımı bugün Princeton Üniversitesi Yayınları tarafından hala daktilo fontuyla (!) yayımlanmaktadır. Bu kitabı okurken hem Cauchy-Schwarz eşitsizliğine hem de ispatına von Neumann'ın yer verdiğini gördüm.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği matematikte pek çok yerde karşımıza çıkar ve reel analizdeki iç çarpım uzaylarının kalbindedir. Kuşkusuz sonsuz farklı ispatı vardır Cauchy-Schwarz'ın. Kimisi iki, bilemedin üç satırda biter. İlk defa von Neumann'ın kitabında gördüğüm ispat ise nisbeten daha uzun yer tutuyor ama hem gerçel analizde ve hem de eşitsizlikler sanatında karşımıza çıkan güzel bir anahtar fikri canlandırıyor. O da şu: $f$ ve $g$ fonksiyonlarının tanımlı oldukları her değer için $f(\alpha) \leq g(\beta)$ ise, o zaman $\max f(\alpha) \leq \min g(\beta)$ eşitsizliği de doğrudur.

Vektörleri basitçe $u$ ve $v$ gibi Latin harfleriyle göstereceğiz. Vektör uzaylarına geometrik bir karakter kazandıran iç çarpım işlemini ise, Dirac notasyonunu kullanarak, $\langle u | v \rangle$ ile. Her ne kadar normlu uzaylarda iç çarpım işlemine ihtiyaç duyulmasa da, iç çarpım kaçınılmaz olarak bir norm tanımlar. Onu da $\|u\| := \sqrt{\langle u | u \rangle}$ ile tanımlıyoruz. Son olarak çalıştığımız konu kuantum mekaniği ve karmaşık sayıların karşımıza çıkması kaçınılmaz. Bu yüzden iç çarpım işlemi tam simetrik değil: $\langle v | u \rangle = \langle u | v \rangle ^{*}$. Burada değindiğim anahtar kelimeleri açmam mümkün değil, o yüzden konuya yabancılaşan ziyaretçiyi temel gerçel analiz kitaplarına (mesela Kolmogorov ve Fomin) havale ediyorum.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği bizim ta ortaokuldan beri öğrendiğimiz vektör cebirindeki bir fikri genelleştirir. $\vec{a}$ ve $\vec{b}$, uzunluklarına da $a \geq 0$ ve $b \geq 0$ diyelim, iki vektör olsunlar. Bunların skaler çarpımları $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab \cos \theta$ ile tanımlanır. Burada $\theta$ iki vektör arasındaki açıdır. Şimdi cosinus fonksiyonu her zaman $[-1,1]$ aralığında değer aldığından, skaler çarpımda her iki tarafın mutlak değerini aldığımızda, $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq ab$ olmalıdır. İşte sana Cauchy-Schwarz!

Tabi iç çarpım uzaylarında aynı eşitsizliği ispatlamak için, yani $| \langle u | v \rangle | \leq \|u\| \|v\|$ olduğunu göstermek için, biraz daha uğraşmamız gerekiyor. Öncelikle bariz olan Bütün uzunluklar/normlar ya sıfırdır ya da sıfırdan büyüktür. fikrinden başlıyor ve iç çarpımın lineerliğinden faydalanıyoruz. \begin{eqnarray}\nonumber 0 &\leq& \|u-v\|^{2} = \langle u-v | u-v \rangle \\ \nonumber &=& \|u\|^{2} + \|v\|^{2} - \langle u | v \rangle - \langle v | u \rangle \\ \nonumber &=& \|u\|^{2} + \|v\|^{2} - 2 \Re [ \langle u | v \rangle ] \end{eqnarray} Burada $\Re [z]$ ile karmaşık $z$ sayısının gerçel kısmını temsil ettik. Bu eşitsizlik yeniden düzenlenerek iç çarpımın gerçel kısmı için aşağıdaki ara sonuca ulaşırız. \begin{equation*} \boxed{ \Re [\langle u | v \rangle ] \leq \frac{1}{2} \left( \|u\|^{2} + \|v\|^{2} \right) } \end{equation*} Her $\kappa > 0$ için eşitsizliğin her iki tarafında da $u \to \kappa^{1/2} u$ ve $v \to \kappa^{-1/2}v$ koyarsak, sol tarafın değişmeyeceği barizdir. Ama sağ taraf \begin{equation*} F(\kappa) := \frac{1}{2} \left( \kappa \|u\|^{2} + \frac{1}{\kappa} \|v\|^{2}\right) \end{equation*} olur. Devamla yine kutudaki eşitsizlikte her iki tarafta da $\alpha \in \mathbb{R}$ için $v \to \exp(i \alpha) v$ koyarsak, bu sefer sağ tarafın değişmeyeceği ama sol tarafın \begin{equation*} G(\alpha) := \cos(\alpha) \Re [\langle u | v \rangle ] - \sin (\alpha ) \Im [\langle u | v \rangle ] \end{equation*} olacağı görülür. (Belirtelim: $\Im [z]$ ile karmaşık $z$ sayısının sanal kısmını temsil ediyoruz.) O zaman genel olarak kutudaki eşitsizliği $G(\alpha) \leq F(\kappa)$ biçiminde yazabiliriz. Burada $\alpha$ ve $\kappa$ parametrelerinin birbirlerinden bağımsız olduklarını gözleyiniz. Eşitsizlik en keskin haline aşağıdaki durumda ulaşır. \begin{equation*} \max _{\alpha \in \mathbb{R}} G(\alpha) \leq \min_ {\kappa > 0} F(\kappa) \end{equation*} Basit bir optimizasyon ile $F^{\prime}(\kappa_{\rm o}) = 0$ denkleminin $\kappa_{\rm o} = \|v\| / \|u\|$ değerinde çözüldüğü ve $F(\kappa_{\rm o}) = \|u\| \|v\|$ olduğu kolayca görülür. Devamla, $G^{\prime}(\alpha_{\rm o}) = 0$ denklemi $\tan (\alpha_{\rm o}) = - \Im [\langle u | v \rangle ] / \Re [\langle u | v \rangle ]$ ile çözülür. Buradan $\sin (\alpha_{\rm o})$ ve $\cos(\alpha _{\rm o})$ değerlerini çözebiliriz ama işaret seçiminde $G$ fonksiyonunun maksimum noktasını bulmaya çalıştığımız için $G^{\prime \prime}(\alpha_{\rm o}) = -G(\alpha_{\rm o}) > 0$ şartını sağlamak zorundayız. Bu yüzden \begin{equation*} \cos (\alpha_{\rm o}) = \frac{ \Re [\langle u | v \rangle ]}{ | \langle u | v \rangle |} \ {\rm ve} \ \sin (\alpha_{\rm o}) = -\frac{ \Im [\langle u | v \rangle ]}{ | \langle u | v \rangle |} \end{equation*} seçeceğiz. Burada $| \langle u | v \rangle |^{2} = (\Re [\langle u | v \rangle ])^{2} + (\Im [\langle u | v \rangle ])^{2}$ olduğunu gözleyiniz. Bu işaret seçimi ile $G(\alpha_{\rm o}) = | \langle u | v \rangle |$ olur ve ispat tamamlanır.

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder