Üçgen içindeki bir noktanın köşelere göre durumu

Problem 1: $\triangle ABC$ üçgeni içerisinde bir $P$ noktası alınıyor. $P$ noktasının $B$ ve $C$ köşelerine göre durumu $m(\angle ABP)=:\alpha$, $m(\angle CBP)=:\beta$, $m(\angle BCP)=:\gamma$ ve $m(\angle PCA)=:\delta$ olarak veriliyor. $m(\angle BAP)=:x$ değerini verilenler cinsinden hesaplayınız.

Bu problemi sinüs teoremini üst üste üç defa kullanarak sistematik bir biçimde çözebiliriz. \begin{eqnarray}\nonumber \triangle ABP: &\ & \frac{\sin x}{\sin \alpha} = \frac{|BP|}{|AP|} \\ \nonumber \triangle BCP: &\ & \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{|CP|}{|BP|} \\ \nonumber \triangle ACP: &\ & \frac{\sin \delta}{\sin( \pi - \alpha - \beta - \gamma - \delta - x)} = \frac{|AP|}{|CP|} \end{eqnarray} Öncelikle toplamları $\pi$ kadar olan açıların sinüslerinin aynı olduğunu hatırlayalım: $\sin( \pi - \zeta) = \sin (\zeta)$. Daha sonra da yukarıdaki üç denklemi taraf tarafa çarpalım. Çarpımın sağ tarafının 1 olacağı aşikardır. Elde edilen sonuç yeniden düzenlendiğinde \begin{equation*} \sin x = \aleph \sin (\alpha + \beta + \gamma + \delta + x) \end{equation*} denklemine ulaşırız. Burada $\aleph$ oranı hesaplamaları sadeleştirmek için aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. \begin{equation*} \aleph := \frac{\sin \alpha \sin \gamma}{\sin \beta \sin \delta} \end{equation*} Trigonometrik fonksiyonların toplam formülünü kullanarak \begin{equation*} \sin x = \aleph \sin x \cos (\alpha + \beta + \gamma + \delta) + \aleph \cos x \sin (\alpha + \beta + \gamma + \delta)\end{equation*} yazabiliriz. Son denklemde her iki taraf $\cos x$ ile bölündüğünde denklemin sol ve sağ taraflarında $x$ açısına bağlı sadece $\tan x$ fonksiyonu kalır. Bu ifade yeniden düzenlendiğinde aradığımız açının tanjantını da bulmuş oluruz. \begin{equation*} \tan x = \frac{\sin (\alpha + \beta + \gamma + \delta)}{\aleph^{-1}- \cos(\alpha + \beta + \gamma + \delta)}\end{equation*} Gerisi arctan fonksiyonunu kullanarak $x$ değerini hesaplayabilmemize kalmış. arctan fonksiyonu kullanılırken, fonksiyonun $(0,\pi)$ aralığındaki değerleri alınmalıdır.

İşaret: Sistematik bir biçimde çözdüğümüz bu problemin çeşitli özel durumlarını Matematik Dünyası yayınlamıştı. Hatta rahmetli Hüseyin Demir tarafında hazırlanan ilk versiyon, derginin birinci cildinin birinci sayısının kapağındadır. Biz, elimizdeki ciltlere bakarak toplam üç tane varyant bulduk. Özel durumlardan dolayı, derginin yarışma problemi olarak verdiği varyantlar, bizim burada sunduğumuz sistematik trigonometrik yöntem dışında da çözülebiliyor. Ama bu çözümleri görmek için hiç alakasız üçgenleri eşkenar veya ikizkenar üçgenlere tamamlamak gibi bazı kahramanlık destanları yazmak gerekiyor. Bu özel durumları aşağıda listeliyoruz. (Notasyon yukarıdaki ile aynıdır.)

1. Kapak sorusu: $\alpha=\beta=\gamma=10^{\rm o}$ ve $\delta=20^{\rm o}$. Cevap $x=30^{\rm o}$. Matematik Dünyası, Cilt: 1, Sayı: 1, Yıl: 1991.
2. Kapak sorusu: $\alpha=40^{\rm o}$, $\beta=\gamma=10^{\rm o}$ ve $\delta=20^{\rm o}$. Cevap $x=70^{\rm o}$. Matematik Dünyası, Cilt: 2, Sayı: 3, Yıl: 1992.
3. $\alpha=\beta=\delta=10^{\rm o}$ ve $\gamma=20^{\rm o}$. Cevap $x=100^{\rm o}$. Matematik Dünyası, Cilt: 3, Sayı: 3, Yıl: 1993.

Birinci ve üçüncü özel durumların çok benzer oldukları halde, cevapları arasındaki sayısal farka dikkat ediniz.