Processing math: 100%

15 Eylül 2011 Perşembe

Üçgen içindeki bir noktanın köşelere göre durumu

Problem 1: ABC üçgeni içerisinde bir P noktası alınıyor. P noktasının B ve C köşelerine göre durumu m(ABP)=:α, m(CBP)=:β, m(BCP)=:γ ve m(PCA)=:δ olarak veriliyor. m(BAP)=:x değerini verilenler cinsinden hesaplayınız.

Bu problemi sinüs teoremini üst üste üç defa kullanarak sistematik bir biçimde çözebiliriz. ABP: sinxsinα=|BP||AP|BCP: sinβsinγ=|CP||BP|ACP: sinδsin(παβγδx)=|AP||CP|

Öncelikle toplamları π kadar olan açıların sinüslerinin aynı olduğunu hatırlayalım: sin(πζ)=sin(ζ). Daha sonra da yukarıdaki üç denklemi taraf tarafa çarpalım. Çarpımın sağ tarafının 1 olacağı aşikardır. Elde edilen sonuç yeniden düzenlendiğinde sinx=sin(α+β+γ+δ+x)
denklemine ulaşırız. Burada oranı hesaplamaları sadeleştirmek için aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. :=sinαsinγsinβsinδ
Trigonometrik fonksiyonların toplam formülünü kullanarak sinx=sinxcos(α+β+γ+δ)+cosxsin(α+β+γ+δ)
yazabiliriz. Son denklemde her iki taraf cosx ile bölündüğünde denklemin sol ve sağ taraflarında x açısına bağlı sadece tanx fonksiyonu kalır. Bu ifade yeniden düzenlendiğinde aradığımız açının tanjantını da bulmuş oluruz. tanx=sin(α+β+γ+δ)1cos(α+β+γ+δ)
Gerisi arctan fonksiyonunu kullanarak x değerini hesaplayabilmemize kalmış. arctan fonksiyonu kullanılırken, fonksiyonun (0,π) aralığındaki değerleri alınmalıdır.

İşaret: Sistematik bir biçimde çözdüğümüz bu problemin çeşitli özel durumlarını Matematik Dünyası yayınlamıştı. Hatta rahmetli Hüseyin Demir tarafında hazırlanan ilk versiyon, derginin birinci cildinin birinci sayısının kapağındadır. Biz, elimizdeki ciltlere bakarak toplam üç tane varyant bulduk. Özel durumlardan dolayı, derginin yarışma problemi olarak verdiği varyantlar, bizim burada sunduğumuz sistematik trigonometrik yöntem dışında da çözülebiliyor. Ama bu çözümleri görmek için hiç alakasız üçgenleri eşkenar veya ikizkenar üçgenlere tamamlamak gibi bazı kahramanlık destanları yazmak gerekiyor. Bu özel durumları aşağıda listeliyoruz. (Notasyon yukarıdaki ile aynıdır.)

  1. Kapak sorusu: α=β=γ=10o ve δ=20o. Cevap x=30o. Matematik Dünyası, Cilt: 1, Sayı: 1, Yıl: 1991.
  2. Kapak sorusu: α=40o, β=γ=10o ve δ=20o. Cevap x=70o. Matematik Dünyası, Cilt: 2, Sayı: 3, Yıl: 1992.
  3. α=β=δ=10o ve γ=20o. Cevap x=100o. Matematik Dünyası, Cilt: 3, Sayı: 3, Yıl: 1993.
Birinci ve üçüncü özel durumların çok benzer oldukları halde, cevapları arasındaki sayısal farka dikkat ediniz.

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder