Problem 1: △ABC üçgeni içerisinde bir P noktası alınıyor. P noktasının B ve C köşelerine göre durumu m(∠ABP)=:α, m(∠CBP)=:β, m(∠BCP)=:γ ve m(∠PCA)=:δ olarak veriliyor. m(∠BAP)=:x değerini verilenler cinsinden hesaplayınız.
Bu problemi sinüs teoremini üst üste üç defa kullanarak sistematik bir biçimde çözebiliriz. △ABP: sinxsinα=|BP||AP|△BCP: sinβsinγ=|CP||BP|△ACP: sinδsin(π−α−β−γ−δ−x)=|AP||CP| Öncelikle toplamları π kadar olan açıların sinüslerinin aynı olduğunu hatırlayalım: sin(π−ζ)=sin(ζ). Daha sonra da yukarıdaki üç denklemi taraf tarafa çarpalım. Çarpımın sağ tarafının 1 olacağı aşikardır. Elde edilen sonuç yeniden düzenlendiğinde sinx=ℵsin(α+β+γ+δ+x) denklemine ulaşırız. Burada ℵ oranı hesaplamaları sadeleştirmek için aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. ℵ:=sinαsinγsinβsinδ Trigonometrik fonksiyonların toplam formülünü kullanarak sinx=ℵsinxcos(α+β+γ+δ)+ℵcosxsin(α+β+γ+δ) yazabiliriz. Son denklemde her iki taraf cosx ile bölündüğünde denklemin sol ve sağ taraflarında x açısına bağlı sadece tanx fonksiyonu kalır. Bu ifade yeniden düzenlendiğinde aradığımız açının tanjantını da bulmuş oluruz. tanx=sin(α+β+γ+δ)ℵ−1−cos(α+β+γ+δ) Gerisi arctan fonksiyonunu kullanarak x değerini hesaplayabilmemize kalmış. arctan fonksiyonu kullanılırken, fonksiyonun (0,π) aralığındaki değerleri alınmalıdır.
İşaret: Sistematik bir biçimde çözdüğümüz bu problemin çeşitli özel durumlarını Matematik Dünyası yayınlamıştı. Hatta rahmetli Hüseyin Demir tarafında hazırlanan ilk versiyon, derginin birinci cildinin birinci sayısının kapağındadır. Biz, elimizdeki ciltlere bakarak toplam üç tane varyant bulduk. Özel durumlardan dolayı, derginin yarışma problemi olarak verdiği varyantlar, bizim burada sunduğumuz sistematik trigonometrik yöntem dışında da çözülebiliyor. Ama bu çözümleri görmek için hiç alakasız üçgenleri eşkenar veya ikizkenar üçgenlere tamamlamak gibi bazı kahramanlık destanları yazmak gerekiyor. Bu özel durumları aşağıda listeliyoruz. (Notasyon yukarıdaki ile aynıdır.)
- Kapak sorusu: α=β=γ=10o ve δ=20o. Cevap x=30o. Matematik Dünyası, Cilt: 1, Sayı: 1, Yıl: 1991.
- Kapak sorusu: α=40o, β=γ=10o ve δ=20o. Cevap x=70o. Matematik Dünyası, Cilt: 2, Sayı: 3, Yıl: 1992.
- α=β=δ=10o ve γ=20o. Cevap x=100o. Matematik Dünyası, Cilt: 3, Sayı: 3, Yıl: 1993.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder