Kenarları verilen bir üçgene ait unsurların uzunlukları

Bir $\triangle ABC$ üçgenine ait kenar uzunlukları $a:= |BC|$, $b:=|AC|$ ve $c:=|AB|$ verilmiş olsun. Amacımız bu üçgenin yüksekliklerini, alanını, iç ve dış açı ortayları ile kenar ortaylarının uzunluklarını, iç teğet, çevral ve dış teğet çemberlerinin yarıçaplarını verilenler cinsinden ifade etmektir.

Kenar ortaylar: $\triangle ABC$ üçgeninde $A$ noktasına ait kenar ortay $BC$ kenarını $D$ noktasında ikiye bölsün. O zaman $|BD|=|CD|=a/2$ olur. $m(\angle ACB) =: \gamma$ diyelim. $\triangle ABC$ üçgeninde uygulanan kosinüs teoremi gereğince

$$\begin{equation*} \cos \gamma = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \end{equation*}$$ olur. $A$ noktasından $|BC|$ kenarına inen kenar ortayın ölçüsü $m_{a}=|AD|$ olsun. Kosinüs teoremini $\triangle ACD$ üçgeninde de uygularsak $$\begin{equation*} m_{a}^{2}=b^{2}+\frac{a^{2}}{4}-ab\cos\gamma \end{equation*}$$ olur. $\cos \gamma$ için daha önce elde edilen değer yerine konur ve denklem yeniden düzenlenirse $$\begin{equation*} m_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}} \end{equation*}$$ sonucuna ulaşılır. $m_{b}$ ve $m_{c}$ uzunluklarının formülleri de tamamen analog bir yöntemle çıkarılabilir.

Yükseklikler: $A$ köşesinden $BC$ kenarına indirilen dikme, $BC$ kenarını $H_{A}$ noktasında kessin ve uzunluğu $h_{a}$ kadar olsun. $x:=|BH_{A}|$ dersek, $|CH_{A}|=a-x$ olur. Hem $\triangle ABH_{A}$ hem de $\triangle ACH_{A}$ dik üçgenlerdir. O zaman Pisagor teoremini bu üçgenlere uygulayabiliriz:

$$\begin{eqnarray} \nonumber \triangle ABH_{A}: &\ & x^{2} + h_{a}^{2} = c^{2} \\ \nonumber \triangle ACH_{A}: &\ & (a-x)^{2} + h_{a}^{2} = b^{2} \end{eqnarray}$$ İkinci denklemden birinci denklemi çıkartıp sonucu $x$ için yeniden düzenlediğimizde $$\begin{equation*} x = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \end{equation*}$$ bulunur. Bu ifade mesela $ABH_{A}$ ile işaretli denkleme konulursa $$\begin{eqnarray}\nonumber h_{a}^{2}&=&c^{2}-x^{2} =(c-x)(c+x)= \left( c - \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}\right) \left(c + \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}\right) \\ \nonumber &=& \frac{(2ac-a^{2}-c^{2}+b^{2})(2ac+a^{2}+c^{2}-b^{2})}{4a^{2}} \\ \nonumber &=& \frac{(b^{2}-(a-c)^{2})((a+c)^{2}-b^{2})}{4a^{2}} \end{eqnarray}$$ Pay kısmında her iki parantezdeki iki kare farkına ait ifadeler çarpanlarına ayrılıp sağ ve sol tarafın karekökleri alınırsa $$\begin{equation*} h_{a}=\frac{1}{2a}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \end{equation*}$$ formülü bulunur. $h_{b}$ ve $h_{c}$ uzunluklarının formülleri de analog yöntemlerle elde edilebilir. (Bu paragrafta $H_{A}$ noktasının $B$ ve $C$ noktaları arasına düştüğü varsayılmıştır. Bazı üçgenlerde bu nokta $B$ ve $C$ noktalarının arasında olmayabilir. Böyle bir durumu da siz inceleyiniz. )

Alan: (İskenderiyeli Heron'un formülü) Bir önceki paragrafta yükseklikleri hesapladık. Artık üçgenin alanını hesaplamak çok basit bir Taban çarpı yükseklik bölü iki. uygulamasına kaldı.

$$\begin{equation*} S(\triangle ABC)=\frac{1}{2}a h_{a}=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \end{equation*}$$ Bu formüle literatürde İskenderiyeli Heron'un (veya Hero'nun) formülü denir.

İç teğet çemberin yarıçapı: Heron'un formülünü de ispatladıktan sonra iç teğet çemberin yarıçapına geçebiliriz. $\triangle ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ noktası olsun. $I$ noktasından kenarlara indirilen dikmeler, kenarları $P$, $Q$ ve $R$ noktalarında kessin. Kenarlar çembere teğet olduğundan bu dikmelerin hepsinin uzunluğu $r$, iç teğet çemberin yarıçapı kadardır. Bu dikmeler aynı zamanda $\triangle ABI$, $\triangle BCI$ ve $\triangle ACI$ üçgenlerinin yükseklikleridir. Şekildeki üçgenlerin alanları arasında

$$\begin{equation*} S(\triangle ABC) = S(\triangle ABI) + S(\triangle BCI) + S(\triangle ACI) \end{equation*}$$ eşitliğinin olduğu aşikardır. O zaman $$\begin{equation*} S(\triangle ABC) = \frac{1}{2}(a+b+c)r \end{equation*}$$ olur. Artık burada Heron'un formülünü kullanarak $r$ uzunluğunu ifade edebiliriz. $$\begin{equation*} r=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}} \end{equation*}$$

İç açı ortaylar: $\angle BAC$ açısını ikiye bölen doğru $BC$ kenarını $L$ noktasında kessin. Tanım gereği $m(\angle BAL)=m(\angle CAD) =: \alpha$ olur. $|AL|=:l_{a}$ diyelim. İç açı ortayın $\triangle ABC$ üçgenini iki parçaya böldüğünü biliyoruz. En genel durumda bu parçaların alanları eşit olmasa dahi, bu iki parçanın alanları toplamı $S(\triangle ABC)$ değerini verecektir. O zaman

$$\begin{eqnarray}\nonumber &&S(\triangle ABC) = S(\triangle ABL)+S(\triangle ACL) \\ \nonumber &&\frac{1}{2}bc \sin (2\alpha) = \frac{1}{2}cl_{a} \sin \alpha + \frac{1}{2}b l_{a} \sin \alpha \end{eqnarray}$$ Temel trigonometrideki $\sin(2\alpha)=2\sin \alpha \cos \alpha$ formülü kullanılırsa, iç açı ortayın uzunluğu $\cos \alpha$ cinsinden yazılabilir. $$\begin{equation*} l_{a}=\frac{2bc}{b+c}\cos \alpha \end{equation*}$$ $\triangle ABC$ üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak, $\cos (2\alpha )$ değerini rahatça hesaplarız. Buradan da $\cos ^{2} \alpha = \frac{1}{2}\cos (2\alpha ) + \frac{1}{2}$ özdeşliğinden, $\cos \alpha$ değeri bulunur. $$\begin{equation*} \cos(2\alpha )= \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \ \Rightarrow \ \cos \alpha = \sqrt {\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{4bc}} \end{equation*}$$ Son olarak $\cos \alpha$ ifadesinde iki kare farkını çarpanlarına ayırarark iç açı ortay uzunluğunu $$\begin{equation*} l_{a}=\frac{1}{b+c}\sqrt{bc(a+b+c)(-a+b+c)} \end{equation*}$$ hesaplamış oluruz. $l_{b}$ ve $l_{c}$ için yapılacak analiz tamamen analogdur.

Çevral çemberin yarıçapı: Üçgenin alanının $S(\triangle ABC) = \frac{1}{2}bc \sin(\angle BAC)$ olduğunu biliyoruz. Buradan $\sin (\angle BAC) = \frac{2S(\triangle ABC)}{bc}$ olur. Yine, çevral çemberin yarıçapı da $R=\frac{a}{2\sin (\angle BAC)}$ eşitliğini sağlar. (Bunu ispatlayabilir misiniz?) O zaman İskenderiyeli Heron'un formülünü kullanarak

$$\begin{equation*} R=\frac{abc}{4S(\triangle ABC)} = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}} \end{equation*}$$ sonucuna ulaşırız.

Dış teğet çemberin yarıçapı: $\triangle ABC$ üçgeninde $AB$ ve $BC$ kenarlarını uzatalım. Üçgenin $AB$, $BC$ ve $AC$ kenarlarına sırasıyla $D$, $E$ ve $F$ noktalarında dışarıdan teğet çemberin merkezi $O_{A}$ yarıçapı $r_{A}$ olsun. Amacımız $r_{A}$ değerini üçgenin kenarları cinsinden ifade etmektir. Hesaplamalarımıza başlamadan önce bir çembere dışında kalan bir noktadan çekilen teğetlerin uzunluklarının eşit olduğunu hatırlıyoruz. O zaman $|BD|=|BE|=:x$, $|CE|=|CF|=a-x$, $|AD|=|AF|$ olur. $|AD|=c+x$ ve $|AF|=b+a-x$ oldukları gözlenirse buradan

$$\begin{equation*} x=|BD|=|BE|=\frac{a+b-c}{2} \end{equation*}$$ ve $$\begin{equation*} |AD|=|AF|=\frac{a+b+c}{2} \end{equation*}$$ bulunur. Şekildeki $ADO_{A}F$ dörtgeninin alanı için $S(ADO_{A}F) = r_{A}|AD| = r_{A}\frac{a+b+c}{2}$ yazabiliriz. Aynı alan $$\begin{equation*} S(ADO_{A}F) = S(\triangle ADF) + S(\triangle DFO_{A}) \end{equation*}$$ toplamı olarak da yazılabilir. Birbirlerini $\pi$ radyana tamamlayan açıların sinüslerinin eşit olduğunu hatırlayarak son denklemi $$\begin{equation*} \frac{1}{2}\frac{(a+b+c)^{2}}{4}\sin (\angle BAC) + \frac{1}{2}r_{A}^{2}\sin (\angle BAC) = r_{A} \frac{a+b+c}{2} \end{equation*}$$ denklemine ulaşırız. Bu $r_{A}$ için ikinci mertebeden bir denklemdir. Bu denklem klasik yöntemlerle çözüldüğünde $$\begin{equation*} r_{A}=\frac{a+b+c}{2} \frac{1\pm \cos (\angle BAC )}{\sin (\angle BAC)} \end{equation*}$$ Hangi işareti seçmeliyiz? Sezgisel olarak bakıldığında $\angle BAC$ açısı büyüdükçe dış teğet çemberin yarıçapıda büyümelidir. Böyle bir durum ancak $(-)$ işaretini seçtiğimizde mümkündür. Kosinüs teoremi kullanılarak $\cos (\angle BAC)$ rahatlıkla kenar uzunlukları cinsinden ifade edilebilir. Daha sonra da herhangi bir $\zeta$ açısı için geçerli olan $\sin \zeta = \sqrt{1-\cos ^{2}\zeta}$ formülünden de $\sin (\angle BAC)$ hesaplanılırsa, aradığımız uzunluk $$\begin{equation*} r_{A}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{-a+b+c}} \end{equation*}$$ hesaplanılabilir. Söylemeye lüzum var mı? $r_{B}$ ve $r_{C}$ tamamen analog bir biçimde hesaplanılacaktır.

Alıştırmalar

Bu bölümde bulduğumuz sonuçları kullanarak

1. Üçgenin çevresi $L$, alanı $S$ olsun. $LS=2r_{A}r_{B}r_{C}$ olduğunu gösteriniz
2. $r^{-1}=r_{A}^{-1}+r_{B}^{-1}+r_{C}^{-1}$ olduğunu gösteriniz.
3. $r^{-1}=h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}$ olduğunu gösteriniz.
4. (Zor) $\triangle ABC$ üçgeninde $A$ açısına ait dış açı ortay $BC$ kenarını üçgenin dışındaki bir $E$ noktasında kesmektedir. $$\begin{equation*} |AE|=\frac{1}{c-b}\sqrt{bc(a-b+c)(a+b-c)} \end{equation*}$$ olduğunu gösteriniz

İşaret: Burada çoğunlukla trigonometrik yöntemlerle bulduğumuz nicelikler ileride işimize yarayacak bir el kitabı niteliğindedir ve bundan sonra referans verilerek kullanılacaktır.