Descartes'ın işaret kuralı bir polinomun kaç tane pozitif kökü olacağını söyler ama her durumda tam bir cevap yerine genelde bir üst limit ve bu üst limitten ikişer ikişer azalan adette pozitif kök bulunduğunu ifade eder. Ancak iki durum hariç. (1) Bir polinomun katsayılarının hepsi aynı işarette ise o zaman bu polinomun hiç pozitif kökü yoktur. Bu az çok bariz bir önerme. (2) Bir polinomun ardışık katsayıları arasında sadece bir tane işaret değişikliği varsa o zaman bu polinomun tam bir adet pozitif kökü vardır. Bu postada bu önermeyi ispatlayacağız.
$P(X) := a_{n}X^{n} + \cdots + a_{k}X^{k} + \cdots + a_{0}$ olsun. $k+1 \leq i \leq n$ için $a_{i} \geq 0$ ve $0 \leq i \leq k$ için $a_{i} \leq 0$ verilsin. Diğer bir deyişle bu polinomun katsayılarının işaret listesinde (sıfırlar silindikten sonra) $\{+ \cdots +- \cdots -\}$ şeklinde ardışık terimler arasında sadece bir işaret değişikliği görülsün. Kendimizi garantiye almak için $a_{n} \ne 0$ ve $a_{0} \ne 0$ olduğunu da varsayacağız ki işaret listesinde gerçekten bir değişiklik olsun.
$P(0) = a_{0} \lt 0$ ve $X \to \infty$ asimptotiğinde $P(X) > 0$ olduğundan bu sürekli fonksiyonun $(0,\infty)$ aralığında en az bir kökü vardır. Bunu Calculus dersinden biliyorsunuz. $F(X) := \frac{P(X)}{X^{k}}$ tanımlayalım. $x \ne 0$ için $P(x)=0 \iff F(x)=0$ olduğu barizdir. Yani $P$ ve $F$ aynı kökleri özellikle de aynı pozitif kökleri paylaşırlar. Ama \[ F^{\prime}(X) = (n-k)a_{n}X^{n-k-1} + \cdots - \frac{a_{k-1}}{X^{2}} - \cdots - \frac{(k-1)a_{1}}{X^{k-2}} \] $F^{\prime}$ fonksiyonundaki tüm katsayılar pozitiftir. O zaman $X > 0$ için $F^{\prime}(X) > 0$ olur. Diğer bir deyişle $X > 0$ için $F$ artan bir fonksiyondur. Ama verilen bir aralıkta artan bir fonksiyonun o aralıkta en çok bir tane kökü olabilir. Bunu da Calculus'tan biliyorsunuz. Toparladığımızda $P(X)$ polinomunun tam olarak bir adet pozitif kökünün olduğunu göstermiş oluyoruz.
