Kızımın vektör cebri ödevinden Cauchy-Schwarz'a

Ne yalan söyleyeyim liseye yeni başlayan kızımın matematik ve fizik ödevlerindeki bazı soruları çok seviyorum. Dün akşam bana gösterdiği vektör cebri ile ilgili sorulardan birisini biraz soyutlayıp genelleştirince yeni (yani yeni derken benim daha önceden bilmediğim anlamında) bir Cauchy-Schwarz ispatına da ulaştım. O soruyu burada paylaşalım daha sonra da uzun ispatı beraber yapalım.

Soru:${\mathcal V}$ karmaşık bir iç çarpım uzayı, $a,b$ ve $x$ ise bu uzayda yer alan vektörler olsun. Uzayda tanımlı iç çarpımı $\langle a | b \rangle$ ile, bu iç çarpımın ürettiği normu da $\|a\| := \sqrt{\langle a | a \rangle}$ ile gösterelim. Normu minimum olacak şekilde $a$ vektörüne öyle bir $x$ ekleyiniz ki $a+x$ ile $b$ aynı doğrultuda olsunlar.

Çözüm: $\alpha \in \mathbb{C}$ olmak üzere bizden $a+x = \alpha b$ denklemini sağlayan tüm $x$ vektörlerinden normu en küçük olanını bulmamız isteniyor. $x = \alpha b - a$ olduğundan optimize etmek istediğimiz normu (daha doğrusu onun karesini) kolayca hesaplayabiliriz. \begin{eqnarray} \nonumber \|x\|^{2} &=& \|\alpha b - a\|^{2} = \langle \alpha b - a | \alpha b - a \rangle \\ \nonumber &=& |\alpha|^{2} \|b\|^{2} + \|a\|^{2} - \alpha \langle a | b \rangle - \overline{\alpha} \langle b | a \rangle \end{eqnarray} Burada $\overline{\alpha}$ ile $\alpha$ skalerinin karmaşık eşleniği temsil edilmektedir.

$\alpha = \varrho e^{i \varphi}$ ile bu sayıyı kutuplu koordinatlarda temsil edelim ve $\varrho \gt 0$ olsun. O zaman \begin{eqnarray} \nonumber \|x\|^{2} &=& \varrho^{2} \|b\|^{2} + \|a\|^{2} - \varrho \left( e^{i\varphi}\langle a | b \rangle + e^{-i\varphi}\langle b | a \rangle \right) \\ \nonumber &=& \varrho^{2} \|b\|^{2} + \|a\|^{2} - 2\varrho \Re\left[ e^{i\varphi}\langle a | b \rangle \right] \\ \nonumber &=& \varrho^{2} \|b\|^{2} + \|a\|^{2} - \varrho \cos \varphi (\langle a | b \rangle + \langle b | a \rangle) - i\varrho \sin \varphi (\langle a | b \rangle - \langle b | a \rangle) \end{eqnarray} olur. Burada $\Re[z]$, $z$ karmaşık sayısının gerçel kısmını temsil etmektedir ve bu kısım her zaman $(z+\overline{z})/2$ ile hesaplanabilir. Benzer şekilde $(z-\overline{z})/2i$ de aynı sayının sanal kısmını verir ve $\Im[z]$ ile gösterilir.

Normu $\varrho$ ve $\varphi$ cinsinden ifade ettik. Şimdi optimize edelim. \begin{eqnarray}\nonumber 0 &=& \frac{\partial \|x\|^{2}}{\partial \varphi} = \sin \varphi (\langle a | b \rangle + \langle b | a \rangle) - i \cos \varphi (\langle a | b \rangle - \langle b | a \rangle) \\ \nonumber 0 &=& \frac{\partial \|x\|^{2}}{\partial \varrho} = 2 \varrho \|b\|^{2} - \cos \varphi (\langle a | b \rangle + \langle b | a \rangle) - i \sin \varphi (\langle a | b \rangle - \langle b | a \rangle) \end{eqnarray} Bu optimizasyon denklemlerine her zaman trigonometrik Pisagor teoremini ekleyebiliriz. \begin{equation*} \sin^{2} \varphi + \cos^{2}\varphi = 1 \end{equation*} İlk optimizasyon denklemi ile trigonometrik Pisagor teoremi beraber çözüldüklerinde $\cos \varphi$ ve $\sin \varphi$ kolayca bulunur. \begin{equation*} \cos \varphi = \frac{\langle a | b \rangle + \langle b | a \rangle}{2 |\langle a | b \rangle|} \ \ \ \text{ve} \ \ \ \sin \varphi = i \frac{\langle a | b \rangle - \langle b | a \rangle}{2 |\langle a | b \rangle|} . \end{equation*} Bu sonuçları $\varrho$ için verdiğimiz ikinci optimizasyon denkleminde kullandığımızda \begin{equation*} \varrho = \frac{|\langle a | b \rangle|}{\|b\|^{2}} \end{equation*} bulunur ve optimizasyon hesaplamaları da böylece biter.

En küçük norm değerini veren $\varrho$ ve $\varphi$ niceliklerini (ya da $\alpha$ niceliğini) bulduk. Bunları $\|x\|^{2}$ için türettiğimiz denklemde kullanarak artık aradığımız minimal normu verebiliriz. \begin{equation*} \boxed{ \min \|x\|^{2} = \|a\|^{2} - \frac{|\langle a | b \rangle|^{2}}{\|b\|^{2}} } \end{equation*}

Ödev: Bu minimal norma tekabül eden $x$ vektörünü hesaplayınız.

İşaret: Minimal de olsa bir sayının karesi ya pozitiftir ya da sıfır. O zaman $\min \|x\|^{2} \geq 0$ eşitsizliğini yeniden düzenleyip her iki tarafın kökünü aldığımızda Cauchy-Schwarz eşitsizliğine ulaşıyoruz ki Wow! yani. \begin{equation*} |\langle a | b \rangle| \leq \|a\| \|b\| \end{equation*}

Daha önce bu blogda John von Neumann ve Paul Halmos'un Cauchy-Schwarz ispatlarına yer vermiştik. Bu da bendenizin Cauchy-Schwarz ispatı olsun. Kullandığımız yöntemin karmaşıklığı olarak von Neumann ispatını andırdığımız söylenebilir.

Çekilişlerde zugzwang yok

Satrançta hamle kimdeyse avantaj da ondadır. Büyük ustaların oyunlarında kimi zaman bir hamle kaybedenlerin oyundan çekildiği dahi görülür. Öte yandan, nadiren de olsa, hamle sırası kimdeyse o oyuncunun kesinlikle partiyi kaybettiği bazı oyun sonu durumları da vardır. Bunlara literatürde zugzwang denir. Bugünkü postada basit bir çekiliş probleminde hiç zugzwang olmadığını göstereceğiz. Çalışacağımız çekiliş problemi aşağıda.

Soru: Alp ve Burcu içinde $n$ adet kırmızı ve $m$ adet siyah top bulunan bir torbadan sırayla top çekiyorlar. Kırmızı topu ilk çeken oyunu kazanıyor ve eğer siyah top çekilmişse o zaman top tekrar torbaya konuyor. Oyuna Alp başladığına göre Alp'in çekilişi kazanma ihtimali nedir?

Kurguya göre $k \in \mathbb{Z}^{+}$ olmak üzere Alp birinci, üçüncü, beşinci ve genel olarak $(2k-1).$ çekilişleri yaparken Burcu da ikinci, dördüncü, altıncı ve genel olarak $2k.$ çekilişleri yapmaktadır. $A_{2k+1}$ ilk $2k$ çekilişte peşpeşe siyah top çekilirken $(2k+1).$ çekilişte kırmızı top çekildiği durumları temsil etsin. Bu durumlarda Alp çekilişi kazanmaktadır. $P(A_{1})=\frac{n}{n+m}$, $P(A_{3}) = \left(\frac{m}{n+m}\right)^{2} \frac{n}{n+m}$ ve genel olarak $P(A_{2k+1}) = \left(\frac{m}{n+m}\right)^{2k} \frac{n}{n+m}$ olur. Bütün bu ihtimalleri topladığımızda Alp'in çekilişi kazanma ihtimalini de hesaplamış oluruz.

\begin{eqnarray}\nonumber P(\text{Alp}) &:=& \sum_{k=0}^{\infty} P(A_{2k+1}) \\ \nonumber &=& \frac{n}{n+m} \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{m}{n+m}\right)^{2k} = \frac{n}{n+m} \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{m^{2}}{(n+m)^{2}}\right)^{k} \\ \nonumber &=& \frac{n}{n+m} \frac{1}{1 - \frac{m^{2}}{(n+m)^{2}}} \\ \nonumber &=& \frac{n+m}{n+2m} \end{eqnarray}

Alp'in kazanma ihtimali için \begin{equation*} P(\text{Alp}) = \frac{n+m}{n+2m} \gt \frac{\frac{n}{2}+m}{n+2m} = \frac{1}{2} \end{equation*} eşitsizliği her zaman geçerli olduğundan, çekilişe başlayan daha şanslıdır.

İşaret: Çekilişin anlamlı olabilmesi için $n \ll m$ olmalıdır. Bu asimptotikte $P(\text{Alp}) \sim 1/2$ olduğundan çekiliş nisbeten daha adil olmaktadır.

Ödev: $n=3$, $m=7$ olsun ama çekilen top torbaya konulmasın. Bu durumda Alp'in kazanma ihtimalini hesaplayınız.

Siklotomik polinomlarla çözülen bir geometri problemi

Soru: Birim çember üzerinde birbirine uzaklığı eşit $n$ nokta seçilsin ve daha sonra bu noktalardan biri sabit tutulup diğer $n-1$ noktaya doğru parçaları çizilsin. Doğru parçalarının uzunlukları çarpımı $n$ olur. İspatlayınız.

Bu problemi Bak ve Newman'ın beraber kaleme aldığı Kompleks Analiz kitabının ilk faslında gördüm. Çözümüne beraber bakalım. Birim çember üzerinde birbirine uzaklığı eşit $n$ nokta denildiğinde aklımıza ilk gelmesi gereken konu 1'in $n.$ dereceden kökleridir. Bu kökler \begin{equation*} z^{n}-1=0 \end{equation*} denklemini sağlar. Bu denklemin köklerinden bir tanesi ve en bariz olanı $1$'dir. Diğerlerini de $\zeta_{j} := \exp(2\pi i j / n)$ formülüyle ifade edebiliriz. Burada $i:=\sqrt{-1}$ ve $j \in \{0,\ldots,n-1\}$. $\zeta_{j}^{n}=1$ olduğundan bu niceliklerin 1'in $n.$ dereceden kökü olduğu barizdir.

Şimdi elimizdeki cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayıralım. \begin{equation*} z^{n}-1 = (z-1) \varphi_{n}(z) \ \ \text{ve burada} \ \ \varphi_{n}(z) := z^{n-1} + z^{n-2} + \cdots + z + 1. \end{equation*} Çarpanlara ayırma işlemi sırasında zuhur eden $\varphi_{n}$ polinomlarına cebir literatüründe siklotomik polinomlar denir. Cebirin temel teoremi uyarınca siklotomik polinomları 1'in $n$. dereceden kökleri cinsinden hemen çarpanlarına ayırabiliriz. \begin{equation*} \varphi_{n}(z) = (z-\zeta_{1}) \cdots (z - \zeta_{n-1}) \end{equation*}

Gelelim problemin çözümüne. Genelliği kaybetmeden birim çember üzerinde aldığımız ilk nokta $\zeta_{0}=(1,0)$ noktası olsun. Bu noktadan herhangi bir $\zeta_{j}$ noktasına çizilen doğru parçasının uzunluğu $|\zeta_{0}-\zeta_{j}|=|1-\zeta_{j}|$ olur. Bu uzunlukların çarpımı ise \begin{equation*} |(1-\zeta_{1}) \cdots (1-\zeta_{n-1})| = |\varphi_{n}(1)| = n \end{equation*} kolayca hesaplanır.

Ödev: $|\zeta_{j+1}-\zeta_{j}|$ uzunluğunu hesaplayarak düzgün $n$-genin kenar uzunluğunu $n$ cinsinden ifade ediniz.