Arnol'd'un serbest düşme problemi ve çözümü - bazı gözlemler

Sabit duran bir gezegene çok yüksekten serbest düşmeye bırakılan bir test parçacığının dinamiğini bir önceki postada çalıştık. Orada çözümün aşkın bir denklem çıktığını not edip sadece yere düşme zamanı için analitik bir ifade vermiştik. Bu postada çözümü Kepler denklemi formuna getirip eğer Kepler denkleminin çözüm yapılırsa o zaman Arnol'd'un serbest düşme probleminin de ilgili çözüm cinsinden ifade edilebileceğini göstereceğiz.

Bir önceki postadaki bulgularımızı özetlemekle işe başlayalım.

$$\frac{\sqrt{2}\tau}{(1+x_{\circ})^{3/2}} = \int\limits_{\varphi(\tau)}^{\pi/2} 2\sin^{2}(\varphi) d\varphi = \int\limits_{\varphi(\tau)}^{\pi/2} (1-\cos(2\varphi)) d \varphi = \frac{\pi}{2} - \varphi(\tau) + \sin(\varphi(\tau)) \cos(\varphi(\tau))$$ $\varphi \in [0,\pi/2]$ olduğundan $\omega := \frac{\pi}{2} - \varphi$ tanımıyla $\sin \varphi = \cos \omega$ ve $\cos \varphi = \sin \omega$ olur ve kapalı formda verdiğimiz çözüm aşağıdaki gibi ifade edilir. $$\frac{\sqrt{2}\tau}{(1+x_{\circ})^{3/2}} = \omega(\tau) + \sin(\omega(\tau)) \cos(\omega(\tau)) = \omega(\tau) + \frac{1}{2}\sin(2\omega(\tau))$$ Her iki tarafı basitçe 2 ile çarpalım ve $\Sigma := 2 \omega$ ve $\sigma := 2\sqrt{2}\tau / (1+x_{\circ})^{3/2}$ tanımlarından faydalanalım. Böylece bulduğumuz çözüm Kepler denkleminin çok özel bir formu haline gelir. $$\boxed{ \Sigma(\sigma) + \sin(\Sigma(\sigma)) = \sigma }$$

Bu aşkın denklem Kepler'den beri asırlardır astronomicilerin ilgisini çekmiş. Çözümü için seri açılımları, Picard tarzı iterasyonlar ya da Raphson-Newton yöntemi öneriliyor. (Şablon olarak az çok Lambert-$W$ fonksiyonunun tanımını andıran bir kurulumda olduğunu da not ediniz.) Elinizde güvenilir bir Kepler çözücü olduğunu varsaydığımızda nihai çözümü $\Sigma \to \omega \to \varphi \to u \to x$ dönüşüm silsilesini takip ederek (Lütfen bir önceki postayı okuyunuz!) aşağıdaki gibi ifade edebilirsiniz.

$$x(\tau) = \frac{1+x_{\circ}}{2}\cos(\Sigma(\tau)) + \frac{x_{\circ}-1}{2}$$