Hepimiz vektör çarpımını (cross product) ve dönme işlemcilerini (rotation operations) üniversite birinci sınıftan beri elektromanyetik veya açısal momentum derslerinden biliyoruz. Klasik mekanikte katı cisimleri çalışanlar ise bu işe daha bir vukufiyet kazanmışlardır. Klasik mekanikte açısal momentum sadece laboratuvar koordinatlarında (space fixed coordinates) korunur. Öte yandan eylemsizlik moment tensörü (moment of inertia tensor) ise dönen koordinatlarda (body fixed coordinates) bir kere hesaplandımı katı cisimler için artık sabittir. Dolayısıyla bu iki koordinat sistemi arasında kaldığımızda, işin aslına bakılırsa her ikisi de bizim için avantajlıdır ve birini ötekine tercih edemeyiz. O zaman bunlar arasındaki dönüşüm R altında vektörlerin nasıl davrandığını bilmemiz gerektiği barizdir.
Şimdi a∈R3 ve b∈R3 iki vektör, R∈R3×3 ise uygun bir dönme matrisi olsun. Yani detR=1 ve RTR=I. Burada RT, R matrisinin transpozesini, I ise üç boyutlu birim matrisi temsil etmektedirler. Bu ön tanımları hallettikten sonra artık sorunumuza başlayabiliriz. Dönen koordinatlarda yapılan bir vektörel çarpım, bu vektörlerin laboratuvar koordinatlarındaki çarpımlarıyla nasıl bağdaştırılabilir? Matematiksel ifadesiyle R(a×b) çarpımını Ra ve Rb cinsinden nasıl ifade edebiliriz?
Kolay! R normal bir matris olduğunundan spektral teoremi uygulayabilir ve onu özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edebiliriz. R matrisinin özdeğer denklemi Rei=λiei ile veriliyorsa, o zaman bu matrisin sepktral bozunumu (sepctral decomposition) aşağıdaki gibidir. R=λ1e1e†1+λ2e2e†2+λ3e3e†3 Vektörlerin tepesindeki hançer (dagger) işareti onların hermitik eşleniğinin alındığını ifade ediyor. Genelliği kaybetmeden birbirlerine dik ei vektörlerinin sağ el kuralına uyan bir koordinat sistemi oluşturduğunu varsayalım. O zaman ei×ej=ϵijkek olacaktır. Burada ϵijk tamamen antisimetrik Levi Civita sembolüdür. Çalıştığımız vektörlerin bu koordinatlardaki ifadesini de rahatlıkla Dirac notasyonunu yazabiliriz. a=⟨e1|a⟩e1+⟨e2|a⟩e2+⟨e3|a⟩e3 ve b=⟨e1|b⟩e1+⟨e2|b⟩e2+⟨e3|b⟩e3. Şimdi özdeğer denklemini kullanarak Ra ve Rb vektörlerini ifade edebiliriz. Ra=λ1⟨e1|a⟩e1+λ2⟨e2|a⟩e2+λ3⟨e3|a⟩e3 ve Rb=λ1⟨e1|b⟩e1+λ2⟨e2|b⟩e2+λ3⟨e3|b⟩e3. R matrisinin özvektörlerinin sağ el kuralına uyan dik bir koordinat sistemi oluşturduğu bilgisini kullanarak aşağıdaki sonucu elde ediyoruz. (Ra)×(Rb)=λ2λ3(⟨e2|a⟩⟨e3|b⟩−⟨e3|a⟩⟨e2|b⟩)e1+λ1λ3(⟨e3|a⟩⟨e1|b⟩−⟨e1|a⟩⟨e3|b⟩)e2+λ1λ2(⟨e1|a⟩⟨e2|b⟩−⟨e2|a⟩⟨e1|b⟩)e3 Ama detR=λ1λ2λ3=1 olduğundan yukarıdaki denklemde λ1λ2=1/λ3 vb ilişkileri kullanabiliriz. O zaman (Ra)×(Rb)=1λ1(⟨e2|a⟩⟨e3|b⟩−⟨e3|a⟩⟨e2|b⟩)e1+1λ2(⟨e3|a⟩⟨e1|b⟩−⟨e1|a⟩⟨e3|b⟩)e2+1λ3(⟨e1|a⟩⟨e2|b⟩−⟨e2|a⟩⟨e1|b⟩)e3 yazılabilir. Ama lineer cebirden biliyoruz ki, A özdeğerleri λi olan bir matrisse, o zaman A−1 matrisinin özdeğerleri λ−1i ile verilir ve her ikisi de aynı özvektörleri paylaşırlar. Dolayısıyla yukarıdaki denklemde (1/λ1)e1=R−1e1 yazabiliriz. Ama R bir dönme matrisi olduğundan, R−1=RT ilişkisi geçerlidir. Kısaca ifade etmek gerekirse efektif olarak aşağıdaki denklemi ispatlamış oluyoruz. (Ra)×(Rb)=RT(a×b)
Bu sonuç yanlıştır!
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder