Üç kenarortayı verilen bir üçgeni cetvel ve pergelle çiziniz

Bugün yine bir ters üçgen problemi çalışacağız. Üç kenarortayı da verilen bir üçgen var elimizde ve bu bilgiden yola çıkarak bu üçgeni çizmemiz isteniyor. Soruyu cebirsel yöntemle çözeceğiz ve hiç de şık olmayan bir tarzda bu cebirsel çözümü alıp cetvel pergel çiziminde aynen kullanacağız. Daha önce yerölçüsünde kenarları verilen bir üçgenin kenarortaylarını hesaplamayı anlatmıştık. Bulduğumuz cebirsel formüller şöyleydi.

$$\begin{eqnarray} \nonumber m_{a} &=& \frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}} \\ \nonumber m_{b} &=& \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}} \\ \nonumber m_{c} &=& \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}} \end{eqnarray}$$ Bu denklem sisteminde her iki tarafın da kareleri alınıp yeniden düzenleme yapıldığında verilenler ve bilinmeyenler arasında sanki ikinci derecedenmiş gibi görünen yeni bir denklem sistemine erişilir. $$\begin{eqnarray}\nonumber 2b^{2}+2c^{2}-a^{2} &=& 4 m_{a}^{2} \\ \nonumber 2a^{2}+2c^{2}-b^{2} &=& 4 m_{b}^{2} \\ \nonumber 2a^{2}+2b^{2}-c^{2} &=& 4 m_{c}^{2} \end{eqnarray}$$ Bu denklem sistemini taraf tarafa topladığımızda şöyle fiyakalı bir eşitlik elde etmek mümkün, ama bizim işimiz bugün bu değil. $$\begin{equation*} 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) = 4(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}) \end{equation*}$$ Biraz önce denklem sisteminin sanki ikinci derecedenmiş gibi göründüğünü söyledik. Çapraz terimler olmadığı için, bu sistem aslında lineer cebirin imkanları ve yöntemleri kullanılarak çözülebilir. Örneğin basit bir denklem çözme alıştırmasıyla $$\begin{equation*} c = \frac{1}{3} \sqrt{8m_{a}^{2}+8m_{b}^{2}-4m_{c}^{2}} \end{equation*}$$ olduğu kolayca gösterilebilir. Diğer uzunluklar için de benzer denklemleri türetmek mümkündür.

Cebirsel çözüm aslında cetvel pergel çözümü için de -fazla şık olmayan- bir yöntem öneriyor. Daha önce hem rasyonel hem de kareköklü sayıların cetvel ve pergelle çizimini yerölçüsünde anlattık. Buna istinaden $c$ uzunluğunu çizmek için yapmamız gereken işlemler şöyledir.

1. Tabanı $2\sqrt{2}m_{a}$ ve yüksekliği $2\sqrt{2}m_{b}$ olan $XYZ$ dik üçgeni çizilir. Bunun hipotenüsü $\sqrt{8m_{a}^{2}+8m_{b}^{2}}$ kadardır.
2. Çapı $XYZ$ üçgeninin hipotenüsü olacak şekilde bir çember tarif edilir ve üçgenin $Y$ köşesinden uzunluğu $2m_{c}$ olan kiriş çizilir. Bu kirişin çemberi kestiği $W$ noktası tespit edilir.
3. $|WZ|$ uzunluğunun üçte biri aradığımız üçgenin $c$ kenarını verir.

Bu çizimler $a$ ve $b$ kenarları için de yapılarak $ABC$ üçgeninin çizimi bitirilir.